沪科版七年级数学上册特训 68 期末专项复习之直线与角十六大（原卷版+解析版）

专题6.8直线与角十六大考点

【沪科版】

【考点1直线、射线、线段的条数】..............................................................1

【考点2双中点求线段问题】....................................................................2

【考点3线段的等分点问题】....................................................................2

【考点4线段动点的定值计算】..................................................................4

【考点5线段中的参数表示（比例关系）问题】......................................................5

【考点6剪绳子（端点重合）问题】................................................................6

【考点7动点中线段和差问题】..................................................................8

【考点8线段的长短比较】......................................................................9

【考点9时针和分针重合次数与时间】..........................................................10

【考点10两定角、双角平分线与角度关系】......................................................11

【考点II线段、角的规律问题】.................................................................12

【考点12角度的翻折问题】.....................................................................14

【考点13两块二角板旋转问题】.................................................................15

【考点14三条线旋转与角度的关系】.............................................................17

【考点15余角和补角的性质】...................................................................20

【考点16用尺规作角、线段】...................................................................22

【考点1直线、射线、线段的条数】

【例1】（2例2・辽宁锦州•七年级期末）如图,C,。是线段48上的点，若AB=8,CD=2,

则图中以C为端点的所有线段的长度之和为.

ACDR

【变式1-1］（2022•山西•右玉县第三中学校七年级期末）阅读并填空：

问题：在一条直线上有儿B,C,。四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？

要解决这个问题，我们可以这样考虑，以力为端点的线段有46,AC,AS条，同样以8为端

点，以c为端点，以。为端点的线段也各有3条，这样共有4个3,即4x3=12（条），但

和8A是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有条线段.那么，若在一条

直线上有5个点，则这条直线上共有条线段；若在一条直线上有几个点，则这条直线

上共有条线段.

知识迁移：若在一个锐角“08内部面2条射线0D,则这个图形中总共有个角；

若在。06内部画〃条射线，则总共有个角.

学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁

路局需为这段线路准备种不同的车票.

【变式1-2]（2022•北京通州•七年级期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线I

经过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有条.

【变式1-3]（2022•黑龙江•抚远市笫三中学七年级期木〉平面.上不重合的两点确定条直

线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的〃个点最多可确定28条直线，则〃的

值是（）

A.6B.7C.8D.9

【考点2双中点线段问题】

【例2】（2022•福建泉州七年级期末）在一条直线上依次有七、尸、GH四点.若点F是线

段EG的中点，点G是线段EN的中点，则有（）

A.EF=GHB.EG>GHc.GH>2FGD.FG="N

【变式2-1]（2022•山东东营•期末）如图，点C为线段八8的中点，点E为线段48上的点,

点。为线段4E的中点.

II

ADCEB

⑴若线段CE=b且（a-16）2+|2b-8|=0,求a,8的值；

（2）在（1）的条件下，求线段C。的长，

【变式2.2】（2022•山东潍坊•七年级期末）已知点C在直线48匕点M,N分别为AC,8c的

中点.

AMCNB

⑴如图所示，若C在线段A8上，AC=6厘米，MB=10厘米，求线段8C,MN的长：

⑵若点C在线段A8的延长线上，且满足AC-8c=a厘米，请根据题意画图，并求MN的长

度（结果用含a的式子表示）.

【变式2-3]（2022•山西•右玉县第三中学校七年级期末）一条直线上有48,C三点，

A8=8E,4C=18cm,点P,0分别是A8,AC的中点，则PQ二.

【考点3线段的等分点问题】

【例3】（2022•吉林白城七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为-10,点B表示

的数为2.动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q

从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，P、Q同时出发，设运动时

间为t（t>0）秒，解答下列问题.

（1）数轴上点P表示的数为，点Q表示的数为（用含t的代数式表示）；

（2）当点P表示的数和点Q表示的数互为相反数时，求t的值；

（3）点P追上点Q时，求t的值；

（4）若点B恰好是线段PQ的3等分点时，t的值为.

AB了

-1002

【变式3-1]（2022•内蒙古巴彦淖尔•七年级期末）如图，点C在线段A4上，点。是线段

4C的中点，点。是线段8。的四等分点.若CB=2,则线段的长为.

