中考数学二轮培优复习专题28 解答题重点出题方向图形的翻折与旋转变换（原卷版）

专题28解答题重点出题方向图形的翻折与旋转变换（原卷版）模块一中考真题集训类型一图形的翻折1．（2022•枣庄）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？2．（2022•无锡）如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝22，BC＝4，点E在BC上，CE＝AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．（1）求EF的长；（2）求sin∠CEF的值．3．（2022•连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．4．（2022•无锡）如图1，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'位置，设AC'交直线CD于点M．（1）当点B'恰好落在DC边上时，求△AB'C'与矩形ABCD重叠部分的面积；（2）如图2，当点C、B'、C'恰好在一直线上时，求DM的长度．类型二图形的旋转5．（2022•锦州）如图，在△ABC中，AB=AC=25，BC=4，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，（1）如图1，求证：DF=5（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．

6．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在直线AC上，连接BD，将DB绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．（1）求证：BC=3AB（2）当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求CEAD（3）过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD＝2CD，请直接写出ANCE7．（2022•济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；（2）延长ED交直线BC于点F．①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为；②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数并说明理由．

8．（2022•常州）如图，点A在射线OX上，OA＝a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°（0＜n≤360）到OA′，那么点A′的位置可以用（a，n°）表示．（1）按上述表示方法，若a＝3，n＝37，则点A′的位置可以表示为；（2）在（1）的条件下，已知点B的位置用（3，74°）表示，连接A′A、A′B．求证：A′A＝A′B．9．（2022•辽宁）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是；（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CE=2AE（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出BDED10．（2022•沈阳）【特例感知】（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝33，连接BC．①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是；②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值．11．（2022•广元）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为；（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．12．（2022•连云港）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝3．【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．（1）如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．（4）如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是．

13．（2022•重庆）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF=2AE（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值．14．（2022•成都）如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H．【尝试初探】（1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由．【深入探究】（2）若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值．【拓展延伸】（3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代数式表示）．

15．（2022•重庆）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出PQBC模块二2023中考押题预测16．（2022•钟楼区校级模拟）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，AF与BC相交于点E．（1）求证：△ABE≌△CFE；（2）若AB＝4，AD＝8，求AE的长．17．（2022•滨海县校级三模）如图，一张矩形纸片ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＞AB．将矩形纸片折叠，使得点A与点C重合，折痕交AD于点M，交BC于点N．（1）请在图中用圆规和无刻度的直尺作出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接AN、CM，判断四边形ANCM的形状并说明理由；（3）若AB＝4，BC＝8，求折痕MN的长．

18．（2022•珠海校级三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过点F作EF⊥AD于点E，将△AEF翻折得到△GEF，点G在线段AD上，连接CG，若∠FGC＝90°，延长GF交AB于点H，连接CH．（1）求证：△CDG∽△GAH；（2）求tan∠GHC的值．19．（2022•大理州二模）如图，在矩形OABC中，OA＝8，AB＝4．将△OAB沿OB所在直线翻折，点A落在点A′处，OA'与BC边交于点D，过点B作BE∥OA′交OA于点E．（1）求证：四边形OEBD是菱形．（2）求线段OD的长．20．（2022•新市区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90，AD为△ABC的中线，将△ABD沿AB进行折叠，得到△ABE，连接AE、CE，CE交AD于F点．（1）判断四边形ADBE的形状，并说明理由；（2）若已知EC⊥AD，EC=23，求△CBE21．（2023•南开区模拟）已知点O是△ABC内一点，连接OA，OB，将△BAO绕点B顺时针旋转如图，若△ABC是等边三角形，OA＝5，OB＝12，△BAO旋转后得到△BCD，连接OC，OD，已知OC＝13．（Ⅰ）求OD的长；（Ⅱ）求∠AOB的大小．

22．（2022•沭阳县校级模拟）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PD+12PC的最小值为，PD−12（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+12PC的最小值，以及PD−23．（2023•金溪县模拟）如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将△FBE绕着点E顺时针旋转45°得到△GTE，连接CG、DE．（1）求证：TG∥DE；（2）当BF为多少时，CG的最小值且最小值是多少？24．（2022•钟楼区校级模拟）将一副三角板按如图所示的方式摆放，AB＝6，DE＝9，点D为边AC上的点，ADAC=33，（1）∠ADE的大小为度．（2）若三角板DEF固定，将三角板ABC绕点D逆时针旋转，①当点B第一次落在直线DE上时停止旋转，请在图1中用直尺和圆规画出线段AB旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法），则该图形的面积为．②当旋转至A、B、E三点共线时，求BE的长．

25．（2022•郧阳区模拟）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BD，CE．（1）直接写出BD与CE的数量关系为；直线BD与CE所夹锐角为度；（2）将△ADE绕点A逆时针旋转至如图2，取BC，DE的中点M，N，连接MN，试问：MNBD（3）若AB＝14，AD＝6，当图形旋转至B，D，E三点在一条直线上时，请画出图形，并直接写出MN的值为．26．（2022•齐河县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AF，连接EF．点M和点N分别是边BC，EF的中点．【问题发现】（1）如图1，若∠BAC＝60°，当点E是BC边的中点时，MNBE=，直线BE与MN相交所成的锐角的度数为【解决问题】（2）如图2，若∠BAC＝60°，当点E是BC边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【拓展探究】（3）如图3，若∠BAC＝90°，AB＝6，CG=13CB，在E

27．（2022•槐荫区二模）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，点D在斜边BC上，且满足BD=13BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接CE，BE，以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且∠CFE＝90°，∠ECF＝60°，连接（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE与线段AF的数量关系；（2）当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②当B，E，F三点共线时，如图3，连接AE，若AE＝3，请直接写出cos∠EFA的值及线段BC的值．28．（2022•临邑县模拟）如图，△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON．（1）如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△AEC≌△OFD；（2）如图2，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE、CF、CO三条线段之间的数量关系，并说明理由．

29．（2022•亭湖区校级模拟）问题：A4纸给我们矩形的印象，这个矩形是特殊矩形吗？思考：通过度量、上网查阅资料，小丽同学发现A4纸的长与宽的比是一个特殊值“2”定义：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果ACBC=2，那么点C为线段AB的“白银分割点”如图2，矩形ABCD中，BC应用：（1）如图3，矩形ABCD是白银矩形，AD＞AB，将矩形沿着EF对折，求证：矩形ABFE也是白银矩形．（2）如图4，矩形ABCD中，AB＝1，BC=2，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC的”白银分制点”（3）已知线段AB（如图5），作线段AB的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）30．（2022•沭阳县校级模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1））点E恰好落在边AC上，如图1，求∠ADE的大小；（2）如图2，若△ABC绕点C顺时针旋转的角度为60°，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形．

31．（2022•大名县校级四模）把大小不同的两个等腰直角△ABC与△DEC的直角顶点C重合，两个直角边也重合，按如图1所示的位置摆放，然后将△DEC绕点C逆时针旋转，如图2，连接AD，BE，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．（1）若0°＜α＜180°，求证：△ACD≌△BCE；（2）如图3，当点E在线段AD上时，①求∠AEB的度数；②若CD=2，BC＝52，求tan（α﹣90°（3）直接写出当△ACD的面积最大时α的值．32．（2022•元宝区校级二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G．∠CDE的平分线DM交BC于点H．过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF、BE．（1）如图1，若α＝90°，①∠DEB＝°．②判断线段BE与DH的数量关系，并说明理由；（2）在（1）的条