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第三单元高考专攻(四)极值点偏移问题2023届1《高考特训营》·数学

01考法102考法203考法3典例1已知函数f(x)＝xe－x(x∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2.[思维引导]考法1对称变换(基本解法之对称化构造)解：(1)f′(x)＝(1－x)e－x，令f′(x)＝0，则x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴f(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数x(－∞，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－f(x)

极大值

(2)证明：当x1，x2都在(－∞，1)或都在(1，＋∞)时，由于f(x)是单调函数，所以x1＝x2，这与已知矛盾，所以x1，x2一个在(－∞，1)内，另一个在(1，＋∞)内．不妨设x1>1，x2<1，由(1)知当x1>1时，f(x1)>f(2－x1)，又f(x1)＝f(x2)，∴f(x2)>f(2－x1)．∵x1>1，∴2－x1<1，∴x2，2－x1∈(－∞，1)．∵f(x)在(－∞，1)上是增函数，∴x2>2－x1，∴x1＋x2>2.对称变换，主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．典例2

(2022·雅礼高三月考)已知函数f(x)＝lnx－ax，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2，求证：x1•x2>e2.[思维引导]考法2消参减元(含参函数问题可考虑先消去参数)解：∵函数f(x)有两个零点x1，x2，∴lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0，∴lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2)，lnx1－lnx2＝a(x1－x2)，欲证明x1x2>e2，即证lnx1＋lnx2>2，∵lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2)，

消参减元的主要目的就是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．(1)当m＝－2时，求函数f(x)的所有零点；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞e2(e为自然对数的底数)．[思维引导]考法3比(差)值换元解：(1)当m＝－2时，f(x)＝xlnx＋x2－x＝x(lnx＋x－1)，x>0.又g(1)＝0，∴g(x)有唯一零点x＝1.从而函数f(x)有唯一零点x＝1.(2)证明：欲证x1x2>e2，需证lnx1＋lnx2>2.∵f(x)有两个极值点x1，x2，即函数f′(x)有两个零点．又f′(x)＝lnx－mx，∴x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不同实根．

比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用

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