2024-2025学年安徽省耀正优联考高二年级（上）期末学情检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年度安徽省耀正优高二年级（上）期末学情检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线l:x−3y−1=0的倾斜角为A.π6 B.π3 C.2π32.已知点P是椭圆C:x28+y27=1上一点，F1A.7 B.22 C.23.已知等差数列{an}中，a2=8，aA.12 B.1 C.−1 D.4.已知空间向量a=(3,1,z)，b=(−1,0,2)，c=(0,1,1)，若向量a，b，c共面，则实数z的值为A.−7 B.−5 C.−3 D.−15.已知点(2,0)在圆x2+y2−2mx+4y+8=0的外部，则实数A.(−∞,3) B.(3,+∞)

C.(−∞,−2)∪(2,3) D.(−∞,−2)∪(2,+∞)6.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5=4，A.12 B.14 C.16 D.187.已知O为正方形ABCD的中心，E，F分别为BC，AD的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A−BD−C的大小为45∘，则此时cos∠EOF的值为(

)A.−14 B.−13 C.8.已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足∠AFB=2π3，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为d1，dA.233 B.3 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.记等比数列{an}的前n项积为Tn，且a6，a7∈NA.4 B.5 C.6 D.710.已知实数x、y满足方程x2+y2A.yx的最大值为3 B.yx的最小值为0

C.x2+y211.已知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2A.C的离心率为2

B.若AF1⊥x轴，则|AF1|=3

C.若B(0,2)，则|AB|+|AF2|的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线l1:x+4y−2=0与直线l2:x+m2y+m=013.在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB=AD=2AA1=2，点E，14.若数列{an}满足1an+1−1an=d(n∈N∗,d为常数)，则称数列{四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知圆心为C的圆经过O(0,0)，M(4,0)，N(−2,2)三点．(1)求此圆的标准方程;(2)求直线x−y−2=0被此圆截得的弦长．16.(本小题15分)记Sn为数列{an}的前(1)求{an(2)设bn=2n⋅an，求数列{bn17.(本小题15分)

如图，三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，M为AC的中点，AB=BC=2，AP=BP=3．

(1)求证：AB⊥PM;(2)求平面PBM与平面PBC夹角的余弦值．18.(本小题17分)已知动点P与两定点A(2,0)，B(−2,0)连线的斜率之积为−14，记P的轨迹为曲线(1)求点P的轨迹E的方程;(2)设点F(−3,0)，点N((3)过点M(3,0)作直线l交曲线E于C、D两点，连接AC、BD交于点G.证明：点G在定直线上．19.(本小题17分)

已知在抛物线C:y2=2px(p>0)上有一系列点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，⋯，Pn(xn,yn)，n∈(1)求抛物线C的方程;(2)求数列{an(3)若bn=132参考答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.C

6.A

7.D

8.A

9.AB

10.ACD

11.ABD

12.2

13.2114.215.解：(1)由题知圆心C在线段OM的垂直平分线上，故设圆心C为(2,y)．

又|OC|=|CN|，即22+y2=(2+2)2+(y−2)2，解得y=4，

所以圆心C为(2,4)，半径r=25，

所以圆C的方程为：(x−216.解：(1) n= 1时，a1=S1=1;

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−1−(2n−1−1)=2n−1．

当n=1时，a1=17.解：(1)取AB中点N，连接PN，MN，则MN/​/BC，而AB⊥BC，故MN⊥BA．

因为PA= PB，所以PN⊥AB．

又MN∩PN=N，MN，PN⊂平面PMN，

所以AB⊥平面PMN．

因为PM⊂平面PMN，所以AB⊥PM．

(2)因为平面PAB⊥平面ABC，PAB∩平面ABC=AB，PN⊥AB，所以PN⊥平面ABC．

因为MN⊂平面PMN，所以PN⊥MN，故PN，AB，MN两两垂直，

以N为原点，AB，MN，PN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则N(0,0,0)，A(−1,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,22)，M(0,1,0)，C(1,2,0)，

BM=(−1,1,0)，BC=(0,2,0)，PB=(1,0,−22)，PC=(1,2,−22).

设平面PBM的法向量为m=(x,y,z)，

则m⋅BM=0,m⋅PB=0,即−x+y=0,x−22z=0,取z=1，则m=(22,22,1)18.解：(1)设P(x,y)，则kPA=yx−2(x≠2)，kPB=yx+2(x≠−2)．

由kPA⋅kPB=−14，得yx−2⋅yx+2=−14，整理得x24+y2=1(x≠±2)，

故点P的轨迹方程E为x24+y2=1(x≠±2)．

(2)由(1)知点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中a=2，b=1，c=4−1=3，

故点F(−3,0)为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为F′(3,0)．

因为(3)24+(13)2<1，所以点N在椭圆内，

由椭圆的定义得|PN|+|PF|=|PN|+2a−|PF′|≤|NF′|+2a=13+4=133，

当P，N，F′三点共线(F′在线段PN上)时取等号，

所以|PN|+|PF|的最大值为133；

(3)设直线l的方程为x=ty+3，C(x1,y19.解：(1)P1(2p,2)，设抛物线C的焦点为F，

根据题意可知|P1F|=2p+p2=2，解得p=2，

所以抛物线C的方程为y2=4x．