2025高考数学一轮复习-对点练17 函数模型及其应用【含答案】

对点练17函数模型及其应用【A级基础巩固】1.(2024·绵阳诊断)某检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lgX＝nlg(1＋p)＋lgX0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为(参考数据：100.25≈1.778，10－0.25≈0.562)()A.22.2% B.43.8%C.56.2% D.77.8%2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y＝2x－2 B.y＝eq\f(1,2)(x2－1)C.y＝log2x D.y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x3.(2024·烟台调研)海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用ID＝I0e－KD表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数(也称衰减系数)，D(单位：米)是海水深度，ID(单位：坎德拉)和I0(单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)()A.0.12 B.0.11C.0.07 D.0.014.(2024·合肥联考)一般地，声音大小用声强级LI(单位：dB)表示，其计算公式为：LI＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))，其中I为声强，单位：W/m2，若某种物体发出的声强为5－10W/m2，其声强级约为(参考数据：lg2≈0.30)()A.50dB B.55dBC.60dB D.70dB5.(2024·深圳质检)某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元，其中ω(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋10x，0<x≤40，,71x＋\f(10000,x)－945，x>40.))若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为()A.720万元 B.800万元C.875万元 D.900万元6.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是()A.甲同学从家出发到乙同学家走了60minB.甲从家到公园的时间是30minC.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝eq\f(1,15)x7.(多选)(2024·河北部分学校联考)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费.已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，则()A.a＝－ln5 B.k＝15C.一等奖的面值为3130元 D.三等奖的面值为130元8.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”.9.里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.10.“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大.现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝eq\f(kP,1＋lg（t＋1）)，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝eq\f(1,6)P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________.(保留到个位)(lg61≈1.79)11.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(mt)(c，m为常数).(1)求c，m的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？12.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.【B级能力提升】13.(2023·绍兴二模)某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图)，水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据：eq\r(3)≈1.732)()A.0.58米 B.0.87米C.1.17米 D.1.73米14.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4eq\r(2a)－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋2，80≤a≤120，,32，120<a≤160，))设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？对点练17函数模型及其应用答案1．D[由题意知，lg(1000X0)＝12lg(1＋p)＋lgX0，即lg103＋lgX0＝12lg(1＋p)＋lgX0，即3＋lgX0＝12lg(1＋p)＋lgX0，所以1＋p＝100.25≈1.778，解得p≈0.778＝77.8%.故选D.]2．B[由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.]3．A[由题意得，30%I0＝I0e－10K，即30%＝e－10K，两边取自然对数得，－10K＝ln3－ln10＝ln3－ln2－ln5，所以K＝eq\f(ln2＋ln5－ln3,10)≈eq\f(0.7＋1.6－1.1,10)＝0.12.故选A.]4．A[由已知得LI＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5－10,10－12)))＝10×(12－10lg5)＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12－10lg\f(10,2)))＝10×(2＋10lg2)≈10×(2＋10×0.30)＝50(dB)．故选A.]5．C[该企业每年利润f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(70x－（x2＋10x＋25），0<x≤40，,70x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(71x＋\f(10000,x)－945＋25))，x>40，))当0<x≤40时，f(x)＝－x2＋60x－25＝－(x－30)2＋875，当x＝30时，f(x)取得最大值875；当x>40时，f(x)＝920－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))≤920－2eq\r(x·\f(10000,x))＝720(当且仅当x＝100时，等号成立)，即当x＝100时，f(x)取得最大值720.由于875>720，所以该企业每年利润最大值为875万元．故选C.]6．BD[在A中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝eq\f(1,15)，D正确．]7．ACD[由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，所以eq\f(（e3a＋b＋k）－（e4a＋b＋k）,（e4a＋b＋k）－（e5a＋b＋k）)＝e－a＝eq\f(100,20)＝5，则a＝－ln5，故A正确；由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.因为四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，解得k＝5，故B错误；三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D正确；由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3130，故一等奖的面值为3130元，故C正确．]8．10[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＜eq\f(1,1000)，得n≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．]9．610000[M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lgA1－lgA0＝lgeq\f(A1,A0)，则eq\f(A1,A0)＝109，5＝lgA2－lgA0＝lgeq\f(A2,A0)，则eq\f(A2,A0)＝105，所以eq\f(A1,A2)＝104，即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．]10．462[由题意得，f(60)＝eq\f(kP,1＋lg61)≈eq\f(kP,2.79)＝eq\f(1,6)P，∴k＝eq\f(2.79,6)＝0.465，∴f(100)＝eq\f(0.465×400,1＋lg101)＝eq\f(186,1＋lg100＋lg1.01)≈eq\f(186,3)＝62，∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462.]11．解(1)由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(4m)，,32＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(8m)，))两式相除，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝128，,m＝\f(1,4).))(2)由题意可得128eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤0.5，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(8)，即eq\f(1,4)t≥8，解得t≥32.故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．12．解(1)由题意得，当0<x≤4时，v＝2；当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)，显然v＝ax＋b在(4，20]内单调递减，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2).))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2).故函数v＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，x∈N*，,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤20，x∈N*.))(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，x∈N*，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20，x∈N*，))当0<x≤4时，f(x)单调递增，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；当4<x≤20时，f(x)＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)(x2－20x)＝－eq\f(1,8)(x－10)2＋eq\f(25,2)，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．13．B[如图，设过水横断面为等腰梯形ABCD，过点B作BE⊥CD于点E，∠BAD＝∠ABC＝120°，要使过水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，则100×(AB＋BC＋AD)×100＝30000，解得AB＋BC＋AD＝3米．设BC＝x，则AB＝3－2x，BE＝eq\f(\r(3),2)x，CE＝eq\f(1,2)x，CD＝3－x，且0<x<eq\f(3,2)，则梯形ABCD的面积S＝eq\f(（3－2x＋3－x）×\f(\r(3)