整式的化简与实际应用五种类型（解析版）

专题07整式的化简与实际应用五种类型

目录

解题知识必备.......................................................................................1

压轴题型讲练.......................................................................................2

类型一、代数式中不含某项..........................................................................2

类型二、代数式的值与某字母的取值无关.............................................................4

类型三、代数式的值与某字母的符号无关.............................................................7

类型四、整式的代数应用............................................................................9

类型五、整式的几何应用...........................................................................13

压轴能力测评......................................................................................20

♦♦解题知识必备”

1.合并同类项的一般步骤

①找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作上相同的标记；

②利用加法交换律把同类项放在一起，在交换位置时,要连同项的符号一起交换；

③利用合并同类项的法则合并同类项，系数相加,字母及其指数不变；

④写出合并后的结果。

2.整式的加减的方法

运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。

3.整式的化简求值

①化：通过去括号，合并同类项将整式化简；

②代：把已知字母或整式的取值代入化简后的式子；

③算：依据有理数的混合运算法则进行计算；

整式加减的结果要最简：

①不能有同类项。

②含字母的项的系数不能出现带分数,如果有带分数，必须将其化成假分数。

③一般不含括号。

4.无关型问题

在整式加减的计算中，有些代数式的值与其中所含字母（或部分字母）的取值无关与x无关、不含x项的

解题步骤

（1）化简所给代数式（去括号，合并同类项）；

（2）令含x项系数为零；

（3）列方程求解。

5.整式加减的应用

整式的加减应用往往需要根据题意列出式子，然后进行化简求值即可，对题意的理解并列出式子是关键。

6.新定义与程序问题

新定义运算问题近年来一直是一个非常重要的考点，无论是各区期末考试还是初三模拟甚到中考，都会有

所涉及，此类题型相对较新颖，需要学生具备一定的的能力和意识，以及对以前知识的掌握能力。

♦♦压轴题型讲练”

类型一、代数式中不含某项

多项式中不含未知数的几次项问题，根据多项式不含不含某一项，说明这一项的系数为o,即可求出。

例.若关于x的多项式-5丁—（2m-1）/+（2-3〃卜-1不含二次项和一次项，求机，，的值.

【答案】m=g12

【分析】此题考查了多项式中不含未知数的几次项问题，根据多项式不含二次项与一次项，得到两项系数

为0,即可求出机与"的值.

【详解】解：；多项式-l）x2+（2-3〃）x—1不含二次项和一次项，

2m—1=0,2—3〃=0,

12

解得：m=-,n=-.

23

【变式训练1］.已知关于X、y的多项式-O?一2g+尤2一彳_2孙+丫不含二次项，求5°-助的值.

【答案】13

【分析】本题考查了合并同类项.解题的关键点：理解题意，合并同类项.

先整理多项式，依题意得-a+l=O,-26-2=0,求出a,b.再代入求值.

【角军］解回一—2Z?xy+—x-+y=(_a+l)x?+(-2Z?一2^xy-x+y,

又关于x、，的多项式-加-2bxy+x2-x-2xy+y不含二次项,

回一a+1=0,—2Z?—2=0,

解得：a=l,b=-l,

05a-8Z>=5xl-8x(-l)=13.

【变式训练2】.已知多项式A=4/+my-12与多项式8=%2-2y+l.

(1)当，九=1,九=5时，计算4+3的值；

⑵如果A与23的差中不含/和“求加”的值

【答案】(l)9x2-y-ll

⑵-8

【分析】本题考查整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是正确解答的前提.

(1)把“2=1,〃=5代入A=4f+wzy-12和B=raj?-2y+l,再计算A+3的值；

(2)求出A-23,再令含有/、V的项的系数为0即可.

【详解】(1)解：把机=1,〃=5代入A=4x?+机y-12和B=nr?-2y+l,得

4=41+、-12和8=5/一2、+1,

...A+B=4x2+y-12+(5x2-2y+l)=4%2+y-12+5x2-2y+l=9x2-y-ll；

(2)解：A-2B=4xi+my-n-2(rvc2-2y+l)

=4X2+my—12—2nx2+4y—2

=(4-2ii)x2+(m+4)y-14,

;A与23的差中不含炉和y的项，

:A-2n=Q,且祖+4=0,

:.m=—4,n=2,

nm=—8.

【变式训练3】.已知关干尤的多项式3/一(m+5)丁+加一炉一5x+3不含丁项和犬项，求机、〃的值.

［答案］m=—5,/z=1；

【分析】本题考查整式的化简求值，先化简，再根据不含无3项和/项其系数为0求解即可得到答案；

【详解】解：由题意可得，

原式=3/-(7"+5次+(«-l)x2-5x+3,

团不含Y项和/项，

0777+5=0,〃-1=0,

解得：m=—5,n=l,

故答案为：〃?=-5,77=1.