I____________________I______________________I_________I

ADCB

【变式3-2]（2022•湖北武汉•七年级期末）如图，已知线段4B,延长线段至C,使CB

4

=\AB.

ai

AB

（1）清根据题意将图形补充完整.直接写出告=；

（2）设44=9cm，点D从点4出发，点E从点4出发，分别以3cm/s,lcm/s的速度沿

直线48向左运动.

AD

①当点。在线段A8上运动，求7F的值；

②在点。，£沿直线A4向左运动的过程中，M,N分别是线段43的中点.当点。恰

好为线段BD的三等分点时，求MN的长.

【变式3-3]（2022•辽宁锦州•七年级期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问

题产生了探究的兴趣：

如图1,点C在线段上，M,N分别是AC,BC的中点.若/W=12,AC=8,求财N的

长.

II111II111

AMCNBAMCNB

图1图2

⑴根据题意，小明求得MN=:

⑵小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件

一般化，并开始深入探究.

设C是线段48上任意一点（不与点4,8重合），小明提出了如下三个问题，请

你帮助小明解答.

①如图1,M,N分别是AC,6c的中点，则MN=；

②如图2,M.N分别是AC,BC的三等分点，即A""三4。=求MN的长；

③若M,N分别是AC,AC的〃等分点，即AM=）C,BN^^BC则MN=；

【考点4线段动点的定值计算】

【例4】（2022•内蒙古赤峰•七年级期末）点4、B在数轴上对应的数分别为〃、b,且〃、b

满足|a+ll+lb-3/=0.

-JOBToBNP

⑴如图1,求线段AB的长；

⑵若点C在数轴上对应的数为X,且％是方程2x+l=：x-2的根，在数轴上是否存在点尸

使PA+P8=8C,若存在，求出点户对应的数，若不存在，说明理由：

⑶如图2,点P在8点右侧J,%的中点为M,N为P8靠近于8点的四等分点，当户在8

的右侧运动时，有两个结沦：①PM—28N的值不变：②PM-.8、的值不变，其中只有一

个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值.

【变式4-1]（2022•湖北孝感•七年级期末）如图，已知数轴上点片表示的数为9,点8表示

的数为-6,动点?从点H出发，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间

为惟＞0）秒，

BOA

----------------------------------------------------A

-609

⑴数轴上点尸表示的数为（用含珀勺式子表示）

（2）当t为何值时,4P=28P?

⑶若同为片F的中点，'为BF的中点，点「在运动的过程中，线段MN的长度是否为定值？若

是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由.

【变式4-2]（衢州华茂外国语学校七年级期末）【概念与发现】

当点C在线段4B上,AC=油8时，我们称〃为点c在线段AB上的“点值〃，记作d（为=n.

例如，点C是人B的中点时，即AC=/8,则d傍）=；；

反之,当"仔）=：时,则有A。=%,

因此，我们可以这样理解:昭）二%，与“AC=八片仅具有相同的含义.

【理解与应用】

⑴如图，点C在线段A8上.若AC=3,A8=4,则d侍）二：

若d偿）=：,IJJIJAC-AB.

ACH

【拓展与延伸】

⑵已知线段A8=10cm,点P以lcm/s的速度从点A出发，向点B运动.同时，点Q以3cm/s

的速度从点B出发，先向点4方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回.当P,Q

其中一点先到达终点时，两点均停止运动.设运动时间为，（单位：s）.

①小王同学发现，当点。从点B向点A方向运动时，♦偿）+d（第的值是个定值，则

加的值等于；

②/为何值时，**）■”2二：

【变式4-3]（2022•全国•七年级专题练习）已知线段AB=〃?，CD=n,线段C。在直线AB

上运动（A在8的左侧，C在。的左侧），且加，〃满足|〃?一12|+（〃-4）2=0.

（1）ni=,n=；

（2）点短与点B重合时，线段C。以2个单位长度/秒的速度向左运动.

①如图1,点C在线段A8上，若M是线段AC的中点，N是线段8。的中点，求线段MN

的长：

②P是直线4B上4点左恻一点，线段CO运动的同时，点尸从点P出发以3个单位/秒的

向右运动，点E是线段8C的中点，若点尸与点。相遇1秒后与点E相遇.试探索整个运动

过程中，5。£是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

~ABAMcDNB

图1备图

【考点5线段中的参数表示（比例关系）问题】

【例5】（2022•浙江舟山•七年级期末）已知点。在线段AB上，AC=2BC,点、D、E在直线

A8上，点。在点£的左侧，

ADCE_BACB

图1备用图

（1）若4B=18,DE=8,线段QE在线段48上移动，

①如图1,当E为8C中点时，求A。的长；

②当点C是线段OE的三等分点时，求人力的长；

3ECICD

（2）若4B=2OE,线段DE在直线上移动，且满足关系式一k，则或

【变式5-1】（2022・广西河池•七年级期末）如图，点用位于数轴原点，C点从M点出发以每

秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，。点从B点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴

向左运动.

