2025高考数学一轮复习-对点练12 指数与对数的运算【含答案】

对点练12指数与对数的运算【A级基础巩固】1.若代数式eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意义，则eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,（x－2）4)＝()A.2 B.3C.2x－1 D.x－22.(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝()A.25 B.5C.eq\f(25,9) D.eq\f(5,3)3.某品牌计算器在计算对数logab时需按“log(a，b).”某学生在计算logab时(其中a>1且b>1)顺序弄错，误按“log(b，a)”，所得结果为正确值的4倍，则下列结论正确的是()A.a＝2b B.b＝2aC.a＝b2 D.b＝a24.(2024·天津质检)计算2log32－log3eq\f(32,9)＋(eq\r(2)－1)0＋log38－25log53的结果为()A.－7 B.－3C.0 D.－65.(2024·郑州调研)点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r(单位：米)的关系视为ΔL＝10lgeq\f(πr2,4)(单位：dB)，取lg5≈0.7，则r从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为()A.18dB B.20dBC.24dB D.27dB6.(多选)已知a，b∈R，4a＝b2＝9，则2a＋b的值可能为()A.eq\f(1,24) B.eq\f(3,8)C.eq\f(8,3) D.247.(多选)下列运算中，正确的是()A.2log2eq\f(1,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(\f(2,3))＝－2B.若a＋eq\f(1,a)＝14，则eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))＝4C.若log73＝a，log74＝b，则log742＝1＋eq\f(1,a)＋eq\f(b,2)D.若4a＝6b＝9c，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)8.化简eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·\r(3,\f(b,a)))(a＞0，b＞0)的结果是___________.9.若ex＝2024，e－y＝1012，则x＋y＝________.10.计算：log3eq\r(27)＋lg25＋lg4＋7log72＋8eq\s\up6(\f(1,3))＝___________.11.计算下列各式：(1)(lg2)2＋lg5·lg20；(2)logeq\r(2)4－log23·logeq\f(1,3)8；(3)8eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,9)))eq\s\up12(0)＋(1.5)－4·eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))\s\up12(2))－[(－2)4]eq\f(1,2).12.某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数.如果在前5h消除了10%的污染物，请解决下列问题：(1)10h后还剩百分之几的污染物？(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1h)？(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)【B级能力提升】13.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈eq\f(x,lnx)的结论.根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为(素数即质数，lge≈0.43429，计算结果取整数)()A.189 B.186C.145 D.10914.已知函数f(x)＝eq\f(x\f(1,3)－x－\f(1,3),5)，g(x)＝eq\f(x\f(1,3)＋x－\f(1,3),5).(1)分别计算f(4)－5f(2)g(2)，f(9)－5f(3)g(3)的值；(2)根据(1)的计算过程，写出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明.对点练12指数与对数的运算答案1．B[由eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意义，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,2－x≥0，))解得eq\f(1,2)≤x≤2.所以x－2≤0，2x－1≥0，所以eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,（x－2）4)＝eq\r(（2x－1）2)＋2|x－2|＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.]2．C[因为2a＝5，b＝log83，即23b＝3，所以4a－3b＝eq\f(4a,43b)＝eq\f(（2a）2,（23b）2)＝eq\f(52,32)＝eq\f(25,9).]3．C[由题意，得logba＝4·logab，所以eq\f(lna,lnb)＝eq\f(4lnb,lna)，即(lna)2＝(2lnb)2.因为a>1且b>1，所以lna＝2lnb，即a＝b2，故选C.]4．D[2log32－log3eq\f(32,9)＋(eq\r(2)－1)0＋log38－25log53＝log34－log3eq\f(32,9)＋log38＋1－52log53＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(9,32)×8))＋1－5log59＝log39＋1－9＝－6.