类型二、代数式的值与某字母的取值无关

整式的化简求值以及无关型题型，与某个字母无关，将多项式化简整理后，令这个字母的系数为0即可。

例.已知：A=2x2+2xy+3y-1,B=x1—xy.

（1）计算：A—28；

（2）若A-23的值与y的取值无关，求x的值.

【答案】（1）4犯+3y-l；

⑵

【分析】（1）把A=21+2xy+3y-1,B1一孙代入人一23中，再根据整式的加减运算进行计算即可求

解；

（2）由（1）得A—2_6=4封+3,-1=（4%+3）y一1,根据A—25的值与丁的取值无关，可得4x+3=0,解

之即可求解；

本题考查了整式的加减运算，整式的无关型问题，掌握整式的运算法则是解题的关键.

【详解】（1）解：0A=2x2+2xy+3y-\,B=x2-xy,

团A—2B—2x?+2xy+3y—1—2（%?—xy^

=2x2+2xy+3y-l-2x2+2xy,

=4孙+3y—1；

（2）解：由（1）得，A—2_B=4盯+3y—1=（4x+3）y—1,

0A-2B的值与丁的取值无关，

团4x+3=0,

3

回x=——.

4

【变式训练1】.已知多项式“—（2%2+3孙+3%）—21%2—xy+x——j.

⑴先化简，再求值，其中x=g,y=-i；

（2）若多项式/与字母尤的取值无关，求y的值.

【答案】（1）5孙+x+l,1

⑵y=

【分析】本题考查了整式的化简求值以及无关型题型，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

（1）先化简多项式M=（2Y+3孙+3x）-2（Y一孙+得5孙+尤+1,再才巴》=!，>=一1代入计算,

即可作答.

（2）先化简多项式得5q+x+l,结合"多项式M与字母尤的取值无关〃，进行列式计算，即可作答.

【详解】（1）解：M=（2/+3孙+3x）-21尤2_孙+苫_；1

=2x2+5xy+3x—2x2+2xy-2x+7

=5xy+x+1,

当尤=g,y=-i时,

（2）解：ElM=5盯+x+l,且多项式M与字母龙的取值无关，

国M=5到+x+l=（5y+l）x+l与字母x的取值无关，

即5y+l=0,

1

【变式训练2].已知代数式A=3x?+3孙+2y,B=x2-xy+x.

（1）计算A-38；

⑵当x=-l,>=3时，求A-35的值；

⑶若A-38的值与X的取值无关，求>的值.

【答案】（l）6_xy+2y-3x

⑵-9

（3）y=1

【分析】本题考查了整式的加减于化简求值；

（1）根据去括号，合并同类项进行计算即可求解;

(2)将x=-l,y=3代入(l)中化简结果进行计算，即可求解；

(3)根据题意，(1)中代数式的x系数为0,得出y=即可求解.

【详解】(1)解：A-3B=3x2+3xy+2y-3(^x2-xy+x^,

=3x2+3xy+2y-3x2+3xy-3x

=6孙+2y-3%.

(2)当x=—l,>=3时，M^=6x(-1)x3+2x3-3x(-1)=-9.

(3)原式=6肛+2y-3x=3x(2y-l)+2y,

因为A-35的取值与x无关，所以2y-1=0,

所以y=g.

【变式训I练3].已知A=2a2+3ab-2.a+5,B=a2+ab—2.

(1)当。=-2,6=1时，求A-23的值.

⑵若的值与a的取值无关，求6的值.

【答案】(1)11

(2)2

【分析】本题考查整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项的法则，正确的计算是解题的关键.

(1)先进行加减运算，再代值计算即可；

(2)将(1)中的结果合并后，令含。的项的系数为0,进行求解即可.

【详解】(1)

:A-22=(2a~+3ab-2a+5)-2(a?+ab-2)

—2/+3ab-2。+5—2/-2ab+4

=ab-2a+9；

当a=—2力=1时，原式=-2+4+9=11；

(2)A-2B=ab-2a+9=(b-2)a+9

因为A-23的值与。的取值无关，

所以人2=0,

所以6=2.

类型三、代数式的值与某字母的符号无关

看错某个字母的符号，但是结果正确，说明多项式的结果与这个字母无关，也就是这个字母的系数为0。

例.已知4=3/6-2"2+%,小明错将"C=2A-B"看成"C=2A+B”,算得结果C=4a%-3ak+4%.

(1)求正确结果的表达式；

(2)小芳说(1)中结果的大小与c的取值无关，对吗？若。=-2,b=-^,求(1)中表达式的值.

【答案】(1)8/6-5ab2

(2)小芳的说明正确，-6

【分析】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则

是解本题的关键.

