圆锥曲线中的光学性质（高阶拓展、竞赛适用）-2025年高中数学一轮复习

第19讲圆锥曲线中的光学性质

（高阶拓展、竞赛适用）

（3类核心考点精讲精练）

考情探究・

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线光学性质的形式

2.理解、掌握圆锥曲线的光学性质问题及其相关计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算,

需强化训练复习

12•考点梳理•

知识点1抛物线的光学性质

考点3抛物线中的光学性质

知识讲解

1.抛物线的光学性质

如图1所示，从抛物线的焦点F发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行

（或重合）的光线；

如图2所示，设抛物线在P处的切线/交对称轴于点Q,PML上切线/交对称轴于点M,则焦点F是

QM的中点.

1

如图3所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点；

如图4所示，椭圆在点P处的切线为I,直线交直线F1F2于点Q,贝PQ平分乙'PF2,由角

如图5所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点；

如图6所示，双曲线在点P处的切线/与直线F1F2相交于点Q,则PQ平分^F1PF2,由角平分线性

考点一、椭圆中的光学性质

2

典例引领

1.（2024•内蒙古赤峰•一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反

射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为

22

工+匕=1,其左、右焦点分别是片，F],直线/与椭圆C切于点尸，且|尸匐=2,过点尸且与直线/垂直

则由叫：优叫=（）

C.1:3D.1:4

【答案】D

【分析】根据椭圆定义和光的反射定理，以及角平分线定理可得

【详解】由已知得°=5,|尸用=2,

由椭圆定义可得1PBi=2。-归耳|=8,

根据光的反射定理可得为4尸6的角平分线,

EM

因jJ'Q"sin/片尸AfsinAF{MP'sinZF2PMsinAF2MP

匚u”怩闾_sinAFXPM\F2M\sinAF2PM.sinAFXPM_sinAF2PM

“|"|耳尸|sin4MP，\F2P\_sinZF2Mp，sin/F]MPsin/F2Mp

\FXM\_\F1M\

听以出P|\F2P\

即忸闾:怩闵=|片石:㈤目=1:4.

故选：D.

2.（22-23高三,安徽六安•阶段练习）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线,

22

经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆与+「=1（“>6>0）的左、右焦点为月,月，P

ab

为椭圆上不与顶点重合的任一点，/为△亚用的内心，记直线OP,为坐标原点）的斜率分别为勺，k2,

若3%=2/，则椭圆的离心率为.

3

【分析】根据椭圆的焦点三角形以及内切圆的性质|尸阊+|K7|=a+c，结合两点距离公式化简得用=为，由

等面积法可得乂=—y，由斜率关系即可代入化简求值.

a+c0

【详解】不妨设点p在第二象限，△尸片外的内切圆与各边的切点分别为M,N,7,设p（x。,%）,/（孙必），

则1PM=\PN\\FXM\=\FJ\\FJ\=®N|,

|尸胤+|尸工|+小玛卜2|PN|+2忖T|+2gN卜2a+2c,

故归国+国丁|=q+c,归闾=一4卜4+。=q+c-簸-卜c）=a-x1,

|%=’（%"）2+姬=1k0-c）2+#462=声”，

由于点尸在第二象限，|?耳|>〃，所以|Pg卜一/-。二Q-一工0二4一%

aa

a-exQ-a-xx,故ex。二百，

邑呻「J醛c%=c觌3（1冏+1咫+|£矶％=J（2a+2,J,因止匕乂=.%,

LLLaIc

C1c

vv_vv儿一^^为2_l+3e

3砧=2瓯揶3比=23星2——_3^-——x0,

X

/x0XQ-X{0XQ-X1

当ex。=%代入得3e?=IPe=—（负值舍去），

3

故答案为：—

3.（2024高三•全国•专题练习）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射

4

22

后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C：去+方=l（a>6>0）的左、右焦点分别为片，F],左、右

顶点分别为A,B,一光线从点FM-1,0）射出经椭圆C上P点反射，法线（与椭圆C在尸处的切线垂直的直

线）与x轴交于点。，已知|尸用=1,忸0|=g.求椭圆。的方程.

