2023年高考新教材数学一轮复习 课时跟踪检测 第7章

课时过关检测（三十八）空间几何体的结构特征、表面积与体积

A级----基础达标

1.（2022・天沐模拟）已知一个圆锥的母线长为4,且其侧面积是其轴截面面积的4倍，

则该圆锥的高为（）

A.兀B.当

2兀、兀

C.至D.2

解析：A不妨设圆锥的底面半径为八母线长为/,高为儿根据题意，则4x3x2”?

=兀4所以力=?=〃X4=TI.

2.如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45。，腰和上底长均为1

的等腰梯形，则该平面图形的面积为（）

A.异乎B.1+坐

C.l+V?D.2+^2

解析：D由题意，根据斜二测画法的规则，可得该平面图形是上斗

底长为I,下底长为1+6，高为2的直角梯形OABC,如图所示，所以

计算得面积为S=,l+1+*\/^）X2=2+，^.故选D.（）|14^

3.一个球的表面枳是16工，那么这个球的体积为（）

A.争B.基

64n256

C.-nD.-yn

解析：B设这个球的半径为/?,则4冗/?2=16兀，得R=2,所以这个球的体积V=%R3

32

=yn.故选B.

4.（2022.卉鸟版桧）如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱AAt=4,若侧面

用水平放置时，水面恰好过AC,BC,4G，81G的中点，当底面A8C水平放置时，

则水面的高为（）

7

C.3D.2

解析：C当侧面448由水平放置时，水的形状为四棱柱，底面是梯形，面积为S,此

时水的体积U=S.44=4S,当底面AAC水平放置时，水的形状为三棱柱，设水面高为九

34s

此时水的体积V=S八A8C"〃，又S=1SAABC,.\h=~^=3,故选C.

TOAABC

5.（多选）下列说法正确的是（）

A.棱柱的侧棱长都相等

B.棱柱的两个互相平行的面•定是棱柱的底面

C.棱台的侧面是等腰梯形

D.用一个平面敲一个球，得到的截面是一个圆面

解析：ADA正确；B不正蛹，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C不正确，极台

的侧棱长可能不相等；D正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面.故选A、D.

6.（多选）如图所示的圆锥的底面半径为3,高为4,则（）

H

A.该圆锥的母线长为5

B.该圆锥的体积为12兀

C.该圆锥的表面枳为15冗

D.三棱锥S-ABC体积的最大值为12

解析：ABD该圆锥的母线长为4否不=5,A正确；该圆锥的体积为;XnX3?X4=

12兀，B正确；该圆锥的表面积为兀X3X（3+5）=24u，C错误；当08_LAC时，ZkABC的面

积最大，此时SM8C=4X6X3=9,三棱锥S-ABC体积的最大值为（X9X4=12,D正确.故

选A、B、D.

7.（2022•珠海模拟）一个六棱锥的体积为2小，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长

都相等，则该六极锥的侧面积为.

解析：设六棱锥的高为力，则V=；S〃，所以;X^X4X6力=2小，解得力=1.设六棱

JW**

锥的斜高为h',则加+（#产=/?，2,故h'=2.所以该六棱锥的侧面积为^X2X2X6=

12.

答案：12

8.（2022・武汉月考）已知圆台的上、下底面半径分别是r,R,且侧面积等于两底面积之

和，则圆台的母线长为.

解析：设圆台的母线长为/,则圆台的侧面积为5例=兀（「+宠）/,圆台的两底面积之和为

r2+R2

5=兀（户+足），由已知得兀所以/=———,

r~vK

/+7?2

答案:

r+R

9.（2020•江苏商考）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆

柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径

为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.

解析：正六棱柱的体积为6X^X22X2=12V3（cm3）,圆柱的体积为九X0.52X2=^

（cm3）,则该六角螺帽毛坯的体积为（125一^cn?.

答案：12小一5

B级——综合应用

10.若正三楼台上、下底面边长分别是〃和2”，棱台的高为沼，则此正三极台的侧

面积为（）

A.B.ya2

D.

