正余弦定理解三角形-2025年高中数学一轮复习

第08讲正余弦定理解三角形

（10类核心考点精讲精练）

IfV考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

正弦定理解三角形

2024年新I卷，第15题,13分余弦定理解三角形正弦的和差公式

三角形面积公式及其应用

正弦定理解三角形

2024年新n卷，第15题,13分辅助角公式

正弦定理边角互化的应用

正弦定理解三角形

2023年新I卷，第17题,10分用和、差角的正弦公式化简、求值

三角形面积公式及其应用

三角形面积公式及其应用

2023年新n卷，第17题,10分数量积的运算律

余弦定理解三角形

2022年新I卷，第18题,12分正弦定理边角互化的应用基本不等式求和的最小值

正弦定理解三角形

2022年新II卷，第18题,12分三角形面积公式及其应用无

余弦定理解三角形

2021年新I卷，第19题,12分正弦定理边角互化的应用几何图形中的计算

正弦定理边角互化的应用

2021年新H卷,第18题,12分三角形面积公式及其应用无

余弦定理解三角形

正弦定理解三角形

2020年新I卷，第17题,10分无

余弦定理解三角形

正弦定理解三角形

2020年新n卷，第17题,10分无

余弦定理解三角形

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等，分值为13-15分

【备考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用

1

2会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.

3会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式

在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，需重点复习。

II考点梳理

知识点1正弦定理及形

知识点2三角形中三个内角的关系

知识点3余弦定理

知识点4三角形的面积公式

考点1正弦定理边角互化解三角形

考点2利用正弦定理判断三角形解的个数

考点3余弦定理求值

考点4利用正余弦定理判断三角形的形状

考点5三角形面积的应用

考点6外接圆、内切圆半径问题

考点7双正弦

考点8双余弦

考点9解三角形中的证明问题

考点10解三角形中的实际应用

知识讲解

1.正弦定理

(1)基本公式：

——n二二、h=」c一二2R(其中火为A45c外接圆的半径)

sinAsinBsinC

(2)变形

a_b，二2八一”心一a+b_a+c_b+c

sinAsinBsinCsin4+sin5+sinCsin/+sinsinZ+sinCsin5+sinC

a:b:c=sinA:sinB:sinC

2.三角形中三个内角的关系

A~\~B_7i_C

・兀

.•Z+8+C=2~22

sin(B+C)=sinZ,cos(5+C)=-cosA,tan(5+C)=一tanA

2

n_C7T_Cc

sin(g^)=sin|=cos|cos(^)=cos|=sin|tan(^)=tan=cot——

5一万5一万2

3.余弦定理

(1)边的余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA,b2=a*1+c2-2accosB,c2=a1+b2-labcosC

(2)角的余弦定理

,b72+.c2-a2a2+.c2-b72a2.+1b2-c2

cosA=--------------cosB=--------------cosC=--------------

2bc,2aclab

4.三角形的面积公式

S\ABC二万

S^BC=~^bsinC=—acsinB=-bcsinA

考点一、正弦定理边角互化解三角形

典例引领

jr

1.（2023•全国•高考真题）在中，内角4卅C的对边分别是。也。，若acosB—bcos4=c,且。=《，

则=（）

7i7i37r2兀

A.—B.一C.—D.—

105105

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得/Z的值，最后利用三角形

内角和定理可得的值.

【详解】由题意结合正弦定理可得sin/cos5-sin5cos/=sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sm^A+=cos+sin5cosA,

整理可得sinBcos4=0,由于BE（0,兀），故sin5〉0,

71

据此可得cos/=0,4=5,

故选：C.

2.（2024•湖南永州•三模）已知在“5C中，角A,B,C所对的边分别为。，6,。，且acosB+6cos/=-2ccosC,

sinf2^+-|=-

贝Ijcos(/-B)=

l6)8

7

【答案】-/0.875

o

［分析］利用正弦定理结合和角正弦公式可得sin（4+8）=-2sinCeosC,进而求得C=?，从而有A+B=^,

3

故cos(4-5)=cos(24-qj=cos(2Z+5引=sin(24+喜,即可求解.