43

【分析】根据题中所给的性质，结合角平分线的性质、椭圆的定义进行求解即可.

【详解】由椭圆的定义知|「耳|+|「居|=2〃,则陷|=2"阀|=2"1.

明

由光学性质可知尸。是/耳尸鸟的角平分线，所以

I耳。IW

1267-1

因为。=1,所以101,得。=2,

——L------

22

从而6=J〃2_02=8,

故椭圆C的方程为《+片=1.

43

即时检测

I_________L__________

1.（23-24高二上・江苏南京•阶段练习）班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的

一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：

22

已知椭圆。的方程为巳+卷=1,其左、右焦点分别是片，F”直线/与椭圆。切于点尸，且归耳|=5,过

点尸且与直线/垂直的直线机与椭圆长轴交于点。，贝U廿号=（）（注：若V/8C的角平分线/。交8c于

-ABBD、

点0,则nI就二工）

5

5

C.一

4

【答案】A

【分析】由光反射的性质易得P。平分4尸鸟，再由椭圆的定义及已知即可求比例.

+JP印布。

【详解】由题设々尸£=@尸月，则尸。平分4尸8,

1^11^21

m5

而忸用=5,|尸蜀+|尸玛卜2a=8,则|尸闾=3,所以=

\F2Q\3-

故选：A

2.(2023・江苏宿迁•模拟预测)椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射

22

光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆E:]+方=1(°>6>0)的左、右焦点分别为片,£,过用的直线与

椭圆£交与点45,过点/作椭圆的切线，，点3关于/的对称点为M若切旁,除。则'=()

【答案】A

【分析】结合题目所给信息及图形可得Ma=|/明，后由椭圆定义及条件可得忸闾=三，|盟|=看，|四|=?.

取后由必必&一可可可信答案.

【详解】如图，由椭圆的光学性质可得M,4月三点共线.

设忸用=x,贝中周=2a-x,\MF^=\AF^+\MA^\AF^+\AF^+\BF,\=2a+x.

故陶=解得4又阳夸，所以叫中,回=青

6

1(3吟

c—\AB\\AMsinZ.MAB,H,,,,kO1

所以SAMAB=2，"I__________=I4BLI=I2J=81

35

怎||^F,|\AF21sin(;t-ZMAB)MM闾

3.(2023•浙江•模拟预测)费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，如:

22

点p为椭圆(片，月为焦点)上一点，则点P处的切线平分4环外角.已知椭圆c：±+匕=1。为坐标原

84

点，/是点尸(2,⑹处的切线，过左焦点力作/的垂线，垂足为“，则|。叫为()

A.2A/2B.2C.3D.2也

【答案】A

【分析】先求得直线/的方程，然后求得直线片M的方程，进而求得M点坐标，从而求得

【详解】依题意可知直线/的斜率存在，设直线/的方程为了-&=左卜-2),了=左1-2)+/，

整理得(1+2左2)》2+(4瓜一8斤2卜+8左2—8版一4=0,

由于直线/和椭圆C相切，贝i]A=(4岳-81『一4(1+23)(8左J8而-440,

所以直线/的方程为y=-*(x-2)+行=-'x+2后,

22______

对于椭圆上+匕=1,C=V8^4=2,所以片(-2,0),

84

所以直线耳M的方程为V=&(x+2)=6c+2S,

由「二一丁+2夜解得『二°所以3|=2行.

y=42x+242〔加=22

故选：A

7

考点二、双曲线中的光学性质

典例引领

1.（2023・山西•模拟预测）双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光

22

线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线土-匕=1的左、右焦点分别为片，6，

169

从6发出的光线射向。上的点尸（8,打）后，被。反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（）

13111113

A.——B.——C.—D.---

14141414

【答案】C

【分析】求出点尸（8,3g）,进而求出尸鸟，PF、,g,利用余弦定理即可得出结果.

