人教版八年级数学常见题型专练：三角形全等的判定“角边角与角角边”（6种题型）（解析版）

第10讲三角形全等的判定“角边角与角角边”（6种题型）

因,【知识梳理】

一、全等三角形判定一一“角边角”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

要点诠释：如图，如果/A=N4,AB=A'B',ZB=ZB',则△ABC也△A'3'。.

二、全等三角形判定——“角角边”

1.全等三角形判定一一“角角边”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定

两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在△ABC和4ADE中，如果DE〃BC,那么/ADE=NB,ZAED=ZC,又/A=NA,但△ABC和4ADE不

全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

B----------------------------C

【考点剖析】

题型一：用“角边角"直接证明三角形全等

例1.如图，ZA=ZB,AE=BE,点D在AC边上，Z1=Z2,AE和BD相交于点0.

求证：△AECgZkBED；

B

E

【详解】；AE和BD相交于点0,

ZA0D=ZB0E.

在AAOD和△BOE中，

ZA=ZB,.\ZBE0=Z2.

又

.".Zl=ZBE0,

ZAEC=ZBED.

在AAEC和ABED中,

NA=NB

<AE=BE

ZAEC=ZBED

：.AAEC^ABED(ASA).

【变式1】如图，AB=AD,Z1=Z2,DA平分/BOE.求证：AABC%dADE.

【解答】证明：：/l=N2,

：.Z1+ZDAC=Z2+ZDAC,

：.ZBAC=ZDAE,

"：AB=AD,

：.ZADB=ZB,

'：DA平分/8DE.

NADE=NADB,

：.ZADE=ZB,

在△ABC和△ADE中，

ZADE=/B

AB=AD，

ABAC=/LDAE

.•.△AB&ZVWE(.ASA).

【变式2】如图，已知N1=N2,N3=N4,要证BC=CD,证明中判定两个三角形全等的依据是（）

C.边角边D.角角边

【分析】已知两角对应相等，且有一公共边，利用全等三角形的判定定理进行推理即可.

【解答】解：在△ABC与△ADC中,

=2

AC=AC，

Z3=Z4

贝!]△AB0ZVWC(ASA).

：.BC=CD.

故选：B.

【变式3】（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB//DE,AC//DF,BE=CF.求证：△

【解答】证明：；AB〃DE,

：.ZB=ZDEF,

"：AC//DF,

：.NACB=/F,

"：BE=CF,

：.BE+EC=CF+EC,

即BC=EF,

在△ABC和△0£下中,

/B=/DEF

JBC=EF，

i^ACB=ZF

:.AABC咨ADEF(ASA).

题型二：用“角边角”间接证明三角形全等

例2.如图，已知AB=CD,NA=ND.求证：AF=DE.

【详解】证明：

:"B=NC,

在△力郎和方中，

ZA=ZD

<AB=CD,

NB=NC

:.△AB&ADCE(4£4),

：.AF=DE.

【变式1】已知：如图，E,F在AC上，AD〃CB且AD=CB,ZD=ZB.求证：AE=CF.

【答案与解析】

证明：：AD〃CB

/.ZA=ZC

在4ADF与4CBE中

ZA=ZC

<AD=CB

ZD=ZB

/.△ADF^ACBE(ASA)

AAF=CE,AF+EF=CE+EF

故得：AE=CF

【变式2】如图，48=AC,ABLAC,ADLAE,且纸求证：BD^CE.

【详解】瓦LAGADVAE,

：.ZBAE+ZCAE^90Q,/BAE+NBAg9Q°,

：.ACAE=ABAD.

又AB=AC,/ABD=/ACE,

J.BD^CE.

【变式3】如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC=CD,作EDLBD交AC的

延长线于点E,垂足为点D.（DEWCD）

（1）线段的长度就是4B两点间的距离

（2）请说明（1）成立的理由.

【解答】解：（1）线段DE的长度就是A、8两点间的距离;

故答案为：DE；

(2)'：AB±BC,DE±BD

/ABC=NEDC=90°

又：NACB=/DCE,BC=CD

AABC^ZXCDE(ASA)

：.AB=DE.

【变式4】如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出/ABC的平分线BF,交AC于点F；然

后证明：当AD〃BC,AD=BC,NABC=2NADG时，DE=BF.

【答案与解析】

证明：VAD//BC,

/.ZDAC=ZC

：BF平分/ABC

ZABC=2ZCBF

,/ZABC=2ZADG

/CBF=/ADG

在ADAE与ABCF中

ZADG=ZCBF

<AD=BC

ADAC=AC

：.ADAE^ABCF(ASA)

；.DE=BF

【变式5】已知：如图,在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ.求证：HN=PM.