解析：c如图，设a,。分别为上、下底面的中心，D,。分

别是AC,A1G的中点，过D1作D|E_L0。于点E.在直角梯形ODDiOi

中，OO=《X^X2a=噂a,O\D\=^X^-Xa=^at.\DE=OD—

3235ZO

OiDi=*a.在RtADfDi中，。|£=噜”，则DyD=

I9

a..'.SW=3X^(«+2CZ)(/=2«2.

11.如图，四边形ABC。为梯形，AD//BC,N48C=90。，图中阴影部分绕48所在直

线旋转一周所形成的几何体的体积为.

解析：由题意知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球，圆台的上底面面积

$=4兀，下底面面积S2=16兀，.•.圆台的体积为必=孑X（48+小九X16兀+16兀）X3=28n,又

3I

半球的体积为V2=1x^X7tX2=-y,故旋转体的体积为％—3=2阮一号=等.

答案：竽

12.沙漏是一种古代的计时装置.，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄

的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下

部容器所需要的时间称为该沙漏的•个沙时，如图，某沙漏由上、下两个相同的

圆锥组成，圆锥的高为I,若上面的圆锥中装有高度温的液体，且液体能流入下

面的圆锥，则液体流下去后的液面高度为.

解析：由题意可得，念=修〉吾，所以，/二"=1一界音,又上下两圆锥是对顶

的相同圆锥，所以液体流下去后的液面与下圆锥底面形成一个圆台，其体积等于液体未流前

小圆锥体积，所以未流下前上圆锥中的空圆台与流下后下圆锥液体上方的空圆锥体积相等，

所以液体流下后下圆锥中看-=3所以入的高为-^1=胡，即液面的高度为I一弯.

答案；1-攀

课时过关检测（三十九）空间几何体的截面、球的切（接）问题

A级—基础达标

1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面匕则该球的表面积为（）

32

A.12nB.-yn

C.8nD.47t

解析：A设正方体的棱长为a,则〃3=g,解得。=2.设球的半径为R则27?=2小，

即/?=小.所以球的表面积5=47求2=12九

2.一个圆柱的内切球的表面积为36小则这个圆柱的表面积为（）

A.45%B.27兀

C.54几D.36几

解析：C设圆柱的内切球的半径为小则4兀,=36〃可得r=3,所以该圆柱的底面圆

半径为R=3,圆柱的高为力=2r=6,因此该圆柱的表面积为S=2n股+2冰2=2兀X3X6+

27tx3?=54心故选C.

3.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的桦符

卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全I

对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经90。桦卯起来.若正四棱柱的

高为8,底面正方形的边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则

该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计，结果保留n）（）

A.96nB.84兀

C.42nD.167t

解析：B若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正

四棱柱的体对角线长，即2R=符短T萨晏=25，所以/?=4,球形容器的表面积

S=47r/?2=84n.故选B.

4.如图，在正四棱柱A8CD-AIiCQ中，AB=\,d】=小，点七为彳_7f

A8上的动点，则UE+CE的最小值为（）4，|?r

A.2小B.VK）J

C.小+1D.2+也

解析：B如图，连接G8并分别延长至£G,使得"=4O,BG=BC,

连接EG,/G,二•四棱柱48CD-Ai8iG/）i为正四棱柱，，平面4。小4,48，平

面BCGBi,：.ABLAF,AB1BG,XAB=AD=AF,四边形ABG尸为正方形，：.EG=

、“炉+AG?=邓0+BC?=CE,...OiE+CE的最小值为。iG,又。6=丽产再五=胸7

=币".'OiE+CE的最小值为也.

5.（2022•淮北一模）已知正方体A8CD-八1iGA的边长为2,边AB的中点为M,过点

M且垂直BD\的平面被正方体所截的截面面积为（）

A.2B,小

C.2小D.3小

解析：A如图，连接AC,CBi,AB},BCi,易知C%_L8G,C«1±DiCi,又BCCQiG

=CHBCi,QiGU平面8D1G,所以CBi_L平面8GOi.因为BO|U平面BDCi,故CBi

同理可证C4J•平面B。。，则8QU平面8/犯，则CA_L8。，又CAGCB|=C,

CA,C&U平面C人以，故8。」平面人CBI.取8C的中点£68的中点F,连接ME,EF,

MF,易知平面ME/〃平面ACBi,所以8D]_L平面ME"，即△"£：”为所求的截面.易知△

ME厂为正三角形，边长ME=\]BM2+BE2=木,故S.MEF=9S■义小乂呼=呼.故选A.

