浙教版九年级数学下册同步训练：解直角三角形（7类题型）（原卷版）

第03讲解直角三角形（7类题型）

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握解直角三角形；

2.掌握解直角三角形的应用一一仰俯角问题；

L解直角三角形的应用；

3、掌握解直角三角形的应用一一方位角问题；

4、掌握解直角三角形的应用一一坡度、坡角问题；

5、掌握解直角三角形的综合应用；

思维导图

知识清单

知识点1：解直角三角形

（1）解直角三角形的定义

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的关系

①锐角、直角之间的关系：/A+NB=90°；

②三边之间的关系：。2+反=©2；

③边角之间的关系：

乙A的对边a乙A的邻边

s\r\A=一,cosA=2ta上等瓷=去

斜边c斜边c乙A的令B边b

（a,b,c分别是NA、NB、NC的对边）

【即学即练1】

1.（2023上•山东济宁•九年级济宁学院附属中学校考阶段练习）在RSABC中，ZC=90°,ZB=30°,则cosB

的值为（）

A-IB近D

3-f

知识点2：解直角三角形的应用一一仰角、俯角问题

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角.

（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角

形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把

实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；

视线

铅

线

水平

仰角

垂

俯角

线

、

视线

【即学即练2】

2（2023上•湖南邵阳•九年级统考阶段练习）如图，在地面上的点A处测得树顶5的仰角为a度，若AC=6

米，则树高BC为（）

c.—^―米D.d—米

A.6sina米B.6tana米

tanacosa

知识点3:解直角三角形的应用一一方位角问题

（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数.

（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在

直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角.

【即学即练3】

3.（2023上•山东泰安・九年级校考阶段练习）如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的。处航

行，在点A处测得某岛C在北偏东60。的方向.该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30。

的方向上.则货船在航行中离小岛C的最短距离是（）

A.12海里B.6石海里C.12万海里D.24百海里

知识点4：解直角三角形的应用一:坡度、坡角问题

（1）坡度是坡面的铅直高度力和水平宽度/的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度,

一般用/•表示，常写成/.=1：m的形式.

（2）把坡面与水平面的夹角a叫做坡角，坡度，与坡角a之间的关系为：/=/7//=tana.

（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的

正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题.

应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等.

【即学即练4】

4.（2023上•山西临汾•九年级校联考阶段练习）汾河水库位于山西省太原市西北娄烦县境内下静游村至下石

铅直高度

家庄之间.如图，水库某段横截面迎水坡AB的坡度1:2（坡度；),若坡高3c=20m,则

水平宽度AC

坡面AB的长度约为（参考数据：V2»1.41,73«1.73,A/5«2.24）

A.28mB.35mC.45mD.67m

知识点5:解直角三角形的综合应用

（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.

如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边

的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.

（2）解直角三角形的一般过程是：

①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）.

②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得

到实际问题的答案.

【即学即练5】

5.（2023上•山西临汾•九年级校联考阶段练习）为庆祝国庆，某校要在如图所示的五角星中（图中所有线段

的长度均相等，且NA=N3=NC=ND=NE=36。），从顶点A开始，沿边每隔40厘米装一盏闪光灯，如

果R/两点间的距离为（君-1）米，那么需要安装闪光灯的盏数是（参考数据：5布18。=与i）

题型精讲

题型01解直角三角形的相关计算

1.（2223下•深圳•模拟预测）如图，在边长为6的等边“LBC中，点E在边AC上自A向C运动，点厂在

边CB上自C向8运动，且运动速度相同，连接尸交于点P,连接CP,在运动过程中，点P的运动路

径长为（）

c

F

EU/\

心-----

A生生R”raA

A.----D.L.3un.1

33j\Vl2

2.（2122下•芜湖咱主招生）如图所示，已知/1〃4〃/3,且乙与4的距离为2,4与4的距离为1，正三角

形4BC的三个顶点分别在4，/。上，则AB=.

3.（2022秋・广东深圳•八年级深圳市南山区荔香学校校考期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做

顶角正对（sad）,如图①，在AABC中，AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时.容

易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：

（l）sad90°=.

⑵对于0。<A<180。，/A的正对值sadA的取值范围是

（3）如图②，已知sinA=g,其中NA为锐角，试求sadA的值.

题型02解非直角三角形

1.（2020•哈尔滨・模拟预测）如图，在A处测得点尸在北偏东60。方向上，在8处测得点尸在北偏东30。方向

上，若AP=6如千米，则点A3两点的距离为（）千米.

p

C.2D.6

3

2.（2019上•成都・期末）如图，在等腰“IBC中，回=4S,8。_14?于点。,°0以=《，贝心血/。5。的值（）

C.好D.f

2

3

3.（23・24上•哈尔滨•阶段练习）在AABC中，若45=屈,tanB=-,AC=3在,则BC=

题型03构造直角三角形求不规则图形的边长或面积

1.（2223下•益阳・期末）如图，在四边形ABC。中，ZABC=ZADC=90°,43=7,BC=9,CD=3,则

四边形A3CD的面积为（）

A.48B.50C.52D.54

2.（22・23下•专题练习）如图，在AABC中，sinB=工，tanC=—,AB=3,则AC的长为，AABC

32

的面积为.