【详解】设尸（8,%）在第一象限，如_夜=1=%=36，PT7=7（8-5）*12+（3V3）2=6

尸4=6+8=14,片凡=10,cos4PG="+62102=q

122x14x614

故选：C

【点睛】本题考查了双曲线的几何性质和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于一般题目.

2.（21-22高三上•全国•阶段练习）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，

22

反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线E：三-4=1（。>0,6>0）的左、右焦

ab

点分别为《，F2,过耳沿倾斜角120。出发的光线，经双曲线右支反射，若反射光线的倾斜角为30。，则该

双曲线的离心率为.

【答案】V3+1

【分析】依题意画出图形，则/儿用巴=30。，ZMF2Ft=60°,即可得到/用明=90°,再利用锐角三角函

数及双曲线的定义计算可得；

【详解】解：设反射点为则/肛心=30。，/九外耳=60。，所以/邛明=90。，

设=因为闺用=2C,所以尤=2csin3(T=c,所以|出|=2a+c,

又tan"冉初=普="=若，所以2a+c=&,即2“=①l)c,

8

2

所以

故答案为：V3+1.

>0）的左、右焦点分别为片，片，双曲线具有

如下光学性质：从右焦点月发出的光线加交双曲线右支于点尸，经双曲线反射后，反射光线〃的反向延长

线过左焦点招，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为百x-y=0,则下列结论正确的有（）

A.双曲线C的方程为《一廿=1

412

B.若加，"，贝！||刊计|尸月|=12

C.若射线〃所在直线的斜率为尤贝依1卜瓜⑻

D.当〃过点M（8,5）时，光由月T■尸所经过的路程为10

【答案】AC

【分析】利用双曲线的渐近线方程及勾股定理，结合双曲线的定义及两点间的距离公式即可求解.

【详解】对于A,由题意可知，。=2,因为双曲线C的一条渐近线的方程为&x-y=0,

9

i22

所以;=6,即6=26，所以双曲线的方程为土-匕=1,故A正确；

对于B,由。=2,6=2百，得c?=2?+(2抬'『=16,解得c=4,

在中，ZFtPF2=90°,由勾股定理及双曲线的定义知，

丹广+|产园2=(阀卜阀『+2阀『尸闾=4.2+2阀口尸典=牝2,

即2|巴讣忸6|=41一/)=助2=48,解得|尸耳卜|尸闻=24,故B错误；

对于C,由题意可知，双曲线的渐近线方程为y=±瓜，

由双曲线的性质可得射线〃所在直线的斜率范围为卜6,6),故C正确；

对于D,由题意可知，£(-4,0),当〃过点初(8,5)时，

由双曲线定义可得光由月一尸所经过的路程为

2

\F2P\+\PM\=|^p|+\PM\-2a=\MF^-A=^>-(-4)]'+(5-0)—4=9,故D错误.

故选：AC.

即时检测

■____________

22

1.(2024•山东济宁•三模)已知双曲线C:5-==1(°>0,6>0)的左、右焦点分别为公,耳，根据双曲线的

ab

光学性质可知，过双曲线C上任意一点尸(%,%)的切线/:卑-咨=1(。>0,6>0)平分4刊官直线4过乙

ab

交双曲线C的右支于4,8两点，设耳外,Am用,A/郎的内心分别为//,/,若△〃(与A鸟q2的面积之

3

比为《，则双曲线C的离心率为()

A.3B.空C.之D.巫.

2333

【答案】C

【分析】利用切线长定理求得直线//的方程，再借助双曲线的切线方程求出点/的横坐标，结合面积关系

求解即得.