AC_MD,BAMB

o-o

⑴若点力表示的数为-3,点B表示的数为7,当点c,。运动时间为2秒时，求线段c0£勺长；

Q）若点力，8分别表示一2,6,运动时间为Z,当［为何值时，点D是线段8C的中点.

⑶若N是数粕上的一点，且AN-8N=MA,求去的值.

【变式5-2］（2022•全国•七年级单元测试）已知：如图1,M是定长线段A8上一定点，C、

。两点分别从M、B出发以lcm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示

（C在线段AMI：,。在线段8MI.）

<——<---------,

ill।।

ACMDB

图1

I____________।_________________________i

AMB

图2

⑴若A8=llcm,当点C、。运动了Is,求AC+M。的值.

⑵若点C、。运动时，总有MQ=3AC,直接填空：AM=BM.

⑶在（2）的条件下，N是直线A8上一点，目AN・BN=MN,求示的值.

【变式5・3】（2022•全国•七年级专题练习）已知：如图1,点M是线段A8上一定点，A8

=12cm,C、Q两点分别从M、8出发以lc〃?/s、2c/〃/s的速度沿直线84向左运动，运动方

向如箭头所示（C在线段AM上，。在线段8M上）

<——<--------

•----------------・-------••----------------•

ACMDB

（1）若AM=4cm,当点C、力运动了2s,此时AC=,DM=；（直接填空）

（2）当点C、。运动了2s,求AC+MO的值.

（3）若点C、。运动时，总有MQ=24C,则（填空）

（4）在（3）的条件下，N是直线A8上一点，豆AN-BN=MN,求if的值.

【考点6剪绳子（端点重合）问题】

【例6】（2022•全国•七年级专题练习）把根绳子对折成一条线段3B,在线段48取一点?，

使=从尸处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为24cm,则绳子的原

长为（）

A.32anB.640nc.320n或640nD.640n或128cm

【变式6-1］（2022•全国•七年级课时练习）将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一

记号，每4cm也作一记号.然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（）

A.37B.36C.35D.34

【变式6-2】（2022・湖北武汉•七年级期末）如图，将一股标有。〜60均匀刻度的绳子铺平

后折叠（绳子无弹性），使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分某处剪断，将绳于分为人

B,C三段若这三段的长度的比为3：2：1,则折痕对应的刻度是.

折掖

60A

【变式6-3］（2022•全国•七年级专题练习）如图1,将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后

折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠.

^^B

II

II

图1

（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在片处.

①如图2,若18恰好重合于点。处，MN=cm,

/心〃）与6-ONB

图2

②如图3,若点4落在8的左侧，且A'B=20cm,求MN的长度；

&A"B'NB

图3

③若A'8=ncm,求MN的长度.（用含n的代数式表示）

（2）如图4,若将绳子A3沿N点折叠后，点B落在8处，在重合部分8N上沿绳子垂直方

向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5,直接写出AN所有可

能的长度.

图4

【考点7动点中线段和差问题】

【例7】（2022•全国•七年级阶段练习）已知多项式（a+lOh'+ZO^Tx+a是关于X的二次

多项式，且二次项系数为从数轴上两点A,8对应的数分别为a,b.

（l）t/=,h=,线段AB=：

⑵若数轴上有一点C,使得AC=：8C,点加为AB的中点，求MC的长；

⑶有一■动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点8运动，同时动点”从点8出发，

S

以Z个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为，秒“V30），点。为线段G8的

中点，点6为线段DN的中点，点E在线段GB上且GE=：G8,在G,〃的运动过程中，求DE+DF

的值.

---------1----------------------1-------------------------------------1——>

AOB

AOB

【变式7・1】（2022•全国七年级专题练习）如图，在直线A8上，线段48=24,动点。从

人出发，以每秒2个单位长度的速度在直线人B上运动.”为AP的中点，N为8P的中点，

设点P的运动时间为，秒.