(1)由24+8=。得3=。—2A,将C、A代入根据整式的运算法则计算可得B,将A、8代入2A—3,

计算可得；

(2)由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将。、6的值代入计算即可.

【详解】(1)解：•.•2A+3=C,

:.B=C-2A

=4a2b—3ab2+4abe—2(3a2b—lab1+abc)

=4a2b—3ab2+4abc—602b+4ab2—2abc

=—2c^b+ab1+2abc;

/.2A—B=2(3a2b—2ab2+abc)—(—2。％+ab2+2abc)

=6a2b—4ab2+2abc+2a2b—ab2—2abc

=8a2b-5ab2;

(2)解：小芳说的对，与。无关，

将a=-2,8=-二代入，得：

8/6-5ab2=8x(-2)2xL|y5x(-2)x(-1)2=-6.

【变式训练11有这样一道计算题：3/〉+[2臼-(5无学一2力卜5(/y+y2一/月的值，其中x=；,>=一2.

(1)小明同学把"x=；"错看成"x=3”,但计算结果仍正确；小华同学把“k-2"错看成"y=2",计算结果也

是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明；

(2)求该多项式的值.

【答案】⑴理由见解析；

(2)-12.

【分析】(1)原式去括号合并同类项得到最简的结果，即可作出判断；

(2)把y=-2代入化简后的整式中计算即可.

【详解】(1)解：3/y+[2x2y一(5/丁一2y2)卜5(/y+y2-丁力

=3x2y+2x2y-5x2y2+2y2-5%2y-5y2+5x2y2

=(3x2y+2x2y-5x2y)-5x2y2+5x2y2+2y2-5y2

=-3:/

化简后的结果不含x,所以取值与x无关，故小明看错x结果也会是正确的；

又•.”=±2时，y2=4,

故小华看错V,结果也是正确的；

(2)解：原式=-3X(-2)2

=—12.

【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【变式训练2】.有这样一道计算题：3/y+[2尤2y一(5》2y一29)]-5(/、+产一》2V)的值，其中彳=；,

y=T.小明同学把"X=；"错看成"x=T，但计算结果仍正确；小华同学把"y=-l"错看成"y=l”,计

算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明.

【答案】见解析

【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断.

【详解】解：3x2y+[2x^-(5x2/-2/)]-5(x2y+/-x2y2)

=3x2y+2x2y-5x2y2+2y2-5x2y-5y2+5x2y2

=-3;/,

回结果不含x,且V为非负数，

回结果与x的值无关，且丁=-1或者y=l时，原式=-3产=一3,

回小明与小华错看尤与y,结果也是正确的.

【变式训练3】.对于多项式2/+7孙+3/+/-任y+5y之，老师提出了两个问题，第一个问题是：当上为

何值时，多项式中不含孙项？第二个问题是：在第一问的前提下，如果x=2,y=-l,多项式的值是多少？

(1)小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧；

(2)在做第二个问题时，马小虎同学把丫=-1,错看成＞=1,可是他得到的最后结果却是正确的，你知道

这是为什么吗？

【答案】(1)见解析；(2)正确，理由见解析

【分析】(1)代数式中不含xy项就是合并同类项以后xy项得系数等于0,据此即可求得人的值；

(2)把x=2,y=-l和x=2,y=l代入(1)中的代数式求值即可判断.

【详解】解：(1)2x2+7xy+3y2+x2-kxy+5y2

=(2x2+x2)+(3_y2+5_y2)+(7xy-kxy)

=3x2+8/+(7-k)xy,

所以只要7-左=0,这个多项式就不含孙项即左=7时，多项式中不含孙项；

(2)因为在第一问的前提下原多项式为：3/+8/，

当x=2,y=-l时，

3尤2+8/

=3X22+8X(-1)2

=12+8

=20.

当x=2,y=1时，

3^+8/

=3/+8/

=3x22+8x1?

=12+8

=20.

所以当y=T和y=i时结果是相等的.

【点睛】本题考查了合并同类项法则以及求代数式的值，理解不含孙项就是孙项的系数是o是关键.

类型四、整式的代数应用

整式加减的实际应用，正确理解题意.明确题意，列出相应的代数式。

例.国家提倡节能减排，创造节约型社会，某城市提出实施居民生活用水年度阶梯水价，具体水价标准见

下表：

综合水

类别水费价格(元/立方米)污水处理费(元/立方米)

价

不超过120立方米部分3.51.55

超过120立方米，但不超过180立方米部

5.251.56.75

分

超过180立方米部分10.51.512

⑴小明家2022年共用水100立方米，则应缴纳水费多少元？

⑵小红家2022年共用水160立方米，则应缴纳水费多少元？

⑶小敏家2022年共用水。立方米(°>180),请用含。的代数式表示应缴纳的水费.

【答案】(1)500元

(2)870元

⑶(124-1155)元

【分析】本题考查有理数的混合运算以及列代数式.