6.（多选）用一个平面截一个正方体，截面图形可以是（）

A.三角形B.等腰梯形

C.五边形D,正六边形

解析：ABCD如图所示,用一个平面去截正方体，截面可能是三角形、等腰梯形、五

边形、正六边形，故选A、B、C、D.

A.球。的表面枳为6兀

B.球。的内接正方体的校长为1

C.球O的外切正方体的楂长为之

D.球。的内接正四面体的棱长为2

解析：AD球的表面积为47rxG^}=47rX号=6江.ATF确-正

方体的体对角线长为2X乎=#,棱长为虎=巾，B错误.球的外

切正方体的棱长为2乂乎=水，C错误.将正四面体补形为正方体

如图所示A-BCQi,正方体的体对角线长为2X^=加，棱长为意=也，所以正四面体的

棱长为表乂6=2,D正确.故选A、D.

8.（2022•北京海淀质检）在个棱K为3+20的正方体内部有个大球和小球，大球与

正方体的六个面都相切，小球可以在正方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最

大值是________

解析：如图所示，为组合体的中截面，易知当小球的表面积最大时大

球半径R和小球半径r满足隹R=R+r+小,，2/?=3+26，解得「=白，故小球表面积的最

大值为n.

答案：兀

9.已知正三棱锥S-/1BC1勺侧棱长为4小，底面边长为6,则该正三棱锥外接球的表面

积是.

解析：如图，过点S作SE_L平面48c于点E,记球心为。.\•在

正三棱锥SABC中，底面边长为6,侧校长为4小，当X6

3

1____总超才为

=25，:.SE=7SB?—BF=a•.•球心。到四个顶点的距离相等，均等

于该正三棱锥外接球的半径R,...OBnR,OE=6~R.在R〔Z\BOE中，

。序=8炉+。炉，即穴2=12+(6—投尸，解得R=4,...外接球的表面积为S=47tR2=647t.

答案：64几

10.如图，圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角

形ABC的中心为O.D,E,尸为圆。上的点，ADBC,AECA,△MB分

别是以RC,CA,AR为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以RC,

CA,AB为折痕折起△O8CAEC4,△FAB,使得D,E,F重合，得到三

棱锥.当△ABC的边长变化时，求所得三棱锥体积(单位：cm')的最大值.

解：如图，连接。。，交8c于点G,由题意，知ODA.BC,OG=^BC.设

OG=x,则3c=2小％,DG=5-x,

三棱锥的高力=>QG2—OG2=^25—lOx+f—6=425—10x,

S△八Bc=gx2，5%X3x=3，5f,则三棱锥的体积V=1s△4BC-A=V5x2-^25—IOx=

4725./—10A5.

令儿目=25/-10金，x£(0,I),则，。)=100.1—50?.

令/(x)=()得x=2.当i£(0,2)时，/(x)>0,段)单调递增，当x£(2,号时，，(x)<0,

凡目单调递减，故当x=2时，_")取得最大值80,则巫.

所以三棱锭体积的最大值为44记cm\

B级——综合应用

11.(2020・全国I卷)已知八，B,C为球0的球面上的三个点，0Oi为AABC的外接圆.若

OOi的面积为4兀，AB=BC=AC=OOi，则球0的表面积为()

A.64nB.48兀

C.367rD.32n

解析：A如图所示，设球。的半径为R,OOi的半径为r,因为。

。1的面积为4兀，所以4兀=兀/，解得「=2,又AB=8C=AC=00i,所以(0、

~^=2r,解得AB=2逐故00尸2小，所以肥=0/+J=(2小产

sinou

+22=16,所以球。的表面积S=4TTR2=64兀.故选A.