--•------•---------•♦•----------

AMPNB

・♦

AB

⑴若点P在线段4B上的运动，当PM=10时，PN=:

⑵若点尸在射线A8上的运动，当PM=2PMf,求点P的运动时间/的值；

⑶当点P在线段A/3的反向延长线上运动时，线段A3、PM、PN有怎样的数号关系？请写

出你的结论，并说明你的理由.

【变式7-2]（2022・福建•厦门市松柏中学七年级期末）在数轴上，点°为原点，点力表示的

数为9,动点8,C在数轴上移动（点C在点5右侧），总保持BC=，（胃大于0且小于45）,

设点B表示的数为m.

••••A

OBCA

⑴如图，当动点B,C在线段OA上移动时，

①若n=2,且B为0A中点时，则点8表示的数为，点C表示的数为；

②若AC=08,求多项式6m+3n-40的侑：

⑵当线段8c在射线40上移动时，且AC-08=?A6,求m（用含n的式子表示）.

【变式7-3]（2022•全国•七年级专题练习）如图，直线I上有人，8两点，八B=12cm,点O

是线段A8上的一点，04=208.

（1）则。4=cm,OB=cm；

（2）若点C是线段A8上一点（点C不与点A、6重合），且满足4C=C0+C4,求CO的

长；

（3）若动点?从点A出发，动点Q从点6同时出发，都向右运动，点尸的速度为2cm/s.点

Q的速度为lcm/s,设运动时间为，（s）（其中役0）.

①若把直线/看作以0为原点，向右为正方向的一条数轴，贝L（s）后，P点所到的点表示

的数为—;此时，Q点所到的点表示的数为—.（用含，的代数式表示）

②求当，为何值时，2OP-OQ=4（cm）.

-1-------1-----1—/

A0B

【考点8线段的长短比较】

【例8】（2022・陕西•延安市实验中学七年级期末）如图，已知在三角形ABC中，BC=a,AC=b,

AB=c,作一条线段EF,使EF的长等于a+b,并比较线段EF与线段AB的长短.（保留作图

痕迹，不要求写作法）

【变式8-1]（2022・全国•七年级课时练习）为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A

与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则（）

A.AB<CDB.AB>CDC.AB=CDD.以上都有可能

【变式8-2]（2022・浙江•衢州华茂外国语学校七年级期末）如图，已知则AB与

CO之间的大小关系是（）

ABCD

A.AB>CD.B.AB=CD.C.AB<CD.D.无法确定.

【变式8-3]（2022•江苏盐城•七年级期末）如图，片、8、C、。四点在同一直线上.

ABCD

⑴若A8-CD.

①比较线段的大小：AC8D（填“>〃、“=〃或“<〃）；

②若BC=：/K,且AC=16E,则4。的长为cm；

（2）若线段AC被点B、C分成了2:3:4三部分，且A8的中点M和CD的中点N之间的距离是18cra,

求”的长.

【考点9时针和分针重合次数与时间】

【例9】（2022•江苏苏州七年级期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，如果时间

从下午2点整到下午4点整，钟面角为90。的情况有（）

A.有一种B.有二种C.有三种D.有四种

【变式+1］（2022全国•七年级单元测试）根据所学知识完成题目；

（1）一个角的余角与补角的和是这个角的补角与余角的差的两倍，求这个角.

（2）从两点三十分时开始算起，钟表上的时针与分针经过多久第一次重合？

【变式9-2］（2022•全国•七年级单元测试）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们

的跑道昼夜不停地运转.以下请你解答有关时钟的问题：

⑴分针每分钟转了几度？

（2）中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°?

⑶在⑵中所述分针与时针所成的钝角等于121’后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次

等于12V?

【变式9・3】（2022•江苏•射阳县实验初级中学七年级阶段练习）探究实验：《钟面上的数

字》

实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的

有关数学问题，体会数学建模思想.

实验准备：机械钟（手表）一只

实验内容与步骤：

观察与思考：

（1）时针每分钟转动_。，分针每分钟转动_。.