(1)根据表格中规定的分段计算方法列式计算可得；

(2)根据表格中规定的分段计算方法列式计算可得；

(3)利用总价=单价x数量，结合阶梯水价，即可得出结论.

【详解】(1)解：5x100=500(元)，

答:应缴纳水费500元.

(2)解：5x120+6.75x(160-120)=870(元)，

答：应缴纳水费870元.

(3)解：应缴纳的水费为5x120+6.75x(180-120)+12(。-180)=(12a—1155)元.

答：应缴纳水费(12a-l155)元.

【变式训练11某种窗户的形状如图所示(图中长度单位：米)，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个

小正方形，已知下部小正方形的边长为。米.(兀"3)

(1)计算窗户的面积和窗框的总长.

(2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米6元，窗框每米c元，窗框的厚度不计，求制作一个这

种窗户需要的材料费是多少元.

⑶在(2)的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购100个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种

窗户的收费价目表.通过计算说明去哪家工厂采购更省钱.(安装费=材料费+运输费+人工费)

材料费

工厂运输费人工费

玻璃窗框

甲26元/m220元/m10元/个窗户120元/nf

乙30元/n?18元/m12元/个窗户130元/n?

【答案】⑴窗户面积为日/平方米，窗框的总长为18a米

（2）制作一个这种窗户需要的材料费是+元

⑶去甲家工厂采购更省钱.

【分析】本题考查了整式加减的实际应用，正确理解题意是解题的关键.

（1）窗户面积为：4个小正方形的面积加半圆的面积；窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和+半个圆

的弧长+三个半圆的半径，代入数值即可.

（2）制作一个这种窗户需要的材料费：玻璃钱+窗框钱，即=/.b+i8a.c,将a=3代入上式，化简即可.

22

（3）分别计算甲、乙两个工厂采购1个这种窗户的花销：安装费=材料费+运输费+人工费，代入数值可得出

具体数值，再根据每个工厂采购每一个窗户的花销都相同，故对比一个窗户的花销谁省钱，即可得出采购100

个这种窗户的花销谁省钱。

【详解】（1）解：由题意可得窗户面积为：4个小正方形的面积加半圆的面积，下部小正方形的边长和半圆

的半径为。米，

回窗户面积为：4a2+—7ta2=^4+—a2~（平方米），

由题意可得窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和+半个圆的弧长+三个半圆的半径，

回窗框的总长为：12a+gx271a+3。=（15+兀）。218a（米）.

故窗户面积为//平方米，窗框的总长为18。米

（2）解：回玻璃每平方米6元，窗框每米c元，窗户面积为］/平方米，窗框的总长为18a米，

团制作一个这种窗户需要的材料费是：?/坊+18a.e（元），

将”=,代入上式，可得Ui功+18<?叶=口6+9<?,

228

回制作一个这种窗户需要的材料费是9d元.

（3）解：由上可得一个窗户面积为：=/=?（平方米）

在甲工厂采购时，匕=26,c=20,运输费为10元/个窗户，人工费为120元/„?

故在甲工厂采购1个这种窗户的总花销为：二x26+9x20+10+120x=="g（元），

在乙工厂采购时，〃=30,c=18,运输费为12元/个窗户，人工费为130元/„?

故在乙工厂采购1个这种窗户的总花销为：—x30+9xl8+12+130x—=394（元），

88

回毕<394,在每个工厂采购每一个窗户的价格都相同，

4

团在甲工厂采购100个这种窗户省钱，

回去甲家工厂采购更省钱.

【变式训练2】.【阅读材料】用作差法比较大小：

两个数量的大小可以通过它们的差来判断.如果两个数。和6比较大小，那么

当时，一定有。-6>0；

当a=6时，一定有。-6=0；

当时，——定有。一人<0.

反过来也对，即

当。一6>0时，一定有

当a-6=0时，一定有。=6；

当a-6<0时，一定有。<匕.

因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小.

【解决问题】制作某产品有两种用料方案.方案一：用4块A型钢板，8块8型钢板；方案二：用3块A型

钢板，9块3型钢板.A型钢板的面积比3型钢板大.从省料角度考虑，应选哪种方案？

【答案】从省料角度考虑，应选方案二

【分析】本题考查了整式的加减，不等式的应用，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键.设一块A型钢

板的面积为x,一块8型钢板的面积为九利用作差法进行比较，即可解答.

【详解】解：设一块A型钢板的面积为X,一块B型钢板的面积为V,

方案一所用钢板的面积为4x+8y,

方案二所用钢板的面积为3x+9y,

4x+8_y-（3x+9y）=x-y,

■：x>y,

4x+8y>3x+9y,

二从省料角度考虑，应选方案二.

