原函数与导函数混合还原（学生版）-2025高考数学一轮复习讲义

第19讲原函数与导函数混合还原

知识梳理

1、对于矿(x)+/(x)>0(<0),构造g(x)=「./(x),

2、对于4'(幻+妙(%)〉。(<0),构造g(%)=f•/(%)

3、对于x-/'(x)-/(x)>0(<0),构造g(x)=Z8,

X

4、对于x-/(x)-0Xx)>°(<0),构造8(刈=午

5、对于八x)+〃x)>0(<0),构造g(x)=eJ/(x),

6、对于/'(x)+mx)>o(<0),构造g(x)=*•〃>)

7、对于"x)-/(x)>0(<0)，构造g(x)=卒，

ex

8、对于八x)-饮x)>0(<0),构造g(x)=1g

e

9、对于sin%・/'(x)+cosx・/a)>0(<0),构造g(x)=/(%)•sinx,

10、对于sinx・/'(x)-cosx•/(%)>0(<0),构造g(x)=

sinx

11、对于cosx・7'(%)-sinx・/(x)>0(<0),构造g(x)=/(x)・cosx,

12、对于cosx，/'(x)+sinx•/(%)>0(<0),构造g(x)=

cosx

13、对于/(%)-/(%)>>(<0),构造g(x)=*/(x)—口

14、对于/'(x)lnx+£(2>0(<0),构造g(x)=lnx・/(x)

15、f\x)+c=[/(x)+cx]f；f(x)+g\x)=[/(x)+g(x)了；f\x)-gf(x)=[/(x)-g(x)了；

/'(x)g(x)—/(x)g'(x)

16、ff(x)g(x)+/(x)gr(x)=[/(x)g(x)]f;

g2(%)

必考题型全归纳

题型一：利用//(%)构造型

例L（安徽省马鞍山第二中学2024学年高三上学期10月段考数学试题）已知/&）的定义

域为（0,+¥）,八幻为/（x）的导函数，且满足/（x）＜-M'（x）,则不等式

+的解集是（）

A.（0,1）B.（2,+¥）C.（1,2）D.（1,+¥）

例2.（河南省温县第一高级中学2024学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数;'（x）

的定义域为（0,+8）,且满足了"）+4（x）＞0（#（x）是/'（x）的导函数），则不等式

（》-1）/任一1）＜〃X+1）的解集为（）

A.（一叫2）B.。,+⑹C.（1,2）D.卜1,2）

例3.（黑龙江省大庆实验中学2024届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知

函数“X）的定义域为（0,+功，/⑺为函数”X）的导函数，若x2〃尤）+犷（x）=l,〃1）=0,

则不等式/（2、-3）＞0的解集为（）

A.（0,2）B.（log23,2）C.（log23,+（»）D.（2,+oo）

变式1.（2024届高三第七次百校大联考数学试题（新高考））已知定义在R上的偶函数

y=/（x）的导函数为y=/'（x），当x＞0时，矿3+/＞）＞0,且"2）=1,则不等式

X

7

/（2x-l）＜-~；的解集为（）

2x—1

|,+8

B.

D.

变式2.（四川省绵阳市盐亭中学2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知定义在（0,+8）

o3

上的函数/（%）满足坷（x）+x2/（x）vo,/（2）=；,则关于X的不等式/（、）〉？的解集为

()

A.（0,4）B.（2,+co）C.（4,+oo）D.（0,2）

变式3.(河南省豫北重点高中2024学年高三下学期4月份模拟考试文科数学试题)已知函

数/(x)的定义域为(0,+。)，其导函数是7'(x),且2〃x)+矿(x)>x.若〃2)=1,则不

4

等式3〃耳7-蓝>0的解集是()

A.(0,2)B.(2,+8)

CD.“

变式4.(广西15所名校大联考2024届高三高考精准备考原创模拟卷(一)数学试题)已

知/(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为义(尤),/(-1)=4,且3/(x)+女，(x)>3,则不等

3

式〃x)<l+W的解集为()

x

A.(-^,-l)u(l,+»)B.(-l,0)U(0,l)C.(0,1)D.(1,+s)