【详解】因为〃cos5+bcosZ=-2ccosC,

由正弦定理可得sinAcos5+sin8cosA=-2sinCcosC,

即sin(/+B)=-2sinCcosC,所以sin(兀一C)=-2sinCcosC,

即sinC=-2sinCcosC,因为sinC>0,所以cosC=——,

2

因为0<C<兀，所以C=&，即N+B=g,

33

所以cos(4-8)=cos(2/一=cos(24+^j=sin^2A+:.

7

故答案为：—.

o

3.(2024・四川凉山・二模)设448c的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若竺巴0二0£+8=i,则

QCOS5+6COS/C

A=.

【答案】j

【分析】根据给定等式，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式计算即得.

■、斗心、*acosB-bcosAb,,sinAcosB-sinBcosAsin51

【详解】在"5C中，由---------7+—=1及正弦定r理mZ得F：—-——-—————=h

acos5+8cos/csmAcosB+smBcosAsmC

而sinC=sin(/+5)=sinAcos5+sin5cosA,

sinAcosB-sinBcosAsin3

则----------------；-------------F----------------；-----------=1,

sin4cosB+sin5cosAsin4cosB+sin5cosA

整理得sin/cosB-singcos/+sinB=sinAcosB+sinBcosA,即2sin5cosA=sinB,

1jr

又sin5>0,因此cos4=—,而0<4<兀，所以/=；.

23

故答案为：J

4.（2024•全国•高考真题）记。8c的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinN+6cos/=2.

（1）求/.

（2）若。=2,也6sinC=csin23,求”8c的周长.

【答案】（1）/=2

0

（2）2+76+372

【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin/+®cos/=2进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三

角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；

（2）先根据正弦定理边角互化算出3,然后根据正弦定理算出ac即可得出周长.

4

【详解】(1)方法一：常规方法(辅助角公式)

由sin4+®cos/=2可得Lsin4+3^cos4=1,即sin(4+=)=1,

223

>-r-./八、.71/兀4兀、,,.7171An/口1兀

由于Ne(O,兀)=>/+^^(二,-；-),故/+1=彳，斛得

333326

方法二：常规方法(同角三角函数的基本关系)

由sin4+6cos4=2,又sin2A+cos24=1,消去sinZ得到：

4cos2A—4^/3COS/+3=0o(2cosA--\/3)2=0,解得cosA=,

7T

又/e(0,兀)，故/=；

6

方法三：利用极值点求解

设/(x)=sinx+追cosx(0<x<兀)，则/(x)=2sin[x+]](0<x<兀)，

显然x=巴时，/(x)max=2,注意到/(Z)=sin4+百cos4=2=2sin(Z+巴)，

63

/(x)max=/(4)，在开区间@兀)上取到最大值，于是'=/必定是极值点，

即fr(A)=0=cosA-V5sinA,EPtanA=—,

71

又/e(0,7i),故

6

方法四：利用向量数量积公式(柯西不等式)

^a=(1,V3),b=(sinA,cosA)(由题意，a-b=sinA+-j3cosA=2,

根据向量的数量积公式，小坂=同|*。5伍弓=285〈2@,

贝(12cos5,3=2=cos万=1,止匕时万,3=0,即同向共线，

根据向量共线条件，l.cos/=6・sin4u>tan4=—,

3

jr

又/€(0,兀)，故4=F

6

方法五：利用万能公式求解

设/=tan(，根据万能公式，sin/+百cos/=2=±r+如二

21+t21+r

整理可得，Z2-2(2-V3)Z+(2-V3)2=0=(/-(2-73)):,

解得tan《=/=2-6,根据二倍角公式，tan/ugu也，

21-t23

又/e(0,兀)，故

(2)由题设条件和正弦定理

5

收bsinC=csin2Bo6sinBsinC=2sinCsinBcosB，

又8,Ce(0,©,则sinBsinCwO,进而cos8=变，得到B=四,

24

7兀

于是C=it—A—B=—

12

sinC=sin(兀一4-8)=sin(/4+B)=sin4cos5+sinScosA=®+"

4

2_b_c

由正弦定理可得，」、=&=-，即==F

sm/sin5sinCsin-sm—sin——

6412

施牟得b=2A/2,C=y/6+&，

故"BC的周长为2+a+36

即时检测

（________________________________

1.（2024•江西九江三模）在“3C中，角4属。所对的边分别为仇c,已知2c-〃=2bcos/,则8=（）

兀7127r5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】运用正弦定理进行边角互化，结合诱导公式以及两角和的正弦公式即可解决.