12.在四面体A8CD中，若AB=CD=小，AC=BD=2,AD=BC=&则四面体ABC。

的外接球的表面积为()

A.2兀B.4兀

C.67rD.8兀

解析：C由题意可采用割补法，考虑到四面体ABC。的四个面为./

全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以小，2,小为三边的三角2VVJ

形作为底面，分别以x,y,z为侧棱长的三棱锥，如图所示，从而可得/TvJ

到一个长、宽、高分别为x,y.z的长方体，并且『+产=3,/+/=5,忆一一一必

Iy

)J24-Z2=4,则有(2R)2=/+,2—Z2=6(R为球的半径)，得2H2=3,所以球的表面积为5=471/??

13.(2022•海南模拟)在半径是13cm的球面上有A,B,C三点，且AB=BC=CA=\2cm,

则球心到经过这三点的截面的距离为.

解析：由题意知问题实际上是在一个底面是边长为12的正三角形，三条S

侧棱长度都是13的正三棱锥S-A3C中，求顶点S到底面A8C的距离，如图，/1\

ORQ----<+"："74

过顶点向底面作垂线，垂足是O,连接40,根据三角形的重心性质，AO=Jx^r/

X12sin60°=4，5,根据在直角三角形中已知的斜边长是SA=13,一条直角边

长是AO=4、G，则要求的直角边长是5求=，%2-402=3|32—(4#)2=11.即球心到经过

这三个点的截面的距离是11cm.

答案：11cm

14.已知正四棱锥R48CO的底面正方形的边长是3,。是P在底面上的射影，PO=6,

。是AC上的一点，过点Q目.与PA.3。都平行的截面为五边形EFGHL,求该截面面积的最

大值.

解：如图，连接AC,BD,设截面与正四棱锥P-A8CO的底P

面相交于EL,AC与EL相交于点Q,由8。〃截面EFGHL,得/iVV

LE//BD,由AP〃截面EFGHL,得AP//QG,则EL必定分别与:氯\

AB,A。相交于E,心否则，截面将是三角形，贝”AP〃瓦;AP//悭\

LH.在正四棱锥P-4BCQ中，BDA.AP,由:〃8。,4/3QG,知足/二吵

ZGQE是异面直线30与阴所成的角，则QG1EL,所以平面b一十:卜必

GFEQ和平面是两个全等的直角梯形.

设AE=M0〈E3）,则人P=正势+6』宅.

FF3-A-3

由AP//EF,得丁=丁，故£尸=娱（3—#,由AP〃QG,得号=［产，

£揖］闱+也3-）笈=_++%=

故QG=从而S五〃用EFGHA=2X

2升9,

所以当x=2时，截面的面积取得最大值9.

C级——迁移创新

15.（多选）在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹蔑或苇蒿等

材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，其中有一种外形为圆锥形的斗笠，

称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底

宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长

20厘米，帽底宽2（八万厘米，关于此斗笠，下列说法正确的是（）

A.斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120。

B.过斗笠顶点和斗笠恻面上任意两母线的截面三角形的最大面积为10即平方厘米

C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球匕则该球的表面积为1600允平方厘

米

D.此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为2即一30理:米

。

解析：ACD2一=60°,所以顶角为夕

=120°,A正确;

对B选项，因为顶角为e=120°,则截面三角形的最大面积为;X2（）2sin90°=200平方

厘米，B错误；

对C选项，因为顶角为6=120。，则孝=60。，所以外接球半径等于圆锥母线长，即/?=

20,则该球的表面积为4兀尸=1600兀平方厘米，C正确；

对D选项，如图，设球的最大半径为r,因为顶角为120c,则/OCQ=15°,所以r=

lan45"-lan30”

CD-tan15°=10；=2（＞V3-30,D正确.故选A、C、D.

I+tan45°tan30

A

BDC

16.多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定笈尸「

的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：v（顶点数）+"表宅笈

面数）一双棱长数）=2.在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边矍

形面组成的凸多面体，例如富勒烯CM结构图如图）是单纯用碳原子组成的瓮

稳定分子.具有60个顶点和32个面,其中12个而为F无边形.20个面为F六边形.除

CbO外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有C?8，Cj2>C50，C70»Cg4，C240，C540等，则C84

结构含有正六边形的个数为（）

A.12B.24

C.30D.32

解析：D在富勒烯多面体C84中，连结每一个顶点的棱都是3,并且每条棱都连结2

3X84

个顶点，因此可由顶点数V=84求得棱数石=七一=126.设分子中形状为正五边形和正六

边形的面的个数分别为x,y,由欧拉公式V+F-E=2,可杼84+x+y—126=2,即x+y

=44.又由多边形的边数可表示C&4的棱数，即（5x+6.y）+2=3X84+2,即5x+6y=252,由

x+y»=44x^~12

u1:c解得故C也结构含有正六边形的个数为32.