（2）若时间为8：30,贝！钟面角为_。，（钟面角是时经与分针所成的角）

操作与探究：

（1）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处.再次转动钟面上的时针与分

针，算一算，什么时刻时针与分针再次重合？一天24小时中，时针与分针重合多少次？（一

天中起始时刻和结束时刻时针与分针重合次数只算一次，下同）

（2）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处，再次转动钟面上的时针与分

针，算一算，什么时刻钟面角第一次为90。？一天24小时中，钟面角为90。多少次？

拓展延伸：

一天24小时中，钟面角为180。次，钟面角为n。（0VnV180）次.（直接写出结果）

【考点10两定角、双角平分线与角度关系】

【例10】（2022•陕西西安•七年级期末）已知“08和三条射线OE、0C.0F在同一个平面

内，^OE^^LBOC.OF^-^^AOC

⑴如图，若480C=70°."OC=50'，求cEOF的度数；

⑵如图，若a0C=a.U0C=6,直接用Q、6表示cEOF；

⑶若上80C、"0C在同一平面内，且M0C=a.U0C=6,0E平分角乙80C,0F平分角

“0C,直接写出用Q、6表示"0F.

【变式10-1】（2022•广东•正德中学七年级期末）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你

和多多一起探究下面问题吧.已知/八。/100“，射线。七，分别是NAOC和N的角

平分线.

⑴如图1,若射线OC在/A08的内部，且NAOC=30。，求/EOF的度数；

（2）如图2,若射线OC在NAOB的内部绕点。旋转，则NEO/的度数；

⑶若射线OC在/AO8的外部绕点。旋转（旋转中/AOC,/8OC均指小于180。的角），

其余条件不变，请借助图3探究/EOF的大小，请直接写出NEO厂的度数（不写探究过程）.

【变式10-2]（2022•浙江宁波•七年级期末）【定义】如图1,0M平分—。8,则称射线080A

关于0.V对称.

B

BB

P

M

0AOA----4QZ-------------A

图1图2图3图4

⑴【理解题意】如图1，射线08.CM关于0M对称且"08=45,则“0M二度；

（2）【应用实际】如图2,若"08=45°©在U08内部，OP.OP,关于。8对称，OP.OP-

关于。4对称，求乙Pi0P，的度数；

⑶如图3,若"08=45。0P在"06外部，且0•〈乙40P<45。,OP.OP1关于08对称，

OP.OP•关于。4对称，求《POP、的度数：

⑷【拓展提升】如图4,若乙4。8=45,OP.OPi关于"08的06边对称，

U0P1;4乙80Pi,求U0P.（直接写出答案）

【变式10-3】（2022・湖北黄石•七年级期末）将一副直角三角板ABC,AEDt按如图1放置，

其中8与E重合，LBAC=45C,LBAD-30°.

图1图2

⑴如图1,点F在线段C/4的延长线上，求dAD的度数；

⑵将三角板AEO从图1位置开始绕面逆时针旋转，儿4所分别为，8M2仃。的角平分

线.

①如图2,当旋转至上8•的内部时，求乙“外的度数；

②当我旋转至"AC的外部时，直接写出乙"儿\'的度数.

【考点11线段、角的规律问题】

【例11】（2022•重庆忠县•七年级期末）如图中N4。3=60。，图①中NAOQ=N。。&图

②中/AOCi=^GOQ=NQOB,图③中NAOCj=^C,OC2=^C20c3=NC3OB,按

此规律排列下去，前④个图形中的/A。。之和为（）

B，B

第

/C2

星、一G

0^------------A0^--------A—A

②

A.60°B.67°C.77°D.87°

【变式11-1】（2022•黑龙江大庆•中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4

条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有_____个

【变式11-2】（2022•全国•七年级）如图，已知cMON,在，MON内画一条射线时，则图中

共有3个角；在"fON内画两条射线时，则图中共有6个角；在乙M0N内画三条射线时，则

图中共有10个角；.......按照此规律，在AVON内画20条射线时，则图中角的个数是（）

【变式11-3］（2022•云南昆明•七年级期末）如图所示，数轴上0,A两点的距离为8,

动点尸从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到A。的中点A/处，第2次从A,点跳动

到的中点4处，第3次从4点跳动到4。的中点心处，按照这样的规律继续跳动到

点A/,4，4,…，An（危3,〃是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与4/A的中点

的距离是（）

D.

【考点12角度的翻折问题】

【例12】（2022•山东德州•七年级期末）如图，一纸片沿直线AB折成的V字形图案，已知

图中N1=62°,则N2的度数=.

