高中数学《直线的一般式方程》教案

2.2.3直线的一般式方程教学设计课题直线的一般式方程单元第二单元学科数学年级高二教材分析由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式.教学目标与核心素养教学目标1理解直线方程的一般形式，掌握直线方程五种形式之间的互化.2理解直线与二元一次方程的对应关系，理解直线方程的一般式的特点核心素养1通过学习直线的一般式方程，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想2提高学生多向思维能力和科学严谨的学习态度，并树立事物在一定条件下转化的辩证观点重点直线方程的一般形式及直线方程五种形式之间的互化.难点直线与二元一次方程的对应关系.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课提出问题观察下列直线方程：直线l1：y－2＝3(x－1)；直线l2：y＝3x＋2；直线l3：eq\f(y－2,3－2)＝eq\f(x－1,4－1)；直线l4：eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1.问题1：上述直线方程的形式分别是什么？提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式．问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax＋By＋C＝0的形式吗？提示：能．问题3：二元一次方程Ax＋By＋C＝0都能表示直线吗？提示：能．问题导入学生思考并作答复习旧知识，为新知识的引入做好准备，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到，都是二元一次方程讲授新课观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于x,y的二元一次方程.直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题.思考平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗？任意一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线吗？先看问题（1）.任意一条直线l，在其上任取一点P0x0,y0，当直线l的斜率为y这是关于x,y的二元一次方程.当直线l的斜率不存在时，即直线l的倾斜角α=90x上述方程可以认为是关于x,y的二元一次方程，因为此时方程中的y的系数为0.方程y-y0=kx-x0和x-反之，对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)，如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线.当B≠0时，方程Ax+By+Cy=-它表示过点（0，-CB）当B=0时，A≠0方程Ax+By+C它表示过点（-CA，0）由上可知，关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.探究在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：=1\*GB3①平行于x轴？=2\*GB3②平行于y轴？=3\*GB3③与x轴重合？=4\*GB3④与y轴重合？=5\*GB3⑤经过坐标原点？Ax+By+C=0（A、B不同时为零）ABC方程图形特征A=0B≠C=0y=0x轴Cy与x轴平行AB=0C=0x=0y轴Cx与y轴平行ABC=0y过原点的直线思考：直线方程的一般式化成另外四种形式需要哪些要求？提示：直线方程Ax+By+C=0（A、B不同时为零）化成点斜式和斜截式需要满足条件B≠0化成两点式需要满足条件AB≠0化成截距式需要满足条件ABC≠例5已知直线经过点A（6，-4），斜率为-43解：经过点A（6，-4），斜率为-43y+4=-4化为一般式，得4x+3y-12=0.例6把直线l的一般式方程x-2y+6=0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.分析：求直线l在x轴上的截距，即求直线l与x轴交点的横坐标，只要在直线l的方程中令y=0即可得x的值.解：把直线l的一般式方程化为斜截式y因此，直线l的斜率k=12，它在y在直线l的方程x-2y+6=0中，令y=0，得x=-6即直线l在x轴上的截距是-6.由上面可得直线l在x轴、y轴的交点分别为A（-6，0），B（0，3），过A，B两点作直线，就得直线l.如图所示结合例6，我们可以从几何角度看一个二元一次方程，即一个二元一次方程表示一条直线.在代数中，我们研究了二元一次方程的解，因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线.平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，这是笛卡尔的伟大贡献.在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示.课堂练习：1根据下列条件分别写出直线方程，并化为一般式方程.直线的斜率为2，且经过点A（1，3）；斜率为3，且在y轴上的截距为4；经过两点A（2，-3），B（-1，-5）；在x,y轴上的截距分别为2，-4.解：（1）由直线的点斜式方程可得y-3=2(x-1)整理得2x-y+1=0,所以直线的一般式方程为2x-y+1=0.(2)由直线的斜截式方程可得y整理得一般式方程为3(3)由直线的两点式方程可得y整理得一般式方程为2x-3y-13=0(4)由直线的截距式方程可得x整理得一般式方程为2x-y-4=02设直线l的方程为m根据下列条件确定m的值：（1）直线l在x轴上的截距为-3.（2）直线l的倾斜角为135°解：（1）由题意可得m由=1\*GB3由=2\*GB3②可得m=3或所以m（2）直线l的斜率k由题意可得2所以m所以m=-2.注：把直线方程的一般式Ax+By+C=0化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是B=0时，斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式。要学会直线方程的一般式与特殊形式之间的相互转化，在求直线方程时，并不一定要设一般式，根据题目条件选择恰当的形式，但最终结果一般要用一般式方程来表示.3若kxy-x+6y-3=0表示两条直线，则实数k的值为（）A．3B.2C.1D.0答案B解：因为kxy-x+6y-3=0表示两条直线所以kxy-x+6y-3=(ax+b)(cy+d)=acxy+adx+bcy+bd其中abcd所以k=ac,ad=-1,bc=6,bd=-3不妨令d=1,则b=-3,c=-2,a=-1,k=24(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？解：(1)法一：由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0，①当m＝0时，显然l1与l2不平行．②当m≠0时，l1∥l2，需eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2).解得m＝2或m＝－3.∴m的值为2或－3.法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2，∴m的值为2或－3.(2)法一：由题意，l1⊥l2，①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直．②若2a＋3＝0，即a＝－eq\f(3,2)时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－eq\f(a＋2,1－a)，k2＝－eq\f(a－1,2a＋3)，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a＋2,1－a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a－1,2a＋3)))＝－1，所以a＝－1.综上可知，当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2.法二：由l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.将a＝±1代入方程，均满足题意．故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.规律：1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.5已知直线l的方程为x-y+b=0(b∈R)则直线l答案：45解：因为直线l的方程为x-y+b=0(b所以其斜率为1，即tanα=1(α由α∈[0,π启发学生探究分类讨论时，常按和α=90使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响使学生理解直线与二元一次方程的关系引导学生回顾前面所学过的与x轴平行和重合、与y轴平行和重合的直线的形式。然后由形式自主探索得到问题的答案板书：同一坐标系下的各种特殊直线Ax+By+C=0（A、B不同时为零）简单解释为什么A、B不同时为0？习题巩固课堂小结直线方程的几种形式直线名称条