5x+6y=252,[>'=32.

课时过关检测（四十）空间点、直线、平面之间的位置关系

A级----基础达标

1.（2022E庆一中月考）如图，aC\Q=l,A,BGa,CSfi,且OU直线人80/=〃，过

A,B,C三点的平面记作y,则7与4的交线必通过（）

A.点A

C.点。但不过点MD.点C和点M

解析：DVABCy,MEAB,又aCp=I,M0,:.MSp.根据基本事实3

可知，M在y与£的交线上.同理可知，点C也在7与0的交线上.

2.若。〃a,h///i,a//[i,则a,〃的位置关系是（）

A.平行B.异面

C.相交D.平行或异面或相交

解析：D如图①②®所示，a,〃的关系分别是平行、异面、相交.

//4///

----a----a——

----b/b4

//////

图①图②图③

3.（2022・胜州模拟）已知”，〃，c是三条不同的直线，。，少是两个不同的平面，aCf）=

c,"（="，bu（i,贝IJ“小人相交”是“小。相交”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：C若a,b相交，aU〃，bu｝则其交点在交线c上，故a,c相交；若a,c

相交，可能a,〃为相交直线或异面直线.综上所述：m〃相交是a,c相交的充分不必要

条件.故选C.

4.过长方体的一个顶点的平面与这个长方体的十二条极所在的直线成的角都相等，这

样的平面个数为（）

A.4B.1

C.0D.无数多个

解析：A由题意，题目中的长方体与止方体，所作的平面个数相同，所以用止方体代

替长方体来求解.

法一：在正方体48CD-AB】GG中，三棱锥A/田。是正三棱锥，直线A3,AD,A4

与平面八山。所成角都相等，过顶点人作平面Q〃平面ABD,则直线AB,AD,人4与平面

«所成角都相等，同理，过顶点A分别作平面a与平面C\BD.平面B\AC,平面。力。平行,

直线4氏AD.44与平面a形成的角都相等，因此符合条件的平面可作4个，故选A.

法二：只要与体对角线垂直的平面都和正方体的所有棱所成的角相等，因为有四条体对

角线.所以.可以锹4个平而.故选A.

5.（多选）下列四个命题中是真命题的为（）

A.两两相交且不过同•点的三条直线必在同•平面内

B.过空间中任意三点有且仅有一个平面

C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行

D.若直线/U平面a,直线〃j_L平面a,则〃j_L/

解析：AD对于A,可谈人与八相交，这两条直线确定的平面

为a；若人与人相交，则交点A在平面a内，同理，h与12的交点、B

也在平面a内，所以，A3U“，即〃ua,A为真命题;

对于B,若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故B为假命题；

对于C,两条直线有可能平行也有可能异面，故C为假命题；

对于D,若直线〃1_L平面a,则机垂直于平面a内所有直线，因为直线/U平面处所

以直线川J•直线/,D为真命题.

6.(多选)如图，点E,F.G,”分别是正方体A8CD-A出GA中棱

Mi，AB,BC,GDi的中点,则()

A.GH=2EF

B.GH丰2EF

C.直线EHGH是异面直线

D.直线ERG”是相交直线

解析：BD如图，取棱CG的中点M4"的中点AK迂接EM,

MH,HN,NG,FG,AC,4)C),在正方体ABCD-A\B\C\D\中，'：MH

//AiC}//AC//FG,：,M,H,F,G四点共面，同理可得E,同，G,N

四点共面，E,F,H,N四点共面，，E,M,H,N,G,尸六点共面，

均在平面EFGN〃M内，FEF//HN,HNCHG=H,HN,HG,EFGNHM,：.EF

与G〃是相交直线.由正方体的结构特征及中位线定理可得E/="N=NG=FG=£M=M”,

:.木EF=GH,即GHW2EF.故选B、D.