3.（2223上•西安•阶段练习）如图，在四边形A8CD中，连接AC、B。，ZABD=ZBCD=90°,ND钻=60。,

BC=CD,贝!JtanNACD的值为

题型04仰角俯角问题

1.（2223下•日照•阶段练习）如图，A3是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端8沿水平方向向左走8米

到达点C,沿坡度i=l:2（坡度i=坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点O,再继续沿水平方向向左

走40米到达点E（A、B、C、D、E在同一平面内），在E处测得建筑物顶端A的仰角为34。，己知建筑物

底端8与水平面DE的距离为2米，则建筑物AB的高度约是（参考数据：sin340®0.56,cos34°®0.83,

tan34°«0.67）（）

X34°

E--------------

A.27.1米B.30.8米C.32.8米D.49.2米

2.（2223•一模）安装了软件"5〃篦"牍磁are”的智能手机可以测量物高.其数学原理是：该软件通过测量手

机离地面的高度，物体底端的俯角和顶端的仰角即可得出物体高度.如图，小明测得大树底端C点俯角a,

顶端。点的仰角/，点A离地面的高度AB=。米，则大树8的为（）

图1图2

A.a(tanar+tan齐)米B.a(sina+sin/?)米

(tana八(tan夕八

C.a\------+1|米D.a\—匕+1|米>lz

(tan£Jtana)

3.（2023•湖北襄阳•统考中考真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像.某校数学兴趣小组利用

热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度.如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底

部所在水平面的距离CE为32m,从热气球C看铜像顶部A的俯角为45。，看铜像底部8的俯角为63.4。.已

知底座的高度为4m,求铜像A3的高度.（结果保留整数.参考数据：sin63.4。。0.89,cos63.4°«0.45,

tan63.4°®2.00,5/2»1.41)

题型05方位角问题

1.（2324上•石家庄•阶段练习）如图，岛尸位于岛。的正西方，P、。两岛间的距离为20（1+石）海里，由

岛P、。分别测得船R位于南偏东60。和南偏西45。方向上，则船R到岛尸的距离为（）

A.40海里B.40后海里C.404海里D.40面海里

2.（2223下•清远•三模）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45。方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正

北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30。方向上的8处，这时，8处与灯塔P的距离为

nmile.

3.（2022秋•安徽合肥•九年级合肥市第四十八中学校考期末）如图，某渔船向正东方向以10海里/时的速度

航行，在A处测得岛C在北偏东60。方向上，1小时后渔船航行至1」8处，测得岛C在北偏东30。方向上，已

知该岛周围9海里内有暗礁.

C。北

（1）8处离岛C有多远？

⑵如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？

⑶如果渔船在8处改为向东偏南15。方向航行，有无触礁危险（参考数据：退它1.732、sin75°«0.966>

cos75°~0.259）

题型06坡度坡比问题

1.（2223下广州•一模）如图是一个山坡，已知从A处沿山坡前进160米到达8处，垂直高度同时升高80

米，那么山坡的坡度为（）

AC

A.30°B.1:2C.1:73D.3:1

2.（2223下•太原•一模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物。的高度，如图，建筑物CD前有一段坡

度为1:2的斜坡BE,用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37。，接着小明又向下走了46米，刚好到达坡

底E处，这时测到建筑物屋顶C的仰角为45。，AB、aD、E、/在同一平面内，若测角仪的高度

Afi=EF=L5米，则建筑物CO的高度约为（）米.（精确到0.1米，参考数据：sin370-0.60,cos37°®0.80,

tan37°«0.75）

3.（2L22下•江门•模拟预测）如图，在距某居民楼A3楼底8点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，

山坡8的坡度（或坡比）z=l：0.75,山坡坡底C点到坡顶。点的距离CD=45m,在坡顶£>点处测得居民

楼楼顶A点的仰角为28。，居民楼与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼4B的图度约为（参

考数据：sin28°«0.47,cos28°«0.88,tan28°®0.53）

题型07解直角三角形的其他应用

L（2022春・云南红河•八年级统考期末）我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里

有一道"荡秋千"的问题："平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，

终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？"词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋

千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步（每一步为五尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的