故选D.]5．C[当r＝5时，ΔL1＝10lgeq\f(25π,4)，当r＝80时，ΔL2＝10lg1600π，则衰减量的增加值约为ΔL2－ΔL1＝10lg1600π－10lgeq\f(25π,4)＝80lg2＝80(lg10－lg5)≈80×(1－0.7)＝24.故选C.]6．BD[由4a＝9，解得a＝log49＝log2232＝log23，当b2＝9时，解得b＝3＝log28或b＝－3＝log2eq\f(1,8)，当b＝log28时，a＋b＝log23＋log28＝log2(3×8)＝log224，所以2a＋b＝24，当b＝log2eq\f(1,8)时，a＋b＝log23＋log2eq\f(1,8)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,8)))＝log2eq\f(3,8)，所以2a＋b＝eq\f(3,8).故选BD.]7．AB[对于A，2log2eq\f(1,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(\f(2,3))＝eq\f(1,4)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(3)))eq\s\up12(\f(2,3))＝eq\f(1,4)－eq\f(9,4)＝－2，正确；对于B，因为a＋eq\f(1,a)＝14，所以eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋\f(1,\r(a))))\s\up12(2))＝eq\r(a＋\f(1,a)＋2)＝4，正确；对于C，因为log73＝a，log74＝b，所以log742＝log77＋log73＋log72＝1＋log73＋eq\f(1,2)log74＝1＋a＋eq\f(b,2)，不正确；对于D，当a＝b＝c＝0时，4a＝6b＝9c成立，但eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)无意义，不正确．故选AB.]8.eq\f(a,b)[eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·\r(3,\f(b,a)))＝eq\f(a\s\up6(\f(3,2))b·a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(1,3)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·a－\f(1,3)·b\s\up6(\f(1,3)))＝aeq\f(3,2)＋eq\f(1,6)－1＋eq\f(1,3)b1＋eq\f(1,3)－2－eq\f(1,3)＝ab－1＝eq\f(a,b).]9．ln2[ex＝2024，e－y＝1012，则eq\f(ex,e－y)＝eq\f(2024,1012)＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ln2.]10.eq\f(15,2)[原式＝log33eq\s\up6(\f(3,2))＋lg52＋lg22＋2＋23×eq\f(1,3)＝eq\f(3,2)＋2lg5＋2lg2＋2＋2＝eq\f(3,2)＋2(lg5＋lg2)＋2＋2＝eq\f(3,2)＋2＋2＋2＝eq\f(15,2).]11．解(1)原式＝(lg2)2＋lg5·lg(4×5)＝(lg2)2＋2lg5·lg2＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.(2)原式＝4log22＋3log23·log32＝4＋3＝7.(3)原式＝2＋1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(\f(2,3))－4＝3＋eq\f(4,9)－4＝－eq\f(5,9).12．解(1)由P＝P0e－kt可知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝(1－10%)P0，于是有(1－10%)P0＝P0e－5k，解得k＝－eq\f(1,5)ln0.9，那么P＝P0·0.9eq\f(t,5)，所以当t＝10时，P＝0.81P0，即10h后还剩下81%的污染物．(2)当P＝50%P0时，0.5P0＝P00.9eq\f(t,5)，解得t＝5log0.90.5＝－5log0.92＝－5×eq\f(lg2,lg0.9)＝－5×eq\f(lg2,2lg3－lg10)≈33，即污染减少50%大约需要花33h.13．C[由题意知，小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈eq\f(x,lnx)，则估计1000以内的素数的个数为π(1000)≈eq\f(1000,ln1000)＝eq\f(1000,\f(lg1000,lge))≈eq\f(1000,\f(3,0.43429))≈145.故选C.]14．解(1)f(4)－5f(2)g(2)＝eq\f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)－5×eq\f(2\f(1,3)－2－\f(1,3),5)×eq\f(2\f(1,3)＋2－\f(1,3),5)＝eq\f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)－eq\f(（2\f(1,3)－2－\f(1,3)）（2\f(1,3)＋2－\f(1,3)）,5)＝eq\f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)－eq\f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝eq\f(9\f(1,3)－9－\f(1,3),5)－5×eq\f(3\f(1,3)－3－\f(1,3),5)×eq\f(3\f(1,3)＋3－\f(1,3),5)＝eq\f(3\f(2,