【变式训练3】.青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段.列车在冻土地段的行驶速度

是100km/h,在非冻土地段的行驶速度可以达到120km/h,请根据这些数据回答下列问题：

在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5h,如果列车通过冻土地段要/h,则这

段铁路的全长可以怎样表示？冻土地段与非冻土地段相差多少km?

【答案】这段铁路的全长可以表示为(220L60)km,冻土地段与非冻土地段相差(60-20/)km

【分析】本题考查列代数式、整式加减的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式.根据题

意，可以用含/的代数式表示出冻土地段：100/km；非冻土地段：120。-0.5)km,再表示这段铁路的全长，

本题得以解决.

【详解】解：由题意可得，

冻土地段：lOOfkm,

非冻土地段：120。-0.5)km,

01OOr-12O(r-O.5)=(6O-2O?)(km),

团冻土地段与非冻土地段相差(60-20。物z,

1007+120(/-0.5)=100/+120/-60=(220r-60)km,

回则这段铁路的全长可以表示为(220/-60)km.

类型五、整式的几何应用

整式的加减的应用，理解题目中的数量关系，列出代数式。

例.甲、乙两车相距130km,同时出发，相向而行，甲车的速度是80km/h,乙车的速度是50km/h.

(1)用一次式表示经过小。＜1)后两车的距离；

(2)经过30min,两车的距离是多少？

【答案】⑴经过fh。＜1),两车的距离为(130-130r)km

⑵经过30min,两车的距离是65km

【分析】本题考查了整式的加减的应用，解决本题的关键是根据题意正确列出代数式,

(1)根据题意列出代数式，并进行计算即可；

(2)代入求值即可；

【详解】(1)根据题意，经过rh(t<l)后两车的距离为

130-(80?+50r)

=130-130r(km).

答：经过fh(f<l),两车的距离为(130-130f)km；

(2)因为30min=』h,时，

2

^-130-130r=130-130x1=65(km).

答：经过30min,两车的距离是65km

【变式训练1】.如图，长方形的长为。，宽为"

⑴用含久人的代数式表示图中阴影部分的面积S；

(2)当〃=4cm,Z?=2czn时，求S.()取3.14)

【答案】万/

4

(2)4.86cm2

【分析】本题主要考查代数式的运用，理解题目数量关系，掌握运用代数式表示数或数量关系的方法是解

题的关键.

(1)根据图形面积可得，阴影部分的面积等于长方形的面积减去圆的面积，由此即可求解；

(2)把字母的值代入式子计算即可.

【详解】(1)解：S=a6-万［万后；

(2)解：当。=4cm,6=2cm时，S=4x2--x3.14x22=8—3.14=4.86cm2.

4

【变式训练2】.小林到某纸箱厂参加社会实践,该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱,如图，

每张白板纸有A3,C三种剪裁方法，其中A种裁法：裁成4个侧面；3种裁法：裁成3个侧面与2个底面；

C种裁法：裁成2个侧面与4个底面.已知四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱.设按A种方法剪裁

的白板纸有x张，按B种方法剪裁的白板纸有V张.

（2）将50张白板纸剪裁完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含x，y的式子表示，结果要化简）

【答案】⑴（50—X—y）

⑵将50张白板纸剪裁完后，一共可以裁出（2x+y+100）个侧面与（200-4x-2y）个底面

【分析】本题主要考查列代数式，整式的加减的应用，理解题目中的数量关系，是解题的关键.

（1）用50减去A、8种裁法，即可得到答案；

（2）根据侧面数=4xA种裁法+3*3种裁法+2xC种裁法，底面数=2x8种裁法MxC种裁法，即可求解.

【详解】（1）由题意得：按C种方法剪裁的有（50-x-y）张白板纸

故答案是：（50-x-y）；

（2）由题意得：可以裁出的侧面：4x+3y+2（50-尤-_y）=2尤+y+100（个）.

可以裁出的底面：2y+4（50-x-y）=200-4x-2y（个）.

【变式训练3】.如图，是某学校内的一块长为30米，宽为15米的长方形劳动实践基地，为了行走方便,

学校决定请工人对三条都一样宽的走道进行硬化（阴影部分）.设走道的宽为无米.

⑴求走道的全面积为;（试用含x的代数式表示并化简）

⑵经测量该走道的宽x为0.5米，求出该走道的总面积；

⑶经商议按25元/米2的费用支付给工人工钱，则学校要付给工人的费用是多少元?

【答案】（1）-2尤2+60x

⑵29.5平方米

⑶737.5元

【分析】本题考查列代数式，代数式求值：

（1）根据图形，列出代数式即可；

（2）将x=0.5代入（1）中的结果进行求解即可；

（3）用单价乘以总面积进行求解即可.

【详解】（1）解：由图可知：走道的全面积为：2X15X+30X—2X2=—2X2+60X；

（2）解：当x=0.5时：-2/+60-=—2x0.52+60x0.5=29.5,

故该走道的总面积为：29.5平方米；

（3）解：25x29.5=737.5（元）.