7.(2022・武汉质检)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且AB//

CD,则直线七尸与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.

解析：因为AB〃C。，由图可以看出EE平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面

相交.

答案：4

8.如图，已知圆柱的轴截面ASGiAi是正方形，C是圆柱下底面弧A6的中点，Ci是圆

柱上底面弧4丛的中点，那么异面直线AG与所成角的正切值为.

解析：如图，取圆柱下底面弧A8的另一中点。，连接G。，AD,因为。是圆柱下底

面弧AB的中点，所以AO〃5C,

r

所以直线4G与4。所成角等于异面直线4G与8C所成角.因为G是圆柱上底面瓠

的中点，所以GZ）J_圆柱下底面，所以GO_LA。，因为圆柱的轴截面A8囱4是正方形,

所以6。=地A。，所以直线AG与A。所成角的正切值为地，所以异面直线AG与8C所

成角的正切值为5.

答案：巾

9.在棱长为4的正方体A8CQ-4SG。中，E,尸分别是8c和的中点，经过点

A,E,”的平面把正方体ABCD-ASGd截成两部分，求截面与3CG囱的交线段长.

解：如图，连接AE并延长交。C的延长线于M,连接交CG于G,连接EG并延

长交由G的延长线于N,连接N尸并延长交4G于，，连接A，，则五边形AEGF”为经过

点A,E,尸的正方体的截面，

因为E为8。的中点，所以。£=^8。=2,

因为CE〃4。，所以△MC£s2\MD4,

rMCFI

所以加=4方=£,所以CM=CO=4.

因为。M〃GOi,所以△MCGs△/GG,

28

CGCM--

所以C^=GF=233

所以EG=7CE：2+CG2=

所以截面与BCC内的交战段长为坐

B级——综合应用

10.已知正方体ABCQ-ABiGd的棱长为36，E,”分别为AC,。。的中点，尸是线

段48上的动点，GP与平面产的交点0的轨迹长为（）

A.3B.

C.4D.3^2

解析：B如图所示，连续£尸，A由，连接4G,田。|交于点M,

连接BiE,BC交于点N,连接MN,由EF〃BiD\,得E,F,丛，D\

共面，由P是线段48上的动点，当P重合于4或8时，GAi,GB

与平面。尸的交点分别为M,N,即Q的轨迹为MN,由棱长为3也，

得GM=，4iG=3,则BG=6,又L则NCi=？9G=4,由AiB=8G=AiG,

16-2X3X4x1=

得/4G5=60°,贝1MN=

vn.

11.（多选）如图所示，在上方体ABCD-A/CQi中，。是明。的中点，直线4c交平

面4片。于点M,则下列结论正确的是（）

A.4M,。三点共线B.A,M,O,Ai共面

C.人，M,C,。共面D.B,&,O,M共而

解析：ABC•.•M£AiC,ACU平面A】ACG,平面ANCG,又平面ABxD\,

...M在平面A8|Q|与平面ANCG的交线AO上，即4,M,。三点共线，...A,M,O,4

共面且A,M,C,。共面，•：平面BSnOA平面A8iDi=SZ）i,在平面8区。力外，

即从&，。，M不共面，故选A、B、C.

12.（2022・福州模拟）空间三条直线a,b,c两两异面，则与三条直线都相交的直线有

________条.

解析：取“，仇c为一正方体三条两两异面的棱人。，CC）,A\B\,在A。上任取一点M,

在8C上取点N,使得BiN〃4M,设直线8iN与CG交于点P,PM即与“，b,c都相交,

由于M是任取的，故满足条件的直线有无数条.

答案：无数

13.如图，A从CD是圆锥面的正截面（垂直于轴的截面）上互相垂

直的两条直径，过C。和母线的中点E作一截面.已知圆维侧面展

开图扇形的中心角为吸n，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说

明截线是什么曲线.

解：如图，设。。的半径为七母线VB=I,则圆锥侧面展开图的中

心角为平=也兀，.吟=察

«，乙

/.sinZZ?VO=：y,

...圆锥的母皴与轴的夹角a=NBVO/

连接OE,〈O,E分别是A&V8的中点，

二.OE//VA.