身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？（）

A.14尺B.14.5尺C.15尺D.无法计算

2.（2022秋•山东东营•九年级东营市胜利第一初级中学校考期中）为完成“综合与实践”作业任务，小明和小

华利用周末一起去郊外放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据，如图，当小明把风筝放飞到空

中到点P处时，小华分别在地面测得NPAB=45。，/PA4=30。，AB=200米,则风筝的高度PC的长为（）

米（点C在点尸的正下方，A、B、C在地面的同一条直线上）（结果保留根号）

A.100A/2B.IOOA/2-IOOC.1004D.100A/3-100

3.（2022春•黑龙江绥化•九年级绥化市第八中学校校联考阶段练习）松花江斜拉桥是哈尔滨绕城高速公路西

段（瓦盆窑一一秦家）项目的重要组成部分，是我省修建的第一座公路斜拉桥，也是哈尔滨市乃至黑龙江省

的标志性工程.主桥采用双塔双索面钢一混凝土结合梁斜拉桥，塔墩固结一体、塔与主梁纵向活动支承，属

塔墩固结、塔梁支承式半悬浮体系.大桥索塔为门式塔，桥面以上设一道上横梁.全长1268.86m.图2是

从图1引申出的平面图.假设你站在桥上测得拉索A3与水平桥面的夹角是30。，拉索8与水平桥面的夹

角是60。，两拉索顶端的距离8C为2米，两拉索底端距离AD为128米，请求出索塔高的长.（结果精

确到0.1米，73=1,732）

图1图2

强化训练

A夯实基础

1.（2022上•黑龙江大庆•九年级统考期末）如图，AC是旗杆A2的一根拉线，测得AC=6米，NACB=50°,

B.6sin500米

6D-/米

C.--------米

sin50°

2.（2023•陕西西安•西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图是河堤的横断面示意图，已知tanA=YZ,

2

堤高BC=4m,则坡面AB的长度是（）

A.4A/3mB.45/5mC.8mD.16m

3.（2022上•湖南株洲•九年级校考期中）某堤的横断面如图，堤高是5米，斜坡A3的坡度是1:石，那

么斜坡AB的长为米.

B

4.（2023上•黑龙江哈尔滨•九年级校考阶段练习）如图，渔船向东航行，8点到达。处，看到灯塔A在其北

偏东60。方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行海里.

西F

5.（2023・安徽合肥•统考三模）数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A

处测得河的北岸点3在其北偏东13。方向，然后向西走80米到达C点，测得点8在点C的北偏东53。方向,

求河宽.（结果精确到0.1,参考数据sin37°20.60,cos370工0.80,tan37°a0.75,sin77°工0.97,cos770工0.22,

tan77°土4.33）

CA

6.（2023下•天津・九年级专题练习）某校数学兴趣小组学完"三角函数的应用"后，在校园内利用三角尺测量

教学楼的高度，如图，小明同学站在点。处，将含45。角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的

斜边刚好落在视线C4上.沿教学楼向前走7.7米到达点尸处，将含30。角三角尺的短直角边水平放置，此

时三角尺的斜边也刚好落在视线胡上.已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼A2的高度.（点。，

F,8在同一水平线上.结果精确到0.1,参考数据：括々1.73,V2«1.41）

A

B能力提升

1.（2023上•山东济南•九年级统考期中）阅读材料：余弦定理是这样描述的：在AABC中，/A、/B、NC

所对的边分别为人氏c,则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的

余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为：a1=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；

c2=cr+b2-2abcosC.已知在"LBC中，AB=2,BC=4,NA=60°,则AC的长为（）

A.2A/3B.V13+1C.VB-1D.3收

2.（2023上•河北邢台•九年级校考期中）为贯彻落实"绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植

树造林活动.如图，在坡度i=l:6的山坡A3上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为2gm,则斜坡上

C.4mD.4石m

3.（2023上•河北唐山,九年级统考期中）如图，一山坡的坡度为i=小辰从山脚A出发，沿山坡向上

走了200米到达点8,则坡角为，小辰上升了米.

4.（2022•湖北武汉•统考模拟预测）如图，小红同学用仪器测量一棵大树的高度，在C处知ZADG=30。,

在E处测得NAFG=60。，CE=8m,仪器高度CD=1.5m,这棵树A3的高度为.

5.（2023上•江苏泰州•九年级校考期中）如图，AD是44BC的中线，tanB=-,cosC=―,AC=A/2

52

A

（1）8C的长；

（2）/ADC的正弦值.

6.（2023上•山东济南•九年级统考期中）黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为"母亲河"，1855

年8月，黄河改道山东大清河入渤海，自此与泉城济南结下了不解之缘.黄河在济南流经7个区县，绵延

300余里，哺育了济南儿女，润泽了泉城大地，为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到黄河某段流域

进行研学旅行.某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出黄河某处的宽度（不能到达对岸）如

图，已知该段河对岸岸边有一点4兴趣小组以A为参照点在河这边沿河边任取两点8、C,测得

ZABC=65°,NACB=45。，量得的长为300m.求河的宽度.（结果精确到1m,参考数据

C综合素养

1.（2023上•山东济南•九年级统考期中）如图，AABC是边长为6的等边三角形，点。，E在边3C上，若

ZDAE=30°,tanZEAC^,则8。的长度是（）

A

A.3-6B.3+6C.343D.6

2.（2023上•浙江杭州•九年级杭州外国语学校校考阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=6,对折矩形ABCD

使得8C与AD重合，得到折痕所，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点G落在EF上，折痕是

BM,连接被，若MF上BM,则点BC的长是（）

3.（2023•广东深圳•校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进

行体温检测.某学校大门AB高6.5米，学生。尸身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域