云南省昆明市2023-2024学年高一年级上册1月期末考试 数学试卷

高一数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3}>1={3,5},则B)=

A.{2,4}B.{5}C.{1,2,4,5}D.{3}

2.命题“Vxe。，x+应是无理数”的否定是

A.Hxe。，x+0不是无理数B.BxeQ,尤+四是无理数

C.3x^Q,无+应不是无理数D.上e。，x+&是无理数

3.函数〃x)=Ji-(|r的定义域为

A.[0,+oo)B.(0,+oo)C.(—00,0]D.(—co,0)

4.已知募函数/(%)=(左2—2左-14)/在(0,+8)上单调递增，贝隈=

A.-3B.3C.-5D.5

5.甲、乙两校各有2名教师报名支教，若从报名的4名教师中任选2名，则选出的2名教师

来自不同学校的概率为

3-上

4

6.已知〃二(工),b=log53,c=log63,贝1J

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

7.掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：红骰子的点数为2,A2：

红骰子的点数为3,&：两个骰子的点数之和为7,A4：两个骰子的点数之和为9,则

A.A与4对立B.4与A不互斥

c.A与人相互独立D.4与人相互独立

8.已知函数/(无)=|lgx-l|,若/'(aA/S)，且a<A,则"(a)]2-/(106)的最小值为

5913

A.-3B.--C.--D.-—

444

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若“x>l”是的充分不必要条件，则实数。的值可以为

A.-lB.0D.2

10.已知甲、乙两组数的茎叶图如图所示，则

A.甲组数的极差小于乙组数的极差

B.甲组数的中位数小于乙组数的中位数

C.甲组数的平均数大于乙组数的平均数

D.甲组数的方差大于乙组数的方差

11.已知a>0,Z?>0,a+b=l,贝U

A.H的最大值为工B.'+3的最小值为9

2ab

(2./+〃的最小值为工D.-L+孜的最小值为6

2aba

12.若函数/(x)是定义在R上的奇函数，且满足/(x)=/(4—x),当xe［-2,0)时，f(x)=-x2,

则

A./(8)=0B./(x)在［-6,-2］上单调递增

C./(%)=-/(%-4)D.xf(x)=1在［-6,6］上的实数根之和为0

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.数据87,89,90,91,91,92,93,94的第80%分位数是.

b

14.已知10"=2,10"=3,贝！|21=.

15.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，在［0,+oo)上单调递增，且/'(-2)=0,则不等式

/(log3尤)<0的解集为.

16.已知函数/(x)=<x'尤('若对Vxe［-l,+oo),/(X)W|x|恒成立，则实数°的

一炉+2x—。，xN0.

取值范围为

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知集合A={x[a<x<o2+1},集合B={x|1<x<5}.

(1)当a=3时，求A.B•,

(2)若AB=A,求实数。的取值范围.

18.(12分)

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=log2(-x).

(1)求/(X)在R上的解析式；

(2)解方程[/(x)f+31og4尤=1.

19.(12分)

为宣传第19届杭州亚运会，弘扬体育拼搏精神，某学校组织全体学生参加了一次亚运

会知识竞赛，竞赛满分为100分.从全体学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行

统计，并将这100名学生的成绩按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,1001分

成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中a的值，并估计该学校这次竞赛成绩的众数(同一组中的数据用该组区间

的中点值为代表)；频率

(2)已知落在[60,70)的学生成绩的平均数

%!=67,方差S；=3,落在[70,80)的学生成绩

的平均数五=72,方差邑②=8,求落在[60,80)

的学生成绩的平均数x和方差S2；

(3)用样本频率估计总体，如果将频率视为

概率，从全体学生中随机抽取3名学生，求这3名

学生中恰有2人成绩不低于80分的概率.

20.（12分）

某科研团队在某地区种植一定面积的藤蔓植物进行研究，发现其蔓延速度越来越快.

已知经过2个月其覆盖面积为18m2,经过4个月其覆盖面积为40.5m2.现该植物覆盖面积

y（单位：n?）与经过时间x（xeN）个月的关系有函数模型y=p6+q（0>O,q>0）与

y=伏可供选择.（参考数据：72G"73,lg2®0.30,lg3»0.48.）

（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

（2）求至少经过几个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的15倍.

21.（12分）

已知函数/（x）=x2-2ax+3,xc[0,1].记g（a）为了（尤）的最小值.

⑴求g（a）；

（2）设r<0,若关于。的方程吆（“）+2。+。=0在（0,1）上有且只有一解，求实数t的取

值范围.

22.（12分）

已知函数/（尤）=2'-2-1

（1）判断了（元）的单调性，并用单调性的定义证明；

（2）若对Vxe[l,2],都有/（2尤）-“（尤）20成立,求实数a的取值范围；

（3）是否存在正实数3使得/（处在[加，〃]上的取值范围是口2"'-k"2"-内？若存

在，求上的取值范围；若不存在，请说明理由.