【详解】令圆A切分别为点P,Q,T,则洋尸|=|4。片尸|=|中F2Q|=|F2T\,

\FlT\-\F2T\=\FtP\-\F2Q\=\AFi\-\AF2\=2a,令点T(x°,O),而耳(-c,0),鸟(c,0),

因此/-(-<?)-匕-/)=2°,解得/=。，又1丁IFF〉则点人横坐标为a,同理点八横坐标为。，

即直线//的方程为芯=。，设/区,弘),夙£,%)，依题意，直线4,2/的方程分别为：

于一首=i，子-罟j联立消去>得：等-1加=(竽-1)%，

整理得x=°(上“),令直线48的方程为工=啊+。，

再歹2一

10

于是尤=-——了2/)~-=—,即点/的横坐标为C,

(优必+c)y2-(my2+c)y1cc

Q"

因此°c_a_3,所以双曲线C的离心率e=£=：.

7；一―一―'a3

S殂电。一0c5

故选：C

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率e；

②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

2.(2023・全国•模拟预测)"双曲线新闻灯”的研制是利用了双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光

线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点.已知一个“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线

的一部分，其方程为士-4=1(°>0,6>0),离心率为巫，月为其右焦点.若从右焦点月发出的光线经双

a-b-2

jr

曲线右支上的点A和3反射，AD,BC为反射光线，且满足乙840=彳，则tan/4BC=

2

3

【答案】-/-0.75

4

【分析】利用双曲线的几何性质，结合解三角形的知识，分别求出AG/E、凹陷和的各边长，即

3

可求出tan/GA4=—,进而求出tan乙48c.

4

【详解】设双曲线的左焦点为耳，则忻胤=2c.

因为离心率为巫，所以e=£=叵，所以c=

2a22

11

不妨设|/用=〃，则闻=〃-2a.

因为所以/+（〃-2a）2=（2c）2,

把c=M^a代入，解得：7?=3。（〃=-。舍去）.

2

所以|/周=3蜀/典|=a.

aV10

在直角A乙中,cosZFlF1A=j—H

K/V10（7~W

所以cosZF{F2B=-cos/RF2A=-

在ARBFZ中，cosZF}F2B=-

设忸耳|=加,贝“典|=加_2a.

阳月（+旧32Vio

由余弦定理得:cosZFFB=-M

{22电卜皿To-

即（2cJ+（m-2（7）2-m2_V10

2x（2c）•（加一2Q）10

把c=®0代入解得：m=5a.

2

所以忸耳|=5a,忸工|=3a.

在直角右耳43中，忸叩=50,|/可|=3a,\BF2\=忸国+|/用=a+3a=4a.

所以tan//=圈式=|

3

所以tan/ABC=-tan4\BA=--.

_,3

故答案为：-二.

4

3.（2024•江苏常州•二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反

22

射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，双曲线E:土/I的左、右焦点分别为小凡，从

12

月发出的两条光线经过E的右支上的48两点反射后，分别经过点C和。，其中丽，丽共线，则（）

A.若直线45的斜率左存在，则左的取值范围为-8,——u工

B.当点。的坐标为伍加，&5）时，光线由耳经过点A到达点C所经过的路程为6

C.当方.而=焉2时，八^片尸2的面积为12

D.当运.而=与2时，cosN《&N=-普

【答案】ABD

【分析】根据双曲线的渐近线的斜率，可得判定A正确；根据双曲线的定义，求得由巴经过点A到达点C所

经过的路程，可判定B正确；根据向量的数量积的运算，得到在.诙=0,得到设忸耳|=〃，列

出方程，求得〃=6,进而可判定C错误；在直角△耳3名中，结合cos/片8/=-cos/FJ巴3,可判定D正确.