【解题方法总结】

1、对于切''(x)+/(x)>0(<0),构造g(x)=x・/(x),

2、对于+4f(x)>0(<0),构造g(x)=x'./(x)

题型二：利用但构造型

X”

例4.(河南省信阳市息县第一高级中学2024学年高三上学期9月月考数学试题)已知定义

在(0,+¥)的函数“X)满足：Vxe(O,+⑹J(x)-必■'(x)<0,其中7%)为〃x)的导函数,

则不等式(2》-3)〃》+1)>(》+1)〃2X-3)的解集为()

A.B.(4,+8)

C.(-1,4)D.(-<»,4)

例5.已知定义域为｛冲#0｝的偶函数於)，其导函数为/(x),对任意正实数x满足犷Xx)>4(x),

若g(x)=£单，则不等式g(x)<g(l)的解集是()

X

A.(-00,1)B.(-1,1)

C.(-co,0)U(0,l)D.(-l,0)U(0,l)

例6.(江苏省苏州市2024届高三下学期3月模拟数学试题)已知函数/(x)是定义在E上

的奇函数，/(2)=0,当x>0时，有力'(X)-/(力>0成立，则不等式切(另>0的解集是

()

A.(-co,-2)u(2,+co)B.(-2,0)u(2,+oo)

C.(-oo,-2)u(0,2)D.(2,+8)

变式5.(西藏昌都市第四高级中学2024届高三一模数学试题)已知函数/(x)是定义在

(一卜,0)(0，+)的奇函数，当xe(O,+8)时,xf,(x)</(x),则不等式

V(2-x)+(x-2)/(5)<0的解集为()

A.-3)u(3,+co)B.(-3,0)口(0,3)

C.(-3,O)u(O,7)D.(-00,-3)u(2,7)

【解题方法总结】

1、对于x-7'(x)-/(x)>0(<0),构造g(x)=/°),

2、对于x•/'(>)-批(x)>0(<0),构造g(x)=§

题型三：利用e〃V(x)构造型

例7.(河南省2024学年高三上学期第五次联考文科数学试题)已知定义在R上的函数/(X)

满足/(x)+/'(无)>0,且有"3)=3,则/(无)>3e3r的解集为()

A.(3,+oo)B.(l,+oo)C.(-oo,3)D.(-oo,l)

例8.(河南省2024学年高三上学期第五次联考数学试题)已知定义在R上的函数/(x)满

1］1-X

足旷仁)+/。)>0,且有/(1)=5,贝”的解集为()

A.(-℃,2)B.。,+8)

C.(-℃,1)D.(2,+oo)

例9.(广东省佛山市顺德区北洛镇莘村中学2024届高三模拟仿真数学试题)已知/'(x)是

函数y=/(x)(xeR)的导函数，对于任意的尤eR都有r(x)+/(x)>l,且“0)=2023,

则不等式e"(x)>e'+2022的解集是()

A.(2022,+co)B.(-a?,0)U(2023,+«?)

C.(-oo,0)U(0,+co)D.(0,+co)

变式6.(宁夏吴忠市2024届高三一轮联考数学试题)函数/(x)的定义域是R,/(0)=2,

对任意xeR,f(x)+/'(x)>l,则不等式：廿・/")>6'+1的解集为()

A.尤>0}B.{x|x<0}

C.{尤［x<-l或x>l}D.{尤［x<-l或0<x<l}

【解题方法总结】

1、对于f'(x)+/(x)>0(<0),构造g(x)=eJf(x),

2、对于f'(x)+kf(x)>0(<0),构造g(x)=/•/(x)