高一数学参考答案

一'选择题（每小题5分）

题号12345678

答案CAADCBCB

二、选择题（4寻小题5分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

题号9101112

答案ABACBCDACD

三'填空题（每小题5分）

题号13141516

今,5]

答案933《⑼

四、解答题

17.(10分)

解：(1)当。=3时，A={x|3<x<10},-------------------------------2分

所以AB={x|l<x<10}.----------------------------------------------5分

(2)若AB=A,则-----------------------------------------6分

1a

因为〃2+1一々=(々——)2+一>0,所以AW0,

24

由Au5可得21----------------------------------------------8分

—H+L,

解得1W.W2.--------------------------------------------------------10分

18.(12分)

解：（1）因为/（%）是奇函数,

①当x=0时，/(0)=0,----------------------------------------------1分

②当x〉0时，一xvO,/(-x)=log2x=-/(x),

所以/(x)=-log2x,--------------------------------------------------5分

log2(-x),x<0,

所以/(%)=0，%=0,6分

-log2x,x>0.

(2)由题意知，%>0,-----------------------------------------------7分

2

得[/W]+310g4X=(-log2x)2+31。片=1,----------------------------8分

令log2X=/,则r+耳一1=0,即2产+3/-2=0,------------------------9分

角毕得£=?或才=-2,10分

2

即log2X=5或log2x=-2,

解得元=近或工='.--------------------------------------------------12分

4

19.（12分）

々刀/1、小日右上心骨1—（0.1+0.15+0.2+0.25）八cm.八

解：（］）由通思矢口，a=------------------------------=0.030,2分

10

估计该学校这次竞赛成绩的众数为75.----------------------------------------------------4分

（2）因为落在［60,70）与［70,80）的人数比为0.02：0.03=2：3,-----------5分

2xi+3%22x67+3x72

所以x==70,6分

55

5

2[3+(67-70)*2]3+3[8+(72-70)2]醛

8分

5

（3）由题意知，每名学生成绩不低于80分的概率为0.4,9分

则3名学生中恰有2人成绩不低于80分的概率尸=3x0.42x（l-0.4）=0.288.—12分

20.（12分）

解：（1）因为>'（左>0,。>1）的增长速度越来越快，y=p«+45>0,q>0）

的增长速度越来越慢，所以依题意应选择>=切'（无>0,4>1）,-------------------2分

ka2=18,3

d=——,

由题意知，481所以，2

fa/4=40.5=—,

2k=8,

所以>=8・（万）”,xeN.-------------------------------------------------------------------------6分

（2）当x=0时，y=8,

所以藤蔓植物原先种植面积为8m2,------------------------------------------------------7分

设经过x个月藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的15倍.

3

所以8-（万），>8x15,-----------------------------------------------------------------------------8分

3

可得;dg3>lgl5,--------------------------------------------------------------------------------9分

所以x>些Jg3+1g5Jlg3Tg2=1+i

1g。Ig3-lg2Ig3-lg2Ig3-lg2

所以至少经过7个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的15倍.-----12分

21.22分）

解：（1）由题意知，对称轴为X=Q,

①当时，/（%）在［0,1］上单调递增，

所以y(x)的最小值为/(O)=3；-----------------------------------------2分

②当。＜口＜1时，/(尤)在［0,可上单调递减，在上单调递增，

所以/(元)的最小值为〃。)=3-/；——

③当时，/(X)在［0,1］上单调递减,

所以/(尤)的最小值为川)=4-2°.

3,aWO,

综上可知，g(a)=＜3—Q?,0<Q<1,

4—2a,aN1.

（2）法一:由第（1）问知，次⑷+2"+〃=«3-〃2）+2"+〃=0,

即勿2—a—3,二2",

所以关于。的方程火(〃)+2。+〃=0在(0,1)上有且只有一解，

等价于乙⑷二疗-Q-3/与似〃)=2。的图象在(0,1)上有且只有一个交点，--9分

因为r＜0,所以似a)的图象开口向下，对称轴为。=：＜0,

所以\①)在(0,1)上单调递减，

又因为色(。)在(0,1)上单调递增，---------------------------------------10分

所以w…⑼，

,(1)＜似1),

解得一＜t＜―一.------------------------------------------------------12分

23

法二:由第(1)问知，fg(a)+2"+。=«3-/)+2"+。=0,

即勿2-a-3f—2"=0在(0,1)上有且只有一解，---------------------------8分

令h(a)=ta2-a-3t-2",----------------------------------------------9分

因为f＜0,所以;y=疗-a-3/的图象开口向下，对称轴为。=,＜0,

2t

所以y=/-a-3f在［0,1］上单调递减，

又因为y=2。在［0,1］上单调递增，

所以/z(a)=Z«2一。一3/-2"在［0,1］上单调递减，--------------------------10分

------------------------------------------------------12分

23

22.（12分）

解：（1）/（元）在R上单调递增.-----------------------------------------1分

证明：任取再,％eR,且占＜%，

Y|%1

a|3么f5）-/（x2）=（2-2f）-（2^-2』）=2---2热+1

=2%一2苞——^-=(24一29)(1+^—),-----------------------------3分

2电2画2再+x2

因为玉＜/，所以0＜2画＜2乃，可得2w一2攻＜0,又1+＞0，

所以/0)—"%)＜。，即以力〈〃/)，

所以/(%)在R上单调递增.---------------------------------------------4分

(2)因为/(2x)—of(x)30，所以(22V——)—。(2"---)20，

22X

所以(2*——)(2X+—)-a(2x-—)^0,

2X2X2X