【详解】如图所示，过点石分别作E的两条渐近线的平行线44,则/”4的斜率分别为"和-逅，

22

对于A中，由图可知，当点45均在E的右支时，左＜一区或左＞逅，所以A正确；

22

对于B中，光线由耳经过点A到达点C所经过的路程为|月旬+=由2|-2a+\AC\

=|^C|-2a=^（2710+V10）2+（VlO-0）2-4=6＞所以B正确；

对于C中，由方.而=方，得益•（而-茄）=0,即方.诙=0，所以A8L5。，

设忸周=n,贝lj忸鸟|=〃一2〃=〃一4,

因为乙451）=5，所以〃之+（孔_4）2=（2C）2=40,整理得几之一4九一12=0,

解得〃=6或〃=-2（舍去），所以忸£|=6,忸闾=2,

所以△即笆的面积S=周.忸玛=6,所以C错误；

\BF.\2Vio

对于D项，在直角△片职中，cosN片与8=晨=月而=%，

所以cosNG❷N=-cosN《g8=-色，所以D正确.

故选：ABD.

13

考点三、抛物线中的光学性质

单典例引领

1.（2022•福建莆田•三模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线

的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线

£:/=2px（0<p<4）,一条平行于x轴的光线从点/（8,2。）射出，经过抛物线£上的点3反射后，与抛物

线E交于点C,若VABC的面积是10,则。=（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】D

【分析】根据AB//x轴知B点纵坐标为22代入抛物线方程可求B点横坐标，利用B和尸求出直线BC的

方程，代入抛物线方程消去y可得根与系数关系，根据抛物线焦点弦长公式可求3c长度，利用点到直线距

离公式可求/到直线BC的距离d,根据=10即可求出p.

【详解】由题知抛物线焦点为尸整0）,轴，

将歹=2〃代入/=2px得x=2p,则B为（2〃，2p）,

由题可知3、F、C三点共线，3c方程为：尸三万1一/即”

2P-万2）

代入抛物线方程消去y得，8/-17.+2°2=0,

设方程两根为不、》2，则王+马=2^贝！118cl=X]+X2+p=2^+0=%，

OOO

又4（8,2。）到2C：4x—3y-2。=0的距离为：.132-6p-2展生织

55

•••由工0=10得，忸C|.d=10np.卫券=20np=2.

故选：D.

14

2.（23-24高二上•广东广州•期末）（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后,

沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的

焦点.已知抛物线C:必=2px,。为坐标原点，一束平行于无轴的光线4从点尸（取可（/<4〃?）射入，经过C

上的点4（打,当）反射后，再经C上另一点8（久2，乃）反射后，沿直线4射出，且4经过点。，则（）

11

A.当夕=2，〃=1时，延长/。交直线％=-^于点。，则。、B、。三点共线

125

B.当夕=—,〃=1时，若PB平分乙4BQ,贝I」冽二三

216

C.的大小为定值

D.设该抛物线的准线与x轴交于点K,则ZAKF=/BKF

【答案】AD

【分析】对AB,可代入条件求出抛物线方程后计算出相应的点的坐标，A选项验证三点纵坐标可得，B选

项中结合条件得到|“尸|=以同计算即可得；对CD,设出直线N8方程，联立后得出两点横纵坐标关系后，结

合斜率与倾斜角的关系即可得.

【详解】设力（久1，月）,^（冷,月），如图所示：

15

对AB选项：直线4平行于x轴，当P=；，〃=1时，抛物线的方程为，=x，

4过点P（%1）（机＞1）,即有弘=1,则占=1,即直线NB经过焦点（；,0）,

直线的方程为7-1=尸,0一1）,即4x-3"l=0,

4

f4x—3y—1—01,111

由｛2消去x得4y-3V-1=0,由%歹2二-二，得歹2=-二，于是'（77，一了）,

[y=x44164

显然直线AO的方程为y=X,直线4。交直线X=-；于点，

显然直线50〃尤轴，由光学性质知，BQ//x轴，因此。、B、。三点共线，A正确；

由光学性质知/尸//x轴，而8。//工轴，则AP//B。，宿/APB=/PBQ,

又PB平分ZABQ,即=/080,^\AAPB=AABP,

于是|/尸|=|/用，即吁1=1+2+:=!|,解得加=上，B错误；

1621616

对CD选项：设直线NB的方程为x="+5,

_P

由「“2消去x得：y2-2pty-p2=0,显然A〉0,

y2=2px

2

则必+%=2p%,y^2=-p,再+工2=%（必+%）+P=（2,+D。

设ZAOx=a,/BOx=/3,由斜率坐标公式得tana=匕，-tan^

再x2

Tanatanp="=」^=^=

于是否马（必%y必力即tanatan/?=4,

tana+tan/7夕不是定值,因此z/。台不是定值，c错误;