题型四：用华构造型

例10.(安徽省六安市第一中学2024学年高二下学期期末数学试题)定义在(-2,2)上的函数

/⑴的导函数为/'(x),满足：/(x)+e4x/(-x)=0,〃l)=e2,且当x>0时，八x)>2/(尤)，

则不等式e2，/（2-x）＜e4的解集为（）

A.（1,4）B.（-2,1）C.（1,+℃）D.（0,1）

例11.（广东省汕头市2024届高三三模数学试题）己知定义在尺上的函数/（x）的导函数为

尸（x）,且满足“x）-/（x）＞0,/（2O21）=e2021,则不等式＜喘的解集为（）

A.（e2021,+oo）B.（0,e2021）C.（e2021\+oo）D.（0,e皿）

例12.（陕西省安康市2024届高三下学期4月三模数学试题）已知函数/（x）的定义域为R,

且对任意xeR,〃x）-/'（x）＜0恒成立，则eV（x+l）＞e4〃2x-3）的解集是（）

A.（4,+oo）B.（-1,4）

C.（一叫3）D.（-«,4）

变式7.（新疆克拉玛依市2024届高三三模数学试题）定义在R上的函数Ax）的导函数为

/'（无），=对于任意的实数x均有ln3./（x）＜/G）成立，且＞=/（x-；）+i的图像关

于点（g,1）对称，则不等式“X）-3-＞0的解集为（）

A.（1,+oo）B.（-1,+oo）C.（一8,-1）D.（—00,1）

变式8.（浙江省绍兴市新昌中学2024届高三下学期5月适应性考试数学试题）若定义在R

上的函数/（X）的导函数为/（X）,且满足/（无）＞/（尤）J（2022）=e2°22,则不等式

/（Jnx]＜近的解集为（）

A.（0,e6066）B.（0,e2022）

6066

C.（泮2,+动D.（e,+oO）

变式9.（吉林省长春市吉大附中实验学校2024学年高三上学期第四次摸底考试数学试题）

设/'（X）是函数/（x）的导函数，且/''（x）＞3〃x）（xeR）,=e（e为自然对数的底数）,

则不等式/(lnx)<x3的解集为()

A.卜,；］B.C.(0,&)D.(泥,+(»)

变式10.(四川省绵阳市南山中学2024学年高三二诊热身考试数学试题)已知定义在R上

的可导函数〃x)的导函数为广⑺，满足号(x)</(x),且/(-x)=/(2+x),/(2)=1,

则不等式/(x)<e"的解集为()

A.(-oo,2)B.(2,+oo)C.(1,+℃)D.(0,+“)

变式11.(山东省烟台市2024届高三二模数学试题)已知函数/(')的定义域为R,其导函

数为了'(X),且满足/'(x)+/(x)=e：/(0)=0,则不等式(e「l)/(x)<eT的解集为

变式12.(江西省九江十校2024届高三第二次联考数学试题)设函数/⑸的定义域为R,

其导函数为了'(x),且满足〃x)>/'(x)+l,/(0)=2023,则不等式「"&)>b+2022(其

中e为自然对数的底数)的解集是()

A.(2022,小)B.(F,2023)C.(0,2022)D.(一心0)

【解题方法总结】

1、对于尸(x)-/(x)>0(<0),构造g(x)=华，

ex

2、对于"x)-Qx)>0(<0),构造g(x)=』g

e

题型五：利用sinx、tanx与/(x)构造型

例13.(江西省2024届高三教学质量监测数学试题)定义在区间『方看］上的可导函数/(x)

关于丁轴对称，当xe]o,1J时，r(x)cosx>/(x)sin(-x)恒成立，则不等式

的解集为(

7171

B.D.

4?3

例14.(天津市南开中学2024届高三下学期统练二数学试题)已知可导函数/(x)是定义在

兀71

上的奇函数.当时，/(x)+r(x)tanx>0,则不等式

2?2

cosx-/Ix+~l+sinx-/(-')〉。的解集为()

兀717171

A.2^6B.C.2，-4D.小

/TCTC\

例15.函数>=/(%)对任意的万,万)满足x+2/(x)+/'(x)sin2x=/T(其中/'(x)是函

数"X)的导函数)，则下列不等式成立的是()

变式13,已知可导函数/(%)是定义在7171上的奇函数.当T。多时,

252

/(x)+/'(x)tanx>0,则不等式cosx・/fx+-|-j+sinx•八-x)>0的解集为()