类型六、新定义与程序问题

理解题中给出的新定义，熟练掌握整式运算法则。

例.定义：若人二机，则称。与6是关于机的关联数.例如：若。+8=3,则称。与b是关于3的关联数.

⑴①6与是关于2的关联数.

②4+2%与是关于2的关联数.（用含x的代数式表示）.

（2）若。=2尤2_3（f+x）-4,6=2x-[3x-（4x-尤2）-2],判断。与6是否是关于1的关联数，并说明理由.

【答案】⑴①T;②-2x-2

（2）。与6不是关于1的关联数，理由见解析

【分析】本题考查了新定义下的整式的加减，理解题中给出的新定义，熟练掌握整式运算法则是解题关键.

（1）①根据题意，进行计算即可；②根据题意，计算即可；

（2）先计算出0+匕=-2尤2-2,然后根据题目中的式子说明理由即可.

【详解】（1）①•.•6+（T）=2,

二6与T是关于2的关联数；

②•.•2-（4+2x）=-2x-2,

;.4+2x+（—2x—2）=2,

；.4+2x与一2x-2是关于2的关联数，

故答案为：①4②-2彳-2；

（2）w=2*2—3（f+x）-4,6=2.x--（4x-x?）-21，

:.a+b

—2%2—3（x2+1）—4+2x—131-（4x—%2）-2]

=2x?3/—3x-4+2%-（314x+x2—2）

——X2—x—4+%—%?+2

=-2/—2,

•/-2x2<0»

—2x^-2<0

回。与6不是关于1的关联数.

【变式训练1】.定义：若。+6=6,则称a与6是关于6的实验数.

(1)4与是关于6的实验数；代数式与5-2x是关于6的实验数.

⑵若°=彳2-4x+2,b=xi-2(x2-2x-2),判断。与6是否是关于6的实验数，说明理由.

⑶若c与］是关于6的实验数，且c=-2(3/-4x-l),求d的值.

【答案】⑴2,l+2x

(2)a与6是关于6的实验数，理由见解析

⑶d的值为6尤2-8x+4

【分析】本题考查整式的加减应用，理解题意，正确列出式子计算是解题的关键.

(1)根据题中给出的定义计算即可；

(2)计算a+/的值，如果和等于6,则a与6是关于6的实验数，否则不是；

(3)由题意得出c+d=6,把c的值代入计算即可求出d的值.

【详解】(1)-6-4=2,

回4与2是关于6的实验数；

6—(5—2尤)=6—5+2x=1+2x,

町+2x与5-2x是关于6的实验数，

故答案为：2；l+2x；

(2)解：。与b是关于6的实验数，理由：

u-\-b—x~—4x+2+x~-2-2x-2)

=x2—4x+2+x2—2x2+4x+4

=6,

刖与b是关于6的实验数；

(3)解：由题意得，c+d=6,

c=-2^3x2-4x-lj,

.-.6Z=6+2(3X2-4X-1)

=6+6x?—8x—2

=6厂―8x+4.

【变式训练2】.【知识背景】

定义1：一个关于多项式a/+g+02+公+分+九如果把其中x,>互换，所得的结果都与原式相同,

则称此多项式是关于x,y的二元对称多项式.

如x+y,X?+3肛+y2都是关于x,y的二元对称多项式.

定义2:若多项式组［A昆C］（A,B,C是关于x,y的整式）中的三个整式满足两个条件：

①多项式C是二元对称多项式；

②整式48通过已学过的整式加减运算后可得到多项式C,我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式

例如：［%2+3孙,丁,/+3盯+>2］,^2x2-xy-y2,x2-xy-2y2,x2+y2J,

［—*2+V+孙,2孙+2y\尤2+孙+y1都是“二元对称关联式

【知识应用】

（1）若［4q+丁,*2一2孙+/］是，，二元对称关联式，，，写出所有符合条件的多项式A,并说明理由；

（2）已知［加2尤2+/2/+如+,,一3尤2+*+切一4⑵2,无？+/+依+翅］是关于x,y多项式组（相，/为常数，

nm^O）,这个多项式组能否为"二元对称关联式"?若可以，分别求出加，〃的值；若不能，说明理由.

【答案】（1）多项式A可以是V-3孙；产-孙+2/；一一+3孙；（2）这个多项式组能为“二元对称关联式”，

止匕时机=2,n=3

【分析】本题主要考查了整式加减运算的应用，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算.

（1）根据题干信息分三种情况进行讨论，进行解答即可；

（2）根据"二元对称关联式”的定义分三种情况进行讨论，进行计算即可.

