广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高二上学期1月期末联合考试 数学 含解析

学年广西壮族自治区柳州市高二上学期1月期末联合考试数8小题，每小题5分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线的倾斜角A.B.C.D.2.在等差数列中，，，则()A.10B.17C.21D.353.已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若，则()A.4B.4或6C.3D.3或74.在等比数列中，，，是的前n项和，则()A.63B.48C.31D.155.若椭圆的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为()A.B.C.D.6ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，M在EF平面BDE，则M点的坐标为()A.B.C.D.7.已知等比数列满足，其前n项和则()第1页，共1页A.数列的公比为pB.数列为递减数列C.D.当取最小值时，8.对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列15进行构造，第1次得到数列1652次得到数列176115，依此类推，第n次得到数列1，，，，，记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式()A.B.C.D.3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是A.B.C.数列的最大项为D.10.下列有关数列的说法正确的是()A.数列，0，4与数列4，0，是同一个数列B.数列的通项公式为，则110是该数列的第10项C.在数列1，，，2，，中第8个数是D.数列3，5，9，17，33，的一个通项公式为11.已知直线l的方向向量，为直线l上一点，若点为直线l外一点，则点P到直线l上任意一点Q的距离可能为A.2B.C.D.1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分。12.已知数列的前n项和为，且，，则.13.已知是等比数列，，若，则实数.14.已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则.四、解答题：本题共5小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分求适合下列条件的双曲线的标准方程：焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率第1页，共1页渐近线方程为，经过点16.本小题15分已知等差数列的前n项和满足，求的通项公式;，求数列的前n项和17.本小题15分如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动.证明：当E为AB的中点时，求异面直线AC与所成角的余弦值;线段AE的长为何值时，二面角的大小为18.本小题17分已知数列满足，求证：是等差数列;若，求数列的前n项和19.本小题17分已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，E为抛物线上一点，且求抛物线C的方程;过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若点P在抛物线的准线上，且为等边三角形，求直线AB的斜率.第1页，共1页答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角，由直线的方程求出直线的斜率是解决问题的关键，属于基础题．由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．【解答】解：直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得，又，故选2.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．由通项公式，求出d，再计算即可．【解答】解：在等差数列中，，，解得，所以，故选3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查双曲线定义，属于基础题.由∣，，可得【解答】解：双曲线中，，，，由双曲线定义知：∣，而，第1页，共1页又且，或7，4.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式与等比数列求和公式，属于基础题.先由已知条件与等比数列的通项公式求出公比q与首项，再由等比数列求和公式求解即可.【解答】解：由题意可得，解得，，所以故选5.【答案】B【解析】【分析】先根据题意可知，进而求得a和c的关系，离心率可得．本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．【解答】解：依题意可知，而，椭圆的离心率故选：6.【答案】C【解析】【分析】本题考查线面平行的性质，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．设AC、BD交于点O，连结OE，由已知推导出，，由此能求出点M的坐标．【解答】解：如图，第1页，共1页设M点的坐标为，，连接OE，则，又，，，，平面BDE，平面ACEF，平面平面，，，解得，点的坐标为7.