【答案】

证明：YMQ和NR是AMPN的高，

AZMQN=ZMRN=90°,

又：Nl+/3=/2+N4=90°,Z3=Z4

；.N1=N2

在△MPQ和△NHQ中，

Z1=Z2

<MQ=NQ

ZMQP=ZNQH

.,.△MPQ^ANHQ(ASA)

.\PM=HN

【变式6］如图，已知名.c=24m?,A。平分ZR4C,且ADLBD于点〃贝US.c=

【详解】解：如图，延长初交〃于点£,

「AO平分NBAC,ADLBD,

二ZBAD=/FAD,ZADB=ZADE=90°.

,?AD=AD,

.ADB^ADE(ASA).

BD=DE.

••S^ABD<?=q

=S&AED，2BCD~uECD•

即1Szl£zv=—S./1AZ5BVC•

2

•ABC=24m,

••^/\ADC=12m.

故答案为：12.

【变式7】(2022秋•苏州期中)如图，ZkABC中，AD是BC边上的中线，E,F为直线AD上的点，连接BE,

CF,且BE〃6.

(1)求证：ABDE注ACDF；

(2)若AE=13,AF=7,试求DE的长.

【解答】(1)证明：是BC边上的中线，

：.BD=CD,

；BE〃CF,

：.ZDBE=ZDCF,

^EASDfffACDF41,

，ZDBE=ZDCF

■BD=CD，

ZBDE=ZCDF

:.ABDE2ACDF(ASA)；

(2)解：'：AE=13,AF=7,

：.EF=AE-AF=13-7=6,

VABDE^ACDF,

DE=DF,

DE+DF=EF=6,

：.DE=3.

题型三：用“角角边”直接证明三角形全等

例3.如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD//BC,ZADC=ZACD,ZCED+ZB=180°.求

证：4ADE%LCAB.

：.AD^AC,

"."AD//BC,

：.ZDAE=ZACB,

VZCED+ZB=180°,ZCED+ZAED=180o,

/AED=NB,

在△ADE与△CA8中，

(ZDAE=ZACB

JZ.AED-Z.B'

Gw=AC

.,.△ADE丝△CAB(AAS).

【变式】(2022秋•泗阳县期中)王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂

直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,Z4CB=90°),点C在OE上，点八和B

【解答】(1)证明：由题意得：AC=BC,ZACB=90°,AD±DE,BE±DE,

：.ZADC=ZCEB=90°,

ZACD+ZBCE=90°,ZACD+ZDAC=90°,

：.ZBCE=ZDAC

fZADC=ZCEB

在△ADC和△CEB中，ZDAC=ZBCE>

AC=BC

...△AD0ACEB(A4S)；

(2)解：由题意得：AD=2X3=6(cm),BE=7X2=14(cm),

△ADCQ^CEB,

.\EC=AD=6cm,DC=BE=14cmf

:,DE=DC+CE=20(cm),

答：两堵木墙之间的距离为20cm.

题型四：用“角角边”间接证明三角形全等

例4、已知：如图，AB±AE,AD±AC,ZE=ZB,DE=CB.求证：AD=AC.

【答案与解析】

证明：VAB±AE,AD±AC,

.".ZCAD=ZBAE=90°

AZCAD+ZDAB=ZBAE+ZDAB,即NBAC=/EAD

在ABAC和AEAD中

ZBAC=ZEAD

<ZB=ZE

CB=DE

.,.△BAC^AEAD(AAS)

AAC=AD

【变式】已知：如图，ZACB=90°,AC=BC,CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AELCD、

BFLCD,垂足为E、F,求证：CE=BF.

【答案与解析】

证明：•••AE±CD,BFLCD

ZAEC=ZBFC=90°

ZBCF+ZB=90°

•：ZACB=9Q°,

：.ZBCF+ZACF=90°

：.ZACF=ZB

在ABCF和AG4E中

NAEC=NBFC

<NACE=NB

AC=BC

A5CF^AC4E(AAS)

CE=BF

【总结升华】要证CE=3/，只需证含有这两个线段的ABCF2AC4£.同角的余角相等是找角等的好方

法.

题型五：“边角边”与“角角边”综合应用

例5.如图，ZCAB+ZABD=120°,AD.BC分别平分NG4B、ZABD,AD与BC交于点。.

(1)求ZAOB的度数；

(2)说明的=47+8£>的理由.