【变式12-1】（2022・广西•上思县教育科学研究所七年级期末）下图所示的图形，长方形纸

片沿AE折叠后，点。与D'重合，且已知/CEDG50。.则NAED的是（）

A.605B.505C.755D.65&

【变式12-2]（2022•福建省福州第一中学七年级期末）在福州一中初中部第十二届手工大

赛中，初一年段的小红同学用长方形纸带折叠出逼真的动物造型.其中有三个步骤如下：如

图①，已知长方形纸带，">EF=2（r,将纸带EF折叠成图案②，再沿81折叠成图案③，

则③中的乙CFE的度数是（）

【变式12-3】（2022•江西南昌•七年级期末）已知长方形纸片ABCD,点E在边16上，点N在

边”上，松以5沿EA翻折到UM'E,射线E4与CD交于点£点M在边8C上，将JW8E沿EM

翻折到LVBE射线EB'与CD交于点G

（1）如图1，若点F与点G重合，直接写出以E为顶点的两对相等的角，并求々MEN的度数；

⑵如图2,若点G在点F的右侧，且UE"=乙FEG+10\LBEM="EG+20',求££北

与乙"EN的度数；

（3）若点G在点户的左侧，且dEG=a,求U/EN的度数（用含。的代数式表示）.

【考点13两块三角板旋转问题】

【例13】（2022・河北•泊头市教师发展中心七年级期末）【实践操作】三角尺中的数学.

⑴如图1,将两块直角三角尺的直角顶点。叠放在一起，UCD=，EC8=90’.

①若=35®,贝ij"C8=；若UC8=140',贝ijz£CD=；

②猜想乙AC8与cECD的大小有何特殊关系，并说明理由；

⑵如图2,若是两个同样的直角三角尺6。锐角的顶，点A重合在一起,UCD=，4FG=90：

则2GAe与,DAF的大小又有何关系，请说明理由；

⑶已知"08=a,z£OD=6（a・6都是锐角），如图3,若把它们的顶点。重合在一起,

请直接写出“0D与，80c的大小关系：.

【变式13-1】（2022・湖南K沙•七年级期末）（1）利用一副二角板可以画出一些特殊的角.

在①135",@120%③乃。，④50。，⑤35。，⑥15。，四个角中，利用一副三角板画不出

来的特殊角是;（填序号）

（2）在图①中，写出一组互为补角的两角为:

（3）如图①，先用三角板画出了直线EF,然后将一副三角板拼接在一起，其中45。角（"OB）

的顶点与60。角（400。）的顶点互相重合，且边。4、OC都在直线E尸上（图①），固定三

角板CO。不动，将三角板A03绕点。按顺时针方向旋转一个角度。（如图②），当。3平

分4E0D时，求旋转角度a.

【变式13-2】（2022•河南南阳•七年级期末）（1）如图1所示，将两块不同的三角尺（NA

=6U°,/6=N£=45°）的直角顶点C•叠放在一起.

①若NOCE=25。，MZACB=；若NAC8=130。，则NDC£=.

②猜想NACB与NOCE有何数量关系，并说明理由.

（2）如图2所示，若两个相同的三角尺的60。角的顶点A重合在一起，则/D48与NCAE

有何数量关系，请说明理由.

（3）已知ZCOD=fi（a,尸都是锐角），如图3所示，NA。。与N80C有何数

量关系，请直接写出结果，不说明理由.

角板的直角顶点与点O重合，直角边在线段MN上，ZCOD=AAOB=90°.

图1图2

备用图1备用图2

⑴将图1中的三角板COD绕着点。沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若NA()C=35\

则NBOD=；当/AOCV90。时猜想NAOC与/80。的数量关系，并说明理由.

⑵将图1中的三角板COO绕着点O沿逆时针方向按每秒15。的速度旋转-周，三角板A08

不动，请问几秒时0。所在的直线平分/AOB?

【考点14射线旋转与角度的关系】

【例14】(2022•湖北武汉•七年级期末)已知/C。。在/4。8的内部，/AO8=150°,ZCOD

=20°.

(1)如图1,求/40D+N80C的大小；

⑵如图2,OM平分/BOC,ON平分4AOD,求/M0N的大小.

⑶如图3,若N400=30。，射线OC绕点O以每秒10。的速度顺时针旋转，当与射线。B重

合后，再以每秒15。的速度绕点O逆时针旋转；同时射线0。以每秒30。的速度绕点。顺时

针旋转.设射线OC运动的时间是，秒(0</<22),当/。。。=120。时，直接写出/

的值.

【变式14-1】(2022•新疆乌普木齐•七年级期末)图(1)所示，点。是在线AA上一点，ZCOD

是直角，0E平分N80C.