71717171

A.2，-6B.C.2^4D.4°

【解题方法总结】

1、对于sinx-/〈x)+cosx-/(x)>0(<0),构造g(x)=/(x)-sinx,

2、对于sinx-7'(x)-cosx"(x)>0(<0),构造g(x)="刈

sinx

3、对于正切型，可以通分(或者去分母)构造正弦或者余弦积商型

题型六：利用cosX与/(X)构造型

例16.(重庆市九龙坡区2024届高三二模数学试题)已知偶函数/(%)的定义域为封，

其导函数为了'(X),当0V尤<］时，有/'(尤)cosx+/(x)sinx>0成立，则关于x的不等式

)

例17.已知偶函数/⑴的定义域为其导函数为f'(x),当0<x<］时，有

f'(x)cosx+/(X)sinx<0成立,则关于X的不等式〃x)<•COSX的解集为(

例18.设函数/(%)在R上存在导数/'(X),对任意的xwR,有/(x)+/(-x)=2cosx,且

71

在［0,+8)上有/'(%)>—sin%,则不等式/⑴—f\x2cosx-sinx的解集是()

717171n

A.—00,—B.—,+ooC.—00,—D.—,+oo

4466

【解题方法总结】

1、对于cosx*7'(x)-sinx・/(x)>0(<0),构造g(x)=/(%)•cosx,

2、对于cosx・/'(x)+sinx・/(x)>0(<0),构造g(%)=

cosx

3、对于正切型，可以通分(或者去分母)构造正弦或者余弦积商型

题型七：复杂型：e〃与/(%)+恒(x)等构造型

例19.(广西柳州市2024届高三11月第一次模拟考试数学试题)已知可导函数/(%)的导函

数为/(X),若对任意的xsR,都有/(%)-/'(X)>1.且/(x)-2022为奇函数，则不等式

/(%)—20211>1的解集为()

A.(-oo,0)B.(0,+co)C.(-00,eD.(e,+oo)

例20.(河南省多校联盟2024届高考终极押题(C卷)数学试题)已知函数/(x)的导函数

为广(%),若对任意的XER,都有/(X)>/'(X)+2,且/⑴=2022,则不等式

/(x)—2020e'T<2的解集为()

A.(0,+“)B.[-。0，]C.(L+8)D.(-8,1)

例21.(2024届高三冲刺卷(一)全国卷文科数学试题)已知函数/(x)与g(x)定义域都为

R,满足〃尤)=(+l)g(x),且有g[x)+xg[x)-xg(x)<0,g⑴=2e,则不等式/(无)<4

ex

的解集为()

A.(1,4)B.(0,2)C.(-肛2)D.(1,+s)

变式14.(陕西省渭南市华州区咸林中学2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题)已

知定义在(-3,3)上的函数/(x)满足/(x)+e4"(r)=0,/(1)=e2,/(x)为/⑴的导函数，当

xe[0,3)时，r(x)>2/(x),则不等式e2"(2-x)<e4的解集为()

A.(-2,1)B.(1,5)C.(1,+8)D.(0,1)

变式15.(黑龙江省哈尔滨市第三中学2024学年高三上学期期中考试数学试题)设函数A©

在R上的导函数为/(x),若/'(x)>〃x)+l,/(x)+/(6-x)=2,/(6)=5,则不等式

/(龙)+2/+1<0的解集为()

A.SO)B.(0,+»)C.(0,3)D.(3,6)

变式16.(新疆新源县第二中学2024学年高二下学期期末考试数学试题)定义在R上的函

数/(x)满足：/(x)+/'(x)>l,/(0)=4,则不等式e"(x)>靖+3的解集为()

A.(0,+¥)B.(―oo,0)U(3,+00)

C.(—oo,0)u(0,+oo)D.(3,+oo)

变式17.(陕西省西安市西北工业大学附属中学2024届高三下学期第十二次适应性考试数

学试题)定义在我上的函数“X)满足/'(幻-2〃力-8>0,且〃0)=-2,则不等式

〃x)〉2eZ-4的解集为()

A.(0,2)B.(0,+oo)C.(0,4)D.(4+8)