【详解】因为2C-Q=2bcos/,

由正弦定理，2sinC-sirU=2sin5cos4

因为4+8+。=兀，.二2sin（力+5）-2sin5cos4=siih4,

展开化简2sirUcosB=sirU.sirU>0,cosB=—,

2

jr

又BG（0,7l）,二.5=§.

故选:B.

2.（2024•河北沧州・模拟预测）记AZBC的内角4,5,。的对边分别为〃也。,若36cos5=acosC+ccos/,且

36=4c,贝i」C=.

【答案】4/450

4

【分析】根据三角恒等变换化简计算可得cos3=,，由同角的平方关系可得sin5=迪，结合正弦定理计算

33

即可求解.

【详解】因为36cos5=acosC+ccos/,

所以3sin5cos5=sirUcosC+sinCcos/,

所以3sin5cosS=sin（4+C）.又sin（/+C）=sin5w0,

6

所以cosB=g,所以sinB=71-cos2B=~~~•

因为36=4c,由正弦定理知3sinS=4sinC,

所以sinC=，又b>c,所以5>C,C=—.

24

故答案为：y

4

3.(2024•内蒙古呼和浩特•二模)在一8。中，记角A、B、。的对边分别为。、b、c,已知

QQ=密ccosB+csin5•

⑴求角C;

(2)已知点。在/C边上，且BC=6,BD=2近,求445c的面积.

【答案】(1)/C=171

(2)S=96或S=18G

【分析】（1）代入正弦定理和两角和的正弦公式即可；

（2）先确定DC长度，再确定/C,即可判断三角形形状，确定面积.

【详解】（1）；百"ueccosB+csiiiB,由正弦定理可得V3sin（5+C）=^sinCcos5+sinCsin5,

百sinBcosC+百cosBsinC=y/3sinCcosB+sinCsinB，

,/sinBw0,

•*tanC=V3,CG（0,7i）,

/.ZC=-；

3

（2）设Z）C=x,cos—=-=—+36—6x=x2+8,/.x=2或4,

3212x

当x=2时，AC=6,C=-,此时三角形为正三角形，S=J_x6x6x且=9力

322

当x=4时，AC=12,AB2=BC2+AC2-2AC-BCcosC=\08,

^^AB2+BC2=AC2,此时三角形为直角三角形，S=；x6百X6=186.

考点二、利用正弦定理判断三角形解的个数

7

典例引领

7T

1.（2023•浙江•模拟预测）在“8C中，角42,C所对的边分别为。也c.若8=*“=4,且该三角形有两解,

则6的范围是（）

A.（2省,+00）B.（2百,4）

C.（0,4）D.（3g,4）

【答案】B

【分析】利用正弦定理推出6=工叵，根据三角形有两解，确定角/的范围，从而结合sin4的取值范围求

sin4

得答案.

【详解】由正弦定理得一工=工，所以A_asinB_4xsin；_2e,

sinAsmB0--:~一:二~~—7

sinAsmAsinA

因为该三角形有两解，故（TT27r7T

故sin/e（旦），即6=&3（2独4）,

2sin/

故选：B

2.（2024•陕西渭南•模拟预测）已知。3c的内角N,B,C的对边分别为。力,。，则能使同时满足条件

JT

A=y,b=6的三角形不唯一的a的取值范围是（）

6

A.（3,6）B.（3,+co）C.（0,6）D.（0,3）

【答案】A

【分析】利用三角形不唯一的条件进行求解即可.

JT1

【详解】因为/=二力=6,则6sin/=6x—=3,

62

要使满足条件的三角形不唯一，则6sin/<a<b,即3<a<6.

故选：A.