【详解】解：（1）若A+（v+y2）=%2—2个+,2,则：

A=x2-2xy-by2-（肛+力

=犬_2xy+y2-xy-y2

=x2-3xy；

若A—（肛+y2）二/一2孙+y2,则：

A=x2—2xy+y2+（孙+V）

=x2-2xy+y2+xy+y2

=x2-xy+2y2；

若（冲+丁2）—A=%2-2孙+J?,贝|J：

A=xy+y2——2孙+/）

=xy+y2-x2+2xy-y2

=-x2+3xy；

222

综上分析可知，多项式A可以是一一3孙；x-xy+2y；-x+3xy.

22222222

（2）（mx+ny+mx+3^）+3x+x+my—4my=x+y+nx+ny9贝"：

（根2—3）%2+（〃2―4,2+（机+1）%+（小+1）,=%2+/2+依+犯,

m2-3=1

回《孔2-4m=1,

m+l=n

由机2-3=1得：m=±2,

由"一4帆=1得：z：2=4m+l>0,

4

回机=一2舍去，

0n=m+l=2+l=3；

若(加2%2+〃2y2+5+,)_(_3%2+%+冲—4wy2)=%2+/2+依+*,贝仁

(疗/+n2y2+inx+y)一(-312+x+my—4my2

=m2x2+〃2y2+g+y+3x2-x-my+4my2

=(加2+3)兀2+(〃2+4m+(m一])%+(]一机),，

0m2+3>3,

回"+3)%2,

回此情况不可能成立；

若(一31+x+my—4my2—(^m2x2+n2y2+mx+y^=x2+y2+nx+ny,则：

(—312+x+my—4my2^—^m2x2+n2y2+mx+y^

222222

=—3x+x+my—4my—m~x~—ny—mx—y

=(_〃/—3)尤2+(_“2_4"?)y2+(l-"2)x+(〃2—l)y,

回-加2_34_3,

回(一疗-3)x2x2,

回此情况不可能成立；

综上分析可知，这个多项式组能为“二元对称关联式"，此时m=2,n=3.

【变式训练3】.对于一个三位自然数M,若它的百位数字比个位数字多6,十位数字比个位数字多1,则

称M为"儿童数如：三位数721,07-1=6,2-1=1,回721是“儿童数”.

(1)请你写出一个“儿童数"=(721除外)

⑵将721按照如下程序运算：721交换百位数字和个位数字127,用大数721减去小数127得到差为594,

差594不为两位数，594交换百位数字和个位数字495,用大数594减去小数495得到差为99,请你用(1)

中所写“儿童数"按照程序计算结果；

⑶设任意一个“儿童数"，百位数字为S+6),十位数字为(4+1),个位数字为a,按照(2)的程序列式计

算，并提出进一步的猜想.

【答案］⑴943

(2)99

⑶详见解析

【分析】本题考查了整式的运算，有理数的运算，

(1)按照“儿童数”的特点作答即可；

(2)将(1)中的“儿童数"按照给出的程序计算即可;

(3)根据题意：(4+6)(<7+l)a变换为a(a+l)(a+6),在表示出

(a+6)(a+l)a=100x(a+6)+10x(a+l)+a=llla+610,

a(a+l)(a+6)=100xa+10x(a+l)+(a+6)=llla+16,作减法即可作答.

【详解】(1)回9-3=6,4-3=1,

0943是"儿童数"，

故答案为：943(答案不唯一)；

(2)943变换为349,即943-349=594,差为三位数；

594变换为495,即594-495=99,差为两位数；

故答案为：99；

(3)结论：任意"儿童数"按照(2)的程序列式计算，最终的结果均为99,

根据题意：(a+6)(a+l)a变换为a(a+l)(a+6),

I3(a+6)(a+l)a=100x(a+6)+10x(a+l)+a=lllo+610,

a(a+l)(a+6)=100xa+10x(a+l)+(a+6)=nia+16

E(a+6)(a+l)a-a(a+l)(a+6)=594,差为三位数；

594变换为495,即594-495=99,差为两位数；

即最终的结果为99,

国任意"儿童数”按照(2)的程序列式计算，最终的结果均为99.

”压轴能力测评“

1.已知关于X的整式河=炉+6改一3工+2,整式N=—2炉+417尤一2》+2.

(1)求2M+N的值；

(2)若。是常数，且2M+N的值与x无关，求。的值.

【答案】⑴16依-8x+6

【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键.

(1)将河和N代入2M+N,然后利用整式的加减运算法则求解即可；

(2)由结果与x值无关，得到164-8=0,求出。的值即可.

【详解】(1)解：回河+6ar-3x+2,N=-2x2+4ax-2x+2

^2M+N

=2(x~+—3尤+2)+(—2元~+4-cix—2x+2)

=2%2+1—6x+4—2%2+—2x+2

=16ov-8x+6；

(2)解：回+N=16依一8x+6=(16a-8)x+6,

回，是常数，且2M+N的值与x无关，

即6a—8=0,

1

回〃=一.