【解题方法总结】

对于/(<0),构造8(刈=/[/。)-旬

题型八：复杂型：(依+6)与/*)型

例22.(专题32盘点构造法在研究函数问题中的应用一备战2022年高考数学二轮复习常考

点专题突破)已知定义在尺上的函数/(x)满足/(2+x)=/(2-x),且当x>2时，有

矿(x)+/(x)>2-(x),苟■⑴=1,则不等式—的解集是()

x—2

A.(2,3)B.(-甩1)

C.(l,2)u(2,3)D.(F,1)"3,+8)

例23.(辽宁省实验中学2024届高三第四次模拟考试数学试卷)已知函数/(x)是定义在R

上的可导函数，其导函数为/'(x),若对任意xeR有//(l+x)+/(l-x)=0,且

〃0)=-2,则不等式的解集为()

A.(4,+oo)B.(3,+oo)

C.(2,+oo)D.(0,+0

例24.(山东省泰安肥城市2024届高三下学期5月高考适应性训练数学试题(三))定义在

(1，+¥)上的函数/(x)的导函数为/(x),且(x-l)/'(x)—/(X)>/一2x对任意xe(1,+⑹恒成

立.若〃2)=3,则不等式/(x)>x2-x+i的解集为()

A.(1,2)B.(2,+co)

C.(1,3)D.(3,+00)

【解题方法总结】

写出y=履+6与y=/(x)的加、减、乘、除各种形式

题型九：复杂型：与ln(fcv+6)结合型

例25.(2024届高三数学临考冲刺原创卷(四))已知函数/(x)的定义域为(0,+8),导函

数为/'(X)，且满足/(x)lnx>0,则不等式/(x-2020)ln(x-2020)<0的解集为()

A.(-co,2020)U(2021,+oo)B.(0,2021)

C.(2020,2021]D.(2021,2022]

例26.(华大新高考联盟2024届高三3月教学质量测评文科数学试题)已知函数/(x)的定

义域为R,图象关于原点对称，其导函数为尸⑺，若当x>0时〃x)+xlnx.r(x)<0,则

不等式4叫/(x)>"(x)的解集为()

A.(-co,-l)u(0,+oo)B.(-l,0)u(0,+oo)

C.(-a>,-l)u(O,l)D.(-l,0)u(l,+co)

例27.(2024届高三数学新高考信息检测原创卷(四))已知/(x)是定义在7?上的奇函数,

/个)是“X)的导函数，且/'(x)ln(2x)+W<0,则不等式

(/_x-2)/(x)>0的解集是()

A.(-00,-l)u^0,^u(2,+co)B.(-l,0)ug,2)

C.(-1,0)。(2,+8)D.(-<»,-l)u(O,2)

变式18.(广东省梅州市2024届高三二模数学试题)已知/(x)是定义在R上的奇函数，

/'(X)是/(x)的导函数，当x>0时，/，(x)ln(2x)+#>0,且/g”。，则不等式

(x-2)/(x)<0的解集是()

A.(-oo,0)o(0,2)B.(0,2)C.(2,+oo)D.(-oo,0)u(2,+co)

变式19.定义在(0,+⑹上的函数“X)满足#'(》)+1>0,/■⑵=Ing,则不等式

/(ex)+x>0的解集为()

A.(0,21n2)B.(0,ln2)C.(In2,l)D.(In2,+oo)

【解题方法总结】

1、对于/'(x)Inx+〉0(<0),构造g(x)=In%•/(%)

x

2、写出y=ln(fcr+6)与y=/(x)的加、减、乘、除各种结果

题型十：复杂型：基础型添加因式型

例28.(辽宁省名校联盟2024届高考模拟调研卷数学(三))己知函数/(x)为定义在R上

的偶函数，当了«0,y)时，f'(x)>2x,"2)=4,贝|不等式好'G一1)+2/>/+工的解集

为()

A.(-1,0)u(3,+®)B.(-l,l)U(3,+a>)

C.(-8,-l)U(O,3)D.(-1,3)

例29.定义在R上的函数/(x)满足〃尤)-/(尤)+/<0(e为自然对数的底数)，其中/(尤)