而tanZAOB=tan(or+/?)=tana;tan

l-tanatan尸

点K0,-三，直线/K斜率以一"一例+。，直线8K斜率隈一工

再+]x2+y

==_p2=P=P=2P2p

22

%力+。乂pyt-tpy「tpvx+%乂-%1；,P

2Ji

16

=_2孙=_2pyt_2%=_必

2

疗+/2pxl+p2（小+少+p%+。'

即3K=一心K，因此4KF=N8KF，D正确.

故选：AD

【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，

可直接使用公式1/为=%+%+。，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

3.（2024•安徽蚌埠•模拟预测）（多选）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线上的一点反

射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线E:x2=4y的焦点为尸，准线为I,A,B为抛物线E上两个

动点，且£48三点不共线，抛物线E在48两点处的切线分别为4,&4c/?=7,45在/上的射影点分别为

4目,则（）

A.点尸关于4的对称点在/上B.点T在/上

C.点7为内的外心D.FTLAB

【答案】AC

【分析】根据抛物线的光学性质及定义知N4/T=^TAF,ABXBT=AFBT,从而A.F的垂直平分线为4,BXF

的垂直平分线为4，即可判断选项AC,再利用£45三点共线时，得到点T在/上和尸判断CD.

【详解】

如图：由抛物线定义知，|4<|=X司，忸叫=忸根据抛物线的光学性质知：

从厂发出的光线经抛物线的反射光线4D、8c与y轴平行，

又抛物线E在48两点处的切线分别为44，

结合平行线性质及对顶角相等得N//T=NT&F/B\BT=ZFBT,

即AXF的垂直平分线为4,BF的垂直平分线为/2,

所以|4刀=|6|,|网=|西忸闻=忸刊,所以点7为内的外心，故选项C正确;

17

点尸关于4的对称点4在/上，故选项A正确；

假设RA,3三点共线，设4(%1，%)，以及，力)，直线方程为了=履+1,

因为》2=47，即夕=；/,所以/=；X,所以勺,=；X],原=；X2，

所以的方程分别为y-必咤(x-%)，y-y2=^-(x-x2),

即y=|>Xf,y=h.x-y2,

y-y}=-(x-x})z、/、

联立2,所以+若》—

所以x=2=2k,

y-y2=^(.x-x2)'~、再一

由(乂一%)

2、._玉必一项％、，_x{y-xry2-项必+x2y]

贝1Jy=-Ji--------------—%=-----------------------------

2-x2再-x2须-x2

=再％7处=%陶+1)-占(8+1)="==4,所以7(2人,一1),

X]-x2X1-x2X]—x2

说明厂,42三点共线时，T点才落在/:x=-l,因为尸,48三点不共线,

所以点T不在/上，所以选项B错误；

当尸，A,8三点共线时，T(2k,-1),

当先=0时，直线48方程为了=1,直线尸7方程为x=0,止匕时尸T_L48,

-1-11

当左。0时，k=-----二一;，此时万7_L45,

FT2k-0k

故只有尸,48三点共线时，才有尸因为厂,45三点不共线，所以FT与48不垂直，故选项D错误.

故选：AC

【点睛】结论点睛：抛物线的切线相关结论：抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为尸，直线/过焦点厂与抛

物线相交于4，2两点，过/，2分别作抛物线C的切线，两切线交于点G,则点G在抛物线的准线上，且

GFLAB.