：.ZVOE=ZAVO=Z«VO=J,

：.ZVEO=^f即VEJ_OE.

又二人爪。。，VO±CD,ABQVO=O,

...CO,平面VAB.

TVEU平面VAB,

J.VELCD.

又•：OEC\CD=O,OE,COU平面COE,

.•.VE_L平面CDE.

，NVO£是截面与轴线的夹角，

二.截面的轴线夹角大小为去

由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面COE与圆锥面的截线为一抛物级.

C级——it移创新

14.《九章算术・商功》中刘徽注：“邪解立方得二堑培，方解堑堵，其一为阳马，其一

为鳖嚅.”如图①所示的长方体用平面44山山斜切一分为二，得到两个一模一样的三极柱,

该三棱柱就叫堑堵.如图②所示的堑堵中，AC=3,BC=4,AB=5,A4]=2,M为8c的

中点，则异而直线4c与AM所成角的余弦值为（）

9

_

13

AC.逅

9

解析：A如图，取的中点E,连接4E,EC,则ZEAyC、------fi

即为异面直线AiC与AM所成的角或其补角，在RtAAiGE中，\正/

=<H,在RiZ\EGC中，"=422+22=26在RiAA^iC中，4。=回，

在△4EC中，由余弦定理得，器麻三步

=看，故异面直线AC与AM所成角的余弦值为卷，故选A.

15.设小。是异面直线，点内小N〃.问：过点尸是否可作直线/与小〃都相交？

如果可作，能作多少条？如果不可作，请说明理由.

解：因为&a,P^b,所以点P与直线出方分别可确定一个平面a,从又平面a,夕有

一个公共点P,所以它们有且只有一条经过点〃的直线/.

(1)当/〃％,且/〃W时，/就是合乎要求的直线，且唯一：

(2)当/〃a,或/〃力时，这样的直线不存在.

课时过关检测(四十一)直线、平面平行的判定与性质

A级—基础达标

1.如果AB,BC,CO是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线

AC的位置关系是()

A.平行B.相交

C.AC在此平面内D.平行或相交

解析：A把这三条线段放在正方体内如图，显然AC〃月八403平面EFG,TE产U平

面EFG,故人。〃平面£7七，故选A.

2.(2022•浙江模拟)设川，〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平而，且〃1U&,〃

Ua,则“a〃6”是“小〃夕且〃〃尸”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：Am,〃是两条不同的直线，a,/?是两个不同的平面，且〃jUa,〃Ua,则“a

得“小〃夕且〃〃/r,根据面面平行的判定定理得“加〃少且"〃夕'不能得"a〃夕’，

所以r是“相〃/?且,“7?”的充分不必要条件.故选A.

3.（2022・本溪模拟）对于平面a和不重合的两条直线〃?，〃，下列选项中止确的是（）

A.如果mUa,〃】，〃共而，那么〃?〃〃

B.如果mUa,”与a相交，那么/〃，〃是异面直线

C.如果"Ua,Ma,m,“是异面直线,那么〃〃a

D.如果m±«,nA.ni,那么n//a

解析：A由线面平行的性质定理，可知A正确，B选项d,〃可以与小相交，C选项

中，直线”可以与平面a相交，D选项中，〃可以在平面a内.故选A.

4.（2022天滓模拟）若平面a截三极锥所得截面为平行四边形，则该三极锥中与平面a

平行的棱有（)

A.0条B.1条

C.2条D.1条或2条

解析：C如图所示，平面a即平面EFG”,则四边形为

平行四边形,则E尸〃GH.平面8c。，GHU平面BCD,；.EF

〃平面BCD.又•.•£："（=平面AC。，平面3COn平面ACO=CD,

EF//CD.又EFU平面EFGH,CZX平面...C。〃平面EFGH,

同理，A8〃平面EFG”,所以与平面a（平面EFG"）平行的棱有2条.

5.（2022•珠海一模）已知E方体A8CQ-A1iGd的体积为64,若点平而4B。，点

N£平面8C。，则MN的最小值为（）

A.挚4小

B.3

4

D.

C.3

解析：B由正方体特征知BD〃B\Di,又跳耳平面BCDi,

U平面8CQ1,，鸟。〃平面目C