C

（图3）

（1）若/AOC=30°,求NDOE的度数;

⑵将图⑴中的NCOD绕点。顺时针旋转至图（2）所示的位置，以（1）题思路探究NAOC

与NOOE的度数之间的关系，并说明理由；

（3）将图（1）中的/COD绕点、。顺时针旋转至图（3）所示的位置，直接写出/AOC与/DOE

的度数之间的关系.

【变式14-2】（2022•湖北武汉•七年级期末）如图1,OB、OC是/内部两条射线.

D

⑵如图2,若上AOD=2乙BOC,在NAO。的外部分别作NCOD、NAO6的余角/OOM及

ZAON,请写出NQOM、ZAON.N4"之间的数量关系，并说明理由；

⑶如图3,已知N400=120。，射线0E平分NAO。，若将08绕。点从04出发以每秒6。

逆时针旋转，0C绕0点从。。出发以每秒5。顺时针旋转，OB、0C同时运动；当。。运动

一周回到。。时，OB、OC同时停止运动.若运动，（，＞0）秒后，OE恰好是N80C的四等

分线，则此时，的值为—（直接写出答案）.

【变式4-3]（2022・湖南岳阳•七年级期末）（1）特例感知：如图①，已知线段MN=30cm,

A8=2cm,线段A8在线段MN上运动（点A不超过点M,点8不超过点N），点C和点。分

别是AM,BN的中点.

①若4M=16cm,WOCD=cm；

②线段A8运动时，试判断线段CO的长度是否发生变化？如果不变，请求出CO的长度,

如果变化，请说明理由.

（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知NA08在NM0N内部转

动，射线0c和射线。。分别平分NAOM和/BON.

①若/M0N=15（T,/AOB=30°,求/COQ=

②请你猜想NAO8,NCO。和NMON三个角有怎样的数量关系.请说明理由.

（3）类比探究：如图③，NAOB在NM0N内部转动，若NMON=150。,NAOB=30。，

U40CMD.-

—=71^=*用含有k的式子表示cCOD的度数.（直接写出计算结果）

【考点15余角和补角的性质】

【例15】（2022•山东・昌乐北大公学学校七年级阶段练习）已知：点O是直线A3上一点，

过点。分别画射线OC,。区使得OC^OE.

（1）如图，OD平分CA0C若480c=40）求4D0E的度数.请补全下面的解题过程（括

号中填写推理的依据）.

解：.•.点。是直线A8上一点，

「.U0C+480c=180：

zBOC=40\

..LAOC=140\

o。平分乙/IOC.

“00=*0C（）

LCOD=。.

•••0C10E,

-zCOE=90g（）.

S0E=4+4,

LDOE=

D

（2）在平面内有一点。，满足“0C=2-0D.探究：当£80C=a（0°<a<180°）时，

是否存在a的值，使得cCOD=，BOE.若存在，请直接写出a的值；若不存在，请说明理由.

【变式15-1]（2022•福建•福州市秀山初级中学七年级阶段练习）如图1,。是直线A3上的

一点，NCOO是直角，OE平分NBOC.

(1)若NAOC=40。，则/QOE的度数为。；

(2)将图1中的/COO绕顶点。顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，探究NAOC

和NOOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；

(3)将图1中的/C。。绕顶点。顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，直接写出/4OC

和N的度数之间的关系：.

【变式15-2】(2022・浙江•七年级专题练习)如图所示，将两块三角板的直角顶点重合.

(1)写出以C为顶点的相等的角;

⑵若UCB=150°,求乙。CE度数；

⑶写出UC8与2DCE之间所具有的数量关系；

⑷当三角板"CD绕点C旋转时，你所写出的(3)中的关系是否变化？请说明理由.

【变式15-3】(2022•河北石家庄•七年级期末)以直线48上一点O为端点作射线OC,使

ZBOC=70。,将一个直角三角板的直角(NDOE=90°)顶点放在点。处.

⑴将直角三角板。OE的一边。。放在射线OB止，如图1所示，则NCOE的度数为

，其补角的度数为;

图1

⑵将直角三角板。OE绕点。转动到如图2步小的位置，若OC恰好平分N/3OE,ARZCOD

的度数;

C

E

O

图2

⑶如图3,将直角三角板。0E绕点。转动，0。始终在/80C的内部，试猜想/80。和/COE

之间的数量关系，并说明理由;

B

O