3.（2023・广东茂名•三模）（多选）“3C中，角48,C所对的边分别为0,8c.以下结论中正确的有（）

A.若a=40,6=20,8=25°,则必有两解

B.若sin2Z=sin28,则一定为等腰三角形

C.若acosB-bcos/=c,则一定为直角三角形

D.若3=*a=2,且该三角形有两解，贝！|6的范围是（6,+8）

【答案】AC

【分析】根据正弦定理可判断选项A；己知条件得出角43的关系，可判断选项B；化边为角可判断选项C；

8

根据正弦定理可判断选项D,进而可得正确选项.

【详解】对于A,若。=40,6=20,3=25°,贝ijsin4=竺巴巨=型网至-=2sin25°<1,

b20

又A>B,所以必有两解，故A正确；

对于B,若sin24=sin2B,贝!]2/=25或2/=兀-23,

即/=8或N+3=二，所以“BC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

2

对于C,由正弦定理得：QCOs5-Z?cosZ=cosiiL4cos3-sinScosZ=sinC,

即sin（力一8）=sinC=sin（^4+B）nsin5cos2=0,而sinBw0,故4=1,

所以“5C一定为直角三角形，故C正确；

7T

对于D,B=—,a=2,且该三角形有两解，所以asiiR<Z?<a,

即2sin；〈b<2,也即6<6<2,故D错误.

综上所述，只有AC正确，

故选：AC.

jr

1.（23-24高二下•浙江•期中）在“3C中，ZA=-,AB=4,BC=a,且满足该条件的“3C有两个，则。的

取值范围是（）

A.（0,2）B.（2,26）C.（2,4）D.（273,4）

【答案】D

【分析】由正弦定理求出sinC,由sinC<l,且可得。的取值范围.

【详解】由正弦定理可得：号=’7,所以sinC=^8<l,所以a>2g,

sinAsinCa

因为满足条件的有两个，所以BC<4B,即。<4,所以。的取值范围是（26,4）

故选：D

2.（2023•安徽•模拟预测）（多选）在中，AB=5B=60。,若满足条件的三角形有两个，则/C边的

取值可能是（）

A.1.5B.1.6C.1.7D.1.8

【答案】BC

【分析】ABxsin5<AC<AB即可求解.

【详解】根据题意可得：满足条件的"8C有两个，可得/8xsinB<NC</B=1<NC<G,

2

故选:BC

9

3.(2024•辽宁沈阳•模拟预测)(多选)在A/IBC中，角A、B、C的对边分别为〃、b、c,且已知。=2,

则()

A.若/=45。，且AABC有两解，则6的取值范围是(2,20)

B.若/=45°,且6=4,则恰有一解.

C.若c=3,且AASC为钝角三角形，则6的取值范围是(后,5)

D.若c=3,且“8C为锐角三角形，贝!16的取值范围是(石,而)

【答案】AD

【分析】根据正弦定理，判断三角形的解的个数，即可判断AB,根据余弦定理和三边的关系，即可判断CD.

【详解】A选项：由正弦定理，=占，sin8=*<l,

sin45siiw2,2

且b〉〃=2,贝2V2，选项A正确；

选项B：bsmA=4x—=2y/2>2,所以“8c无解，故B错误；

2

C选项：①。为最大边：32>22+/>2.且3<2+6,此时1<6<下；

②b为最大边：b2>22+32,且6<2+3,此时屈<6<5,选项C错误;

D选项：ft2<22+32,且32<22+〃，所以退<6〈而，选项D正确；

故选；AD.

考点三、余弦定理求值

甲典例引领

1.(2023•北京•高考真题)在中,(a+c)(sinA-sinC)=6(sinA-sinB),则NC=()

兀7T2兀57c

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.

【详解】因为(。+c)(sinA-sinC)=6(sinA-sinB),

所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=6(a-6),a1-c2^ab-b1,

贝故cosC=^^ab_\

lab2

71

又0<C(兀，所以c=§.

故选：B.

2.(2021•全国•高考真题)在中，已知8=120。，AC=J19,/5=2,则5c=()

10

A.1B.V2C.75D.3

【答案】D

【分析】利用余弦定理得到关于8C长度的方程，解方程即可求得边长.

【详解】设4B=c,4C=b,BC=a,

结合余弦定理：Z>z=a?+e?-2accos3可得:19=a2+4-2xaxexcos1200,

即：a2+2a-15=0>解得：a=3(a=-5舍去)，

故8C=3.

故选：D.