即时检测

{________________________________

1.(2023•江西•模拟预测)用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴

的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面)的反射后，集中于它的焦点.用

一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点

与原点重合，如图，若抛物线C的方程为r=8x,平行于x轴的光线从点”(12,2)射出，经过C上的点A反

射后，再从C上的另一点3射出，贝八儿必|=()

18

【答案】C

【分析】依题意设/（私2）,代入抛物线方程，求出“7,即可得到直线的方程，联立直线与抛物线方程求

出B点坐标，即可求出|九必|.

【详解】由"（12,2）,可得A的纵坐标为2,设次”,2）,则4=8加，解得机=g,

由题意反射光线经过抛物线r=8尤的焦点（2,0）,

所以直线的方程为k°=厂口一2）,整理可得尸一第一2）,

13

y=——（X—2）1

由3、,消去y整理得2/-17x+8=0,解得西=弓，X2=8,

y2=8x一

则%=-9（％-2）=-8,所以8（8,-8）,所以|〃3|=小（12-8）2+（2+8）2=2回.

故选：C

2.（2024•浙江•模拟预测）应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜

的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学

系统的原理如图（中心截口示意图）所示.其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜

MOzN弧所在的曲线为双曲线一个分支.已知片是双曲线的两个焦点，其中月同时又是抛物线的焦点，

且，的面积为10,口闾=8,则抛物线方程为.

【分析】设片(一c,0),工(c,0),N(x0,%)(%>0,y0>0),由ZNF2F1=45。,tan/a耳=1,S△陷&=1。，解出。得

19

a点坐标，结合|a月|=8得抛物线方程.

【详解】以百工的中点。为原点，片鸟为x轴，建立平面直角坐标系，

不妨设内（一。⑼，巴（。,0）川&,%乂毛＞0,%＞0）.

1y0=-32

由tan/gg="/和片=45。，则有4,=-c,y0=-c,

[%=c-/〜

i2

又S.NF居=5内用％）=1/=10,解得c=5,

|。同=8,则有《（-3,0）,

故抛物线方程为/=32（x+3）.

故答案为：必=32（x+3）

3.（23-24高三上•山东滨州•期末）抛物线的光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行抛物线

对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物

线C:/=4y,O为坐标原点，一束平行于y轴的光线4从点尸（4,间射入，经过C上的点，（国,乂）反射后,

再经过C上另一个点2（%,%）反射，沿直线射出，经过点。，则（）

A.%为=4

C.延长NO交直线了=-1于点。，则。，B,。三点共线

41

D.若PB平分N4B。，贝!|加=—

4

【答案】BCD

75

【分析】设出直线/尸方程，联立后得出两点纵坐标关系后可判断A；由选项A求出点B可得亍可判

断B；结合题意求得。（-由2瓦。的横坐标相同得2昆0三点共线可判断C；由尸3平分480,根

据平面几何的知识可证得|以|=|/4，可判断D.

【详解】对于A,由题意点肛=Xp=4W=4"=16,解得”=4,即点/（4,4）,

抛物线焦点尸（0,1），

所以直线/尸的方程为kl=7-x,即尸9+1,

4-04

将其代入C:/=4y可得4丁-17了+4=0,

由韦达定理可得到外%=1,故A错误；

对于B,由知％%=1，因为乂=4,所以%=：，

代入＞=：x+l可得]=：工2+1，解得：%=一1,所以，一1,口，

444I4J

20

所以以同=/4-（_1）『+14-；]=席=],故B正确；

对于C,易得/O的方程为〉=龙，联立|j=_i，故。

又20//y轴，所以2瓦。三点的横坐标都相同，则2民。三点共线，故C正确;

对于D,若P8平分N/3。，所以443尸=/尸3。，

又因为尸/〃了轴，8。//y轴，所以口〃8。，故/APB=NPBQ,

”95

所以ZAPB=/4BP,则|尸旬=|/同，故|/a=亍，|尸/|=俏-4=亍,

IX好题冲关