【答案】D【解析】解：等比数列满足，其前n项和，由已知，当时，，则，即，当时，，所以，由等比数列知：公比为，则，即，所以，A、C选项错误；又，，则公比，所以数列为递增数列，B选项错误；，当且仅当，即时取等号，此时公比为，所以数列的通项公式为，D选项正确．第1页，共1页故选：利用退一相减法可得数列的递推公式，进而可得公比为，根据基本不等式可得当且仅当时，取最小值，进而可得公比与通项公式．本题考查等比数列的定义，单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由题意可知，第n次得到数列1，，，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，第3次得到数列1，8，7，13，6，17，11，16，5，第4得到数列1，9，8，15，7，20，13，19，6，23，17，28，11，27，16，21，5，第n次得到数列1，，，所以，，，，即【分析】根据数列的构造规律递推，得到即可．本题考查数列的递推公式及数列求和，考查学生的推理能力及运算能力，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式、性质和前n项和，属于基础题.由判断出，，求出，即可判断A；利用等差数列的性质求出，可以判断B；由，，可判断出最大，可以判断C；由，，，可以判断【解答】解：因为，，所以，故A正确；第1页，共1页，所以，故B正确；因为，，所以数列的最大项为，故C不正确；因为，，，所以，即，故D正确．故选10.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查数列的相关概念，数列的通项公式，属于基础题.根据数列的相关知识逐一判断可得.【解答】解：对于A，数列与中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以A不正确；对于B，令，解得或舍去，B正确；对于C，根号里面的数是公差为1的等差数列，第8个数为，即，C正确；对于D，由数列3，5，9，17，335项可知通项公式为，D正确.故选11.【答案】AB【解析】【分析】本题考查点到直线距离的向量求法，利用⟨⟩进行求解即可.【解答】解：因为，，所以，则，所以点P到直线l的距离，所以点P到直线l上任意一点Q的距离大于或等于，故选12.【答案】【解析】【分析】第1页，共1页本题考查求数列的通项公式，属于基础题.根据可以求出通项公式；检验与是否相等，从而确定的表达式.【解答】解：根据递推公式，可得，，可得，，即，当时，不满足上式，所以13.【答案】11【解析】解：因为是等比数列，…，若，则…，所以，所以，所以故答案为：由已知结合等比数列的性质及指数的运算性质可求．本题主要考查了等比数列的通项公式及性质的应用，属于基础题．14.【答案】2【解析】【分析】本题考查抛物线的定义和性质，以及圆的性质，考查数形结合思想和运算能力，属于基础题．AFBF到准线的距离，可得【解答】解：抛物线C：的焦点为，准线方程为，第1页，共1页因为A，F，B三点共线，可得AB为圆F的直径，所以，由抛物线的定义可得，则，所以F到准线的距离为，故答案为15.【答案】解：由题意设所求双曲线的标准方程为，则，所求双曲线的标准方程为由渐近线方程，可设所求双曲线的方程为，该双曲线经过点，，所求双曲线的标准方程为【解析】本题考查了双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用.设出标准方程，求出c，然后求出b，这样可以求出双曲线方程.由题意设所求双曲线的方程为，将点代入，从而求出双曲线方程.16.【答案】解：设公差为d，则，第1页，共1页所以，解得，所以，，所以，所以.【解析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．设等差数列的公差为d，由等差数列的求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；求得，，再利用裂项相消法求和即可．17.【答案】解：以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，…因为，，所以；因为E为AB中点，则，从而，，设AC与所成的角为则设平面的法向量为，，，由，有，令，从而，，由题意，第1页，共1页不合题意，舍去，或当时，二面角的大小为【解析】以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，则我们可以确定长方体中，各点的坐标，求出直线和直线的方向向量后，判断他们的数量积为0，即可得到；由E为AB的中点时，则我们可以求出满足条件的E点的坐标，进而求出直线AC与的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．若二面角的大小为，则平面的法向量与平面ECD的法向量的夹角大小为，求出平面的法向量，构造关于x的方程，解方程即可得到满足条件的AE的值．本题考查的知识点是向量语言表述线线的垂直、平行关系，用空间向量求直线间的夹角、距离，用空间向量求平面间的夹角，其中建立适当的空间坐标系，求出各顶点的坐标及相关直线的方向向量及相关平面的法向量的坐标，将空间平行、垂直及夹角问题转化为向量的夹角问题是解答本题的关键．18.【答案】证明：由，又，，故，且，是首项、公差均为的等差数列.解：由，，则，又，，则，，，则，，第1页，共1页【解析】本题考查等差数列的证明、错位相减求和，属于中档题.由题意化简即可得出，结论得证;由得出，使用错位相减法求出19.【答案】解：不妨设点E在第一象限，因为，所以，则，因为，所以，即抛物线C的方程为当直线l的斜率不存在时，，，要使得为