【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：

(1)已知三角形的三条边求三个角；

(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；

⑶已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形.

3.(2023•全国•高考真题)在中，ABAC=60°,AB=2,BC=4(>,N8/C的角平分线交2c于。，则

AD=.

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出/C,再根据等面积法求出

方法二：利用余弦定理求出NC,再根据正弦定理求出优C,即可根据三角形的特征求出.

【详解】

如图所示：记48=c,/C==a,

方法一：由余弦定理可得，22+62_2x2x6xcos60。=6,

因为b>0,解得：6=1+百，

由S"BC=S^ABD+SMCB可得,

—x2xZ?xsin600=—x2xADxsin30°+—xADxftxsin30°,

222

m回2A/3（1+V3）

解得：回*=3+Q=2.

2

故答案为：2.

方法二：由余弦定理可得，22+/—2x2xbxcos6（T=6,因为6>0,解得：b=\+也,

由正弦定理可得，X—=上=:—，解得：sin2=&+号sinC=—，

sin60°sinBsinC42

11

因为1+百>&>^，所以C=45°,5=180°-60°-45°=75°,

又NBAD=3Q°,所以ZAD2=75°,BPAD=AB=2.

故答案为：2.

【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义

结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规.

122_2

4.（2023・全国•高考真题）记的内角的对边分别为。也c,已知'W=2.

cosA

⑴求6c；

,、什QCOSB—ZJCOSZb13

⑵若————；——=1,求小面积.

acosB+bcosAc

【答案】⑴I

（2也

4

【分析】（1）根据余弦定理即可解出；

（2）由（1）可知，只需求出sin么即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出.

【详解】（1）因为/=/+c2一"ccos/，所以'+C?=%ccos"=2历=2,解得：bc=L

cosAcosA

/、，十九一…Tmr/口acosB—6cos4bsinAcos5-sin5cosAsin5

（2）由正弦定理可得----------;——;——-————;--—

acosB+bcosAcsinAcosn+sinncosAsinC

sin（4-8）sin5sin（A-B）-sin5

sin（4+8）sin（4+8）sin0+8）

变形可得：sin（^-5）-sin（A+B）=sin即一2cos/sin8=sin8,

1c

而0<sin5〈l,所以cos/二一大，又0<4〈兀，所以sin4=—，

22

故。的面积为以例=Lbcsin4=Lxlx^=亚.

△“2224

即时检测

♦________

1.（2021•安徽安庆•二模）在中，a,b,c分别是//,NB,。的对边.若〃=〃。，且/+也be=c?+ac，

则的大小是（）

兀兀2兀5兀

A.-B.一C.—D.——

6336

【答案】A

2

【分析】由/二。。，且/+百方。=。？+QC,得到62+1-a=^bc,利用余弦定理求解.

【详解】因为/二比，且〃?+Gbe=c?+QC,

所以〃+°2_〃2_&7c,

12

2-/百

所以cosA=卜十°

2bc2

71

因为，€（0,兀），所以A

6

故选：A

2.（2024•安徽合肥・一模）在“8C中，内角4民C的对边分别为a,6,c,若26cosc=a（2-c）,且於5，

贝1］。=）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】A

【分析】给26cosc=a（2-c）两边同时乘以。，结合余弦定理求解即可.

【详解】因为26cosc=a（2-c）,两边同时乘以.得:

2abcosC=a2（2-c）,由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcosC，

贝|J/+/一。2=/（2一。），所以有j+。2_b2=02c,

Xtz2+c2-Z?2=2accosB,所以42c=2accosB,又因为B=

所以。=1.

故选：A

3.（2023•广东广州•三模）在"3C中，点。在边8c上，AB=&,CD=3,8=45°,4403=60。，则NC

的长为

【答案】V19

【分析】根据题意，由条件可得然后在A/CO中由余弦定理即可得到结果.

【详解】

由题意,

因为/8=而，CD=3,8=45°,ZADB=60°,

AE①2

所以丝则3

sin60°V3

2

在ANC。中，由余弦定理可得，AC2=AD-+CD1-2AD-CDcosAADC

=22+32-2X2X3XCOS120°=19.

所以=

故答案为：V19.

