高中数学《平面向量的运算》教学设计

《平面向量的运算》教学设计教材分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学目标与核心素养课程目标1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。数学学科素养1.数学抽象：数量积相关概念的理解；2.逻辑推理：有关数量积的运算；3.数学运算：求数量积或投影；4.数学建模：从物理问题抽象出数学模型，数形结合，运用数量积解决实际问题.教学重难点重点：平面向量数量积的含义与物理意义；难点：平面向量数量积的概念.课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程情景导入问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？问题2：两个向量之间能进行乘法运算吗？物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本17-21页，思考并完成以下问题1、怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？2、向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？3、向量数量积的性质有哪些？4、向量数量积的运算律有哪些？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1、向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作=a，=b，∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a与b的夹角。当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向；当θ=90°时，a与b垂直，记作a⊥b。规定：零向量可与任一向量垂直。2、射影的概念叫作向量b在a方向上的射影。注意：射影也是一个数量，不是向量。3、数量积的定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量︱a︱·︱b︱叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b=︱a︱·︱b︱注意a∙b不能写成a×b或ab的形式数量积的几何意义：数量积a∙b等于a的长度︱a︱与b在a方向上投影的乘积，或b的长度b与a在b方向上投影的乘积。数量积的物理意义：力F与其作用下物体位移s的数量积4、向量数量积的性质123特别地：a∙a=45|a∙b|≤a5、运算定律：已知向量a、b、c和实数λ，则：(1).交换律：a·b=b·a(2).数乘结合律：（）·b=λ（a·b)=a·（）(3).分配律：（a+b）·c=a·c+b·c四、典例分析、举一反三题型一数量积的基本运算例1已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.【答案】①a·b=－10.②a·b＝0.③a·b＝5eq\r(3).【解析】①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°.∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10.若a与b反向，则它们的夹角为180°.∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.②当a⊥b时，它们的夹角为90°.∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.③当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos30°＝2×5×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3).解题技巧（向量数量积的运算方法）(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)注意共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝90°，三种特殊情况．

跟踪训练一1、已知点A，B，C满足|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up16(→))|＝5，则eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))的值是________．【答案】－25．【解析】如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝eq\f(π,2)，cosA＝eq\f(3,5)，cosC＝eq\f(4,5)，∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×eq\f(4,5)－15×eq\f(3,5)＝－25.题型二数量积的几何意义例2已知|a|＝6，e为单位向量，当它们之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求出a在e方向上的投影，并画图说明．【答案】见解析【解析】如下图所示，当θ＝45°时，a在e方向上的正投影的数量为3eq\r(2)；当θ＝90°时，a在e方向上的投影的数量为0；当θ＝135°时，a在e方向上的投影的数量为－3eq\r(2).∴|a|·cos45°＝3eq\r(2)，|a|·cos90°＝0，|a|·cos135°＝－3eq\r(2).解题技巧：(向量投影的注意事项)(1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角)，也可以写成eq\f(a·b,|a|).(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．跟踪训练二1、已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6.(1)向量a在向量b方向上的投影为________．(1)向量b在向量a方向上的投影为________．2、在边长为2的正三角形ABC中，eq\o(AB,\s\up16(→))在eq\o(BC,\s\up16(→))方向上的投影为______．【答案】1、(1)－322、－1.【解析】1、（1）a∙bb=-32a∙b2、AB题型三向量的混合运算例3(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a-3b)=_____________．(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝________．【答案】（1）-72.（2）2.【解析】(1)(a＋2b)·(a-3b)＝a·a-a·b-6b·b＝|a|2-a·b-6|b|2＝|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2＝62-6×4×cos60°-6×42＝-72.（2）eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))))·(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\o(AD,\s\up16(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))2＝22－eq\f(1,2)×22＝2.解题技巧（向量混合运算注意事项）(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．跟踪训练三1.已知两个单位向量e1，e2的夹角为eq\f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．2．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.【答案】1、-6.2、2．【解析】1、由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝eq\f(1,2)，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3eeq\o\al(2,1)－2e1·e2－8eeq\o\al(2,2)＝3－2×eq\f(1,2)－8＝－6.2、因为b·c＝0，所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)·b2＝0，又因为|a|＝|b|＝1，a，b的夹角为60°，所以eq\f(1,2)t＋1－t＝0，所以t＝2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计6.2.46.2.4向量的加法运算第一课时向量的数量积