2

2.已矢口：A=2a2+3ab-2a-1B=a2-l-ab—1;

(1)若(。+2)2+卜一3|=0,求A—23的值；的值.

⑵当a取任何数值，A-23的值是一个定值时，求b的值.

【答案】(1)-1

(2)2

【分析】本题主要考查整式的加减混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法

则等知识.

(1)利用绝对值以及偶次方的性质得出。，b的值，再去括号、合并同类项化简，最后计算即可；

(2)根据4-28=61s-2)+1,即可求出答案.

【详解】(1)解：A-2B=2a2+3ab-2a-l-2(a2+ab-l)

—2a2+3ab—2a—1—2a?—2ab+2

=ab—2a+\i

(«+2)2+|Z7-3|=0,(6t+2)2>0,|Z?-3|>0,

a+2=0,Z?—3=0,

/.a=—2,b=39

原式=(-2)x3—2x(—2)+1=—6+4+1=—1；

(2)解：A-2B=ab-2a+l

=a3—2)+l,

・・・当b=2时，无论。取何值，A-23的值总是一个定值1.

3.(1)先化简，再求值：5x3-3y2-5x3+4y2+3xy,其中x=-l,J=2；

(2)已知关于x,y多项式(。+2户2+(人一3)孙-x+2y+7不含二次项，求3a+56的值.

【答案】(1)丁+3孙，-2；(2)9.

【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值，多项式中次数的定义，代数式求值等知识.

(1)先计算整式的加减运算，然后再代入求值即可.

(2)根据该多项式不含二次项，可知二次项系数为0,则a+2=0"-3=0,求出八6的值，即可计算34+56

的值.

【详解】解：(1)5x3-3y2-5x3+4y2+3xy

=(5/_5/)+(4/-3/)+3孙

二)2+3孙

将X=—1,y=2代入上式，＜22+3X(-1)X2=4-6=-2；

(2)回关于x,y多项式(。+2)_?+0一3)孙-x+2y+7不含二次项

国。+2=0,b-3=0

解得：a=—2,b=3

回3a+5b=3x(—2)+5x3=9

4.有这样一道计算题：”计算(2x3-3x2y-2xy2)-(x3-2xy2+y3)+(-x3+3x2y-y3)的值，其中x=-1,

y=-1",甲同学把X=-1错看成x=l,但计算结果仍正确，你说是怎么一回事？

【答案】见解析

【分析】把所给多项式去括号合并同类项后即可得出答案.

【详解】原式=2x3_3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3+3x2y-y3

=-2y3,

团结果中不含x项，

团与X的取值无关.

回甲同学把x=-1错看成x=L但计算结果仍正确.

【点睛】本题考查了整式的加减一无关型问题，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有

括号先去括号，然后再合并同类项.

5.(1)阅读下列解题过程：

计算：（-15）4-Q-1-3^X6.

解：原式=卜15）+（-§25）x6（第一步）

6

=（；5）+（-25）（第二步）

=？3（第三步）

解答问题：①上面解答过程有两个错误，第一处是第一步，错误的原因是」第二处是第一步，错误的原因是「

②请你正确地解答本题.

⑵有道题目“当a=2,b=-2017时，求代数式氐3-（5a3b2-3a2b）+3a3+5a3b2-^3a2b+|a^+3的值甲同

学做题时把b=-2017错抄成b=2017,乙同学没有抄错，但他们得出的结果恰好一样，问这是怎么回事儿？

1AQ

【答案】⑴①二，运算顺序错误，三，运算符号错误，②原式=三；（2）理由见解析.

【详解】试题分析：（1）利用有理数的混合运算的运算顺序：先算括号里面的减法，再算除法，左后算乘

法；由此顺序计算判定即可；（2）找出代数式中的同类项再合并化简，根据结果判断即可.

试题解析：

⑴①二，运算顺序错误,三，运算符号错误；

②原式=（T5）+［一彳Jx6=（-I5）x［-石Jx6=手；

i7

（2）因为，原式=/_5a3b2+3crb+3/+5a3/72-3a2b--iz3+3=3；

所以，计算结果与°、6的取值无关.

所以,无论甲同学是否抄错瓦都不影响其计算结果.

点睛：1.第（1）题考了查有理数的混合运算，掌握运算顺序，正确判定符号，是正确计算的前提；2.第（1）

题考了查整式的加减运算，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项；与某字母的取值无关，则是

式子中不含该字母.

6.对于有理数a、b,定义一种新运算"0",Woeb=\a+b\+\a-b\

--------------1-------------------------1----------------1---------------------►

b0a

⑴计算（-3）e（T）e10的值.

⑵当。、b在数轴上的位置如图所示时，化简