4.（2023•全国•高考真题）在“BC中，已知ZBNC=120。，48=2,AC=\.

（1）求sinN/8C；

13

⑵若。为8c上一点，且/B4D=90。，求△NDC的面积.

【答案】⑴*

(2)1

【分析】⑴首先由余弦定理求得边长BC的值为3c=不，然后由余弦定理可得cos2=区，最后由同角

14

三角函数基本关系可得sinB=®~

14

(2)由题意可得合%=4,则/48=：52度，据此即可求得△NDC的面积.

^/\ACD5

【详解】(1)由余弦定理可得:

BC2=a2=b2+c2-2bccosA

=4+l-2x2xlxcosl20°=7,

„„I-„a2+c2-b27+4-156

贝!J_BC=y/1>cosB=--------------=----------产=-----，

lac2X2XV714

考点四、利用正余弦定理判断三角形的形状

.典例引领

1.(22-23高三•吉林白城•阶段练习)已知“8C中，角A,B,C所对的边分别是。，6,。，若

(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin/=2sin3cosC,那么"SC是()

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】将(a+6+c)(b+c-a)=3加化简并结合余弦定理可得A的值，再对sin/=2sin8cosc结合正、余

弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.

【详解】由(。+6+。)优+。一。)=36。，得S+c)?-/=36c,

整理得〃+C2-2=6C,则cosN=〃+£―/二,

14

因为/e（O,7i）,所以/=5，

272_2

又由sin4=2sin5cosc及正弦定理，得a=2b，3------—,化简得b=c,

2ab

所以力为等边三角形，

故选：B

A

2.（22-23高三上■河北•阶段练习）在“3C中，角4瓦C对边为。也c,且2c-cos2_=b+c,则“3C的形

2

状为（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

A

【分析】先根据二倍角公式化简C0S?2，根据余弦定理化简得到/=/+〃即可得到答案.

A

【详解】因为2ciOS?—=b+c,

2

1_i_msA

所以2c--------=b+c,即c+ccos/=b+c，

2

所以ccosZ=b,

在“3C中，由余弦定理：cosZ="+c2_a-,

2bc

入2+「22

代入得，c.+C-=b,即〃+c2一°2=2/,

2bc

所以。2=/+/.

所以小5C直角三角形.

故选：B

3.（2024高三■全国•专题练习）设△A8C的三边长为3c=a,CA=b,48=c，若tan包=’一,tan-=-^-,

2b+c2a+c

则是（）.

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】若三角形各边长为。、b、c且内切圆半径为r,

法一：由内切圆的性质有tan4=4、tan?=—竺，根据边角关系可得。=b或/+〃=,2,注意讨论所

2b+c2a+c

得关系验证所得关系的内在联系；

JT

法二：由半角正切公式、正弦定理可得/=3或/+2=彳，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角

形的形状.

【详解】设P=g（a+8+c）,△NBC的内切圆半径为心如图所示，

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c

法一:

Ara厂、▲Brb-

.［方=7^二江①；3丁行二4②-

p-b_aa+c2(p-b)_a(a+c)

①十②，得:

p-ab+cb2(p_q)Z?(6+c)

于是b(b+c)(c+〃-b)=a^a+c^{b+c-a),

ab2-b3+bc2=a2b-a3+ac2，(a-6)(/+/>2-c2j=0,

从而得Q=b或/+/=",

・•・乙4=N5或NC=90。.故^ABC为等腰三角形或直角三角形,

(1)当Q=6时，内心/在等腰三角形C4B的底边上的高C。上,

2a+c

又p-4=L(6+c-a)=Lc,代入①式，得_^=旦=，，即儿y=」_

22

(2a+c).1cb+ca+c2a+ca+c

2a-c_a2

上式两边同时平方，得:化简，一2〃2=0，即C=J^Q.即△45。直角三角形,

2a+c(Q+C『

为等腰直角三角形.

(2)当/+62=°2时，易得r=g(a+6—c).

ja+b—c)

工,此式恒成立,

代入②式，得

J.

a+c-b^a+c

2

综上，△4BC为直角三角形.

法二：

4sin4匕门=二及正弦定理和题设条件,得"sin/

利用tan—=①，

21+cosAsin5+sinC