陕西省宝鸡市2025届高三上学期联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省宝鸡市2025届高三上学期联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个选项正确.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，,故，故选；C2.已知复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为复数满足，则，因此，复数的虚部为.故选：A.3.已知向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】.而，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.圆的圆心到直线的距离为1，则（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得.故选：A.5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，则，，因为，则①，等式①的两边同时除以可得，解得，故选：D.6.等比数列的各项均为正数，且.设，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，则，所以，所以，因为，可得，所以，所以，所以，，即数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，因此.故选：B.7.已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设、，若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，因为线段的中点坐标为，则，则，两式相减得，则，因为，所以，，所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.故选：D.8.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（）（参考数据：）A.3937万元 B.3837万元 C.3737万元 D.3637万元【答案】A【解析】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为.依题意可得，则，所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，则，即，则，故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元.故选：A.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则.C.若，则D.若，则.【答案】AC【解析】对于A：因为，可知在平面内存在直线，使得，如图所示，又因为，且，则，所以，因此A正确；对于B：如图所示：，但，故B错误；对于C：若，则由线面垂直的判定定理得，故C正确.对于D：，如图所示，，故D错误.故选：AC.10.已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.6个零点之和是6【答案】BD【解析】由函数的图像，经过轴翻折变换，可得函数的图像，再向右平移1个单位，可得的图像，最终经过轴翻折变换，可得的图像，如图所示，则函数的图像关于直线对称，令，因为函数最小的零点为，且，故当时，方程gx=0有4所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或，由，可得或，设的四个根从小到大依次为，由函数y=fx的图象关于直线对称，可得所以的所有零点之和是6，故D正确；关于的方程的两个实数根为和，由韦达定理，得，所以B正确，A，C错误.故选：BD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，在上单调递增B.若，且，则函数的最小正周期为C.若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3D.若在上恰有4个零点，则的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A，当时，若，则，由于在上单调递增，故在上单调递增；故A正确；对于B，若，且，则当且仅当，故B正确；对于C，若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象所对应的函数表达式为：，若的图象关于轴对称，则，注意到，所以当且仅当时，的最小值为4，故C错误；对于D，，，得到，若在上恰有4个零点，则当且仅当，解得，即的取值范围为，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为__________.【答案】【解析】设弦长为，过原点且倾斜角为60°的直线方程为整理圆的方程为：，圆心为，半径圆心到直线的距离为：则：故答案为：13.已知数列前项和为，且，若存在两项使得，当时，则最小值是__________.【答案】4【解析】由，得，两式相减得，而，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，即，因为，则，即，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以最小值是，故答案为：.14.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________.【答案】【解析】因为的导数为，则，所以曲线在处的切线方程为，即，又切线与曲线相切，设切点为，因为，所以切线斜率为，解得，所以，则，解得.故答案为；.四､解答题：本题共5小题，第15题13分，第16､17小题15分，第18､19小题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，已知的半径是1，点在直径的延长线上，，点是上半圆上的动点，以为边作等边三角形，且点与圆心分别在的两侧.（1）若，试将四边形的面积表示成的函数.（2）求四边形的面积的最大值.解：（1）由已知：，在中，，由余弦定理知：，所以，，，即；（2）由（1）知，则，所以，当，即时取到最大值.即四边形的面积的最大值为.16.统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应的代码依次为—.年份代码市场规模，，，其中参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.（1）由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）；（2）已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率，现从我国在线直播购物用户中随机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差.解：（1）设，则，因为，，，所以，，所以，与的拟合函数关系式为当时，，则估计年我国在线直播生活购物用户的规模为亿人.（2）由题意知，所以，，，由，可得，因为，解得，所以，，.17.如图，在正四棱柱中，.点分别在棱上，.（1）证明：；（2）是在棱上否存在点，使得二面角为，若存在，求出点位置，若不存在，请说明理由.（1）证明：以坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，又不在同一条直线上，.（2）解：假设在棱上存在点，使得二面角为，则，设平面的法向量，则，令，得，设平面的法向量，则，令，得，，化简可得，，解得或，或，所以在棱上存在点，使得二面角为，点是线段靠近两端点的两个四等分点.18.已知抛物线的准线与椭圆相交所得线段长为.（1）求抛物线的方程；（2）设圆过，且圆心在抛物线上，是圆在轴上截得的弦.当在抛物线上运动时，弦的长是否有定值？说明理由；（3）过作互相垂直的两条直线交抛物线于、、、，求四边形的面积最小值.（1）解：由已知，抛物线准线与椭圆相交线段的一个端点坐标是，把代入椭圆方程化简得，解得.所以抛物线的方程为.（2）解：假设在抛物线上运动时弦的长为定值，理由如下：设在抛物线上，可知到轴距离为，根据圆的弦长公式可知：，由已知，，所以，则在抛物线上运动时弦的长的定值为.（3）解：若过点且相互垂直的两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中与轴重合的直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设过的的两条直线的方程分别为、，其中，设直线交抛物线于点、，由得，，由韦达定理可得，则，同理可得，所以，四边形的面积，当且仅当时，即当时，等号成立，即四边形的面积的最小值为.19.已知函数．（1）当时，则过点的曲线的切线有几条?并写出其中一条切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有唯一零点，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，，设切点为，因为切线过点0,2，所以切线斜率存在，故可设切线方程为，则，化简可得，即，由的判别式知方程有2个不等实根且不为1，故有3个不等的实根，所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，故，所以切线方程为.（2），当时，，所以函数在上单调递增；当时，，所以或时，f