课时作业-第5节-空间向量的运算及应用

第5节空间向量的运算及应用知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练空间向量的线性运算1,7向量共线、向量共面的应用2,3,4,6,9空间向量的数量积及其应用5,8综合问题10,11,12,1314,151.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=12A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)解析:由b=122.在下列命题中:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是(A)A.0 B.1 C.2 D.3解析:a与b共线,a,b所在的直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故②不正确;三个向量a,b,c中任意两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一个向量p才能表示为p=xa+yb+zc(x,y,z∈R),故④不正确,综上可知正确命题的个数为0.故选A.3.已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,则实数m的值等于(B)A.32 B.-2C.0 D.32解析:当m=0时,a=(1,3,-1),b=(2,0,0),a与b不共线,所以m≠0,因为a∥b,所以2m+12=34.(多选题)下列四个命题中,真命题是(AC)A.若p=xa+yb,则p与a,b共面B.若p与a,b共面,则p=xa+ybC.若MP→=xMA→+yD.若P,M,A,B共面,则MP→=xMA→解析:A正确;B中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立;C正确;D中若M,A,B共线,点P不在此直线上,则MP→=xMA→+y5.(多选题)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列四个命题中,真命题是(AB)A.(A1A→+A1D1B.A1C→·(AC.向量AD1→与向量D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB→·AA1解析:A中,(A1A→+A1D1→+A1B1→)2=A1A→2+A1D1→2+A1B1→2=3A1B1→6.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ=(B)A.9 B.-9 C.-3 D.3解析:显然a与b不共线,若a,b,c三向量共面,则c=xa+yb(x,y∈R),即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),所以2x7.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.用AB→,AD→,AA1→表示O解析:因为OC→==12(AB→+所以OC1→==12(AB→+AD=12AB→+1答案:12AB→+8.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=π3,则cos<OA→,BC→解析:设OA→=a,OB→=b,由已知条件得<a,b>=<a,c>=π3OA→·BC→=a·(c-b)=a·c-a·b=|a||c|所以OA→⊥BC→,所以cos<OA→答案:09.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足OM→=13(OA→+OB(1)判断MA→,MB→,(2)判断点M是否在平面ABC内.解:(1)由题意知OA→+OB→+OC→所以OA→-OM→=(OM→-OB→)+(即MA→=BM→+CM→=-MB所以MA→,MB→,(2)由(1)知MA→,MB→,所以M,A,B,C四点共面,所以点M在平面ABC内.10.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O为坐标原点,OA→+λOB→与OB→A.±66 B.6C.-66 D.±解析:OA→+λOB→=(1,-λ,λ),cos120°=λ+λ1+2λ2·2=-11.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z)(x,y,z∈R),a∥b,b⊥c,则c=.

解析:因为a∥b,易知y≠0,所以x-2=4y又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).答案:(3,-2,2)12.已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线AB上是否存在一点E,使得OE→解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|=02+(-(2)设AE→=tAB所以OE→=OA→+AE→==(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若OE→⊥b,则OE→所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=95因此直线AB上存在点E,使得OE→此时点E的坐标为(-65,-145,13.已知O(0,0,0),A(1,2,1),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,求QA→·QB解:由题意,设OQ→=λOP则OQ→则QA→QB→所以QA→·QB→=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(1-2λ)(2-2λ)=6λ2-12λ+6=6(λ-1)当λ=1时,QA→·QB14.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足AB→·AC→=0,AC→·AD→=0,A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定解析:因为M为BC的中点,所以AM→=12(AB→所以AM→·AD→=12(AB→+=12AB→·AD→+所以AM⊥AD,△AMD为直角三角形.故选C.15.如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为棱AB,BB′的中点.(1)求证:CE⊥A′D;(2)求向量CE→与AC(1)证明:设CA→=a,CB→=b,根据题意,得|a|=|b|=|c|,且a·b=