为/'(x)的导函数，若/(3)=3e3,则/(x)>xe”的解集为()

A.(-a),2)B.(2,+co)

c.y,3)D.(3,+oo)

例30.定义在R上的函数〃x)满足/仁)-2〃x)-6<0,且〃l)=e2-3,则满足不等式

/3>62,一3的工的取值有()

A.-1B.0C.1D.2

变式20.已知在定义在R上的函数〃x)满足/(x)-〃r)-6x+2sinx=0,且x20时,

/(x"3-cosx恒成立，则不等式叱-31+6丫+圆051咛)的解集为()

，八兀](兀

A.0qB,C,-co,-D.

【解题方法总结】

在本题型一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度

题型十一：复杂型：二次构造

例31.(福建省福州第一中学2024学年高二下学期期中考试数学试题)函数/(x)满足:

；//(x)+//<x)=&,则当x>0时，八X)()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，也无极小值

例32.(江西省百所名校2024学年高三第四次联考数学试题)已知函数/(x)的定义域为

L-114

(1,+8),其导函数为/'(x),"+2)[2/(尤)+才(无)]<切口)对丁€(1,+8)恒成立,且〃5)=石,

则不等式(尤+3『/(x+3)>2x+10的解集为()

A.(1,2)B.(-双2)C.(-2,3)D.(-2,2)

例33.(河南省濮阳市2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题)已知函数/(x+1)为定

义域在R上的偶函数，且当x21时，函数满足4。)+2/卜)=与，/(&)=£,

则4炉(x)<l的解集是()

A.(也,+ooB.^2-Ve,Ve)

C.(-oo,2-e)u(e,+oo)D.(2-e,e)

变式21.(宁夏平罗中学2024届高三上学期第一次月考数学试题)已知定义在R上的连续

偶函数v=/(x)的导函数为了=/(x),当x>0时，/。)+号<0,且/(2)=-3,则不等式

〃2尤-1)<不7的解集为()

2x-l

A.B.

C.g+fD.

变式22.(江西省九江市2024届高三三模数学(理)试题)已知/(x)是定义在(0,+。)上的

可导函数,尸⑺是〃x)的导函数,若停(x)+/尸卜)=靖,/(l)=e,则/(x)在(0,+同上

()

A.单调递增B.单调递减C.有极大值D.有极小值

变式23.(湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024学年高二下学期期中理

科数学试题)定义在(0,+动上的函数〃x)满足切'(x)+〃x)=x21nx,且/⑶=一(,

则()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

变式24.(福建省泉州市2024学年高二下学期期末教学质量跟踪监测数学(理)试题)设

函数/(x)满足：矿(x)+2/(x)=xe=/(1)=j,则x>0时，〃尤)()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，又无极小值

变式25.(辽宁省大连市中山区第二十四中学2024学年高三上学期11月月考数学试题)函

数“X)满足：2e"(x)+e"，(x)=6,/(1)=^=.则x>0时，/(x)

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，也无极小值

-TT

变式26.设函数/(x)的导数为/(X),且〃尤)+xe'=犷'(x),/(2)=-y,则当

x>0时，f(x)

A.有极大值，无极小值B.无极大值，有极小值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值

【解题方法总结】

二次构造：/(x)x-=-/*(x)±g(x),其中r(x)=x",e",sinx,cosx等

题型十二：综合构造

例34.(福建省泉州市泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校2024学年高二下学期期

中联考数学试题)已知函数Ax)在R上可导，其导函数为/(x),若/(X)满足

f>0,y=43关于直线x=l对称，则不等式的解集是()

A.(-1,2)B.(1,2)

C.(-l,0)U(l,2)D.(F,0)U(1,+S)

例35.(贵州省铜仁市2024届高三适应性考试数学试题(一))已知定义在R上的函数/(无),

尸⑺为其导函数,满足①/(%)=/(-x)-2x,②当x20时，/'(x)+2x+l".若不等式

/(2x+l)+3x2+3x>/(x+l)有实数解，则其解集为()

2B.(-8,0)u(g,+8

A.—00,------