【答案】(1)120°；(2)见解析

【详解】解：(1)'：AD,宽分别平分NC仿和//初，ZCAB+ZABD-12,Q0,

：.ZOAB^ZOBA=e>0°,

/.ZAOB=180°-60°=120°；

(2)在四上截取4斤47,

\'ZCAO=ZEAO,AO=AO,

.♦.△49庄△/如(SAS),

:.S/AEO,

'：AC+ZD=(180°-ACAB-AABC)+(180°-/ABD-/BAD)=180°,

AZAE(KZD=180°,

•:NAE8NBEO=18Q°,

：.ZBEO=ZD,

又/EBW/DBO,BgBO,

:.X0B恒X0BD(AAS),

：.BI>BE,又AEE,

：.AC+BI^AE+B^AB.

（2）当直线腑绕点。旋转到图（2）的位置时，DE、AD,龙又怎样的关系？并加以证明.

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）D皆AlhBE,证明见解析.

【详解】解：（1）①证明：•・・/〃，阳BEVDE,

：.ZAD（=ZBEC=9Q°,

9：ZACB^90°,

AZAOAZBCE=90o,ZDAaZACD=90°,

：.ADAOABCE,

在和AC班中，

/CDA=NBEC

<NDAC=NECB

AC=BC

:.XADgXCEB（A4S）.

②证明：由（1）知：△ADSXCEB,

：.AD=CE,CD=BE,

YDC+C序DE,

:・ADVB斤DE.

(2)成立.

证明：*：BELEC,AD1CE,

:./ADO/BEO9。。,

:./EBC+/EC&郑)0,

VZACB=90°,

：.ZECB+ZAC^O°,

・•・ZACD=ZEBQ

在和△四中，

ZACD=ZCBE

</ADC=/BEC,

AC=BC

：.AADC^ACEB(A4S),

:・AD=CE,CD=BE,

:・D后EOCWAABE.

题型六：尺规作图一一利用角边角或角角边做三角形

例6、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形

已知：N。，N£和线段c,如图4—4—21所示.

图4-4-21

求作：AABC,使NZ=N。，N8=N£,AB=c,

(2)在射线4分上截取线段AB=c；

E'

D

图4-4-24

⑶以6为顶点，以掰为一边，在力6的同侧作//应'=/£,座交4?于点C△/比就是所求作的三角形.

［点析］我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.

例7.已知：角。，£和线段a,如图4一4一29所示，求作：4ABC,使BC=a.

［解析］本题所给条件是两角及其中一角的对边，可利用三角形内角和定理求出/G再利用两角夹边作图.

解：如图4—4—30所示：(1)作/尸=180°—/a—/£；(2)作线段6C=a；(3)分别以6,。为顶点,

图4-4-30

【变式】(2022春•陕西•七年级陕西师大附中校考期中)尺规作图

已知：Z(z,和线段°,求作ABC,使NA=Na,N3=2N£,AB=a.

【详解】解：如图，0/12C即为所求.

a

【过关检测】

一、单选题

1.（2023春•黑龙江哈尔滨•七年级校考阶段练习）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要

到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）

C.带③去D.①②③都带去

【答案】A

【分析】根据全等三角形的判定可进行求解

【详解】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻

璃.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活

中，要认真观察图形，根据已知选择方法.

2.（2023春•广东佛山•七年级校考期中）如图，在用尺规作图得到DBC/4ABe过程中，先作

NDBC=ZABC,再作NOCB=NACB,从而得到DBC&ABC,其中运用的三角形全等的判定方法是

B

D

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【答案】B

【分析】根据题意分析可得/D3C=ZABC,NDCB=ZACB,再加上公共边3C=3C,根据AAS,即可

判断一空.一A5C.

【详解】解：团得ND3C=NABC,BC=BC,ZDCB=ZACB,

0DBC空ABC（ASA）,

故选：B.

【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的

关键.

3.（2023春•重庆沙坪坝•七年级重庆一中校考期末）如图，OC平分点尸是射线OC上一点，

尸河，03于点点N是射线。4上的一个动点，连接PN,若PM=6,则PN的长度不可能是（）

【答案】D

【分析】如图所示，过点P作于〃，证明△「四丝△尸ON得到尸〃=PM=6,由垂线段最短可

知PNNPH,由此即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点P作尸于〃，

^\PM±OB,

团ZPHO=ZPMO=90°,

EIOC平分NAO3,

QNPOH=NPOM,

又EIOP=OP,

0APOH^APOM（AAS）,

团PH=PM=6,

由垂线段最短可知尸N之P”,

回（8函）2=640>36,

国8师>6,

团四个选项中，只有D选项符合题意,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，实数比较大小，正确作出辅助线构造全

等三角形是解题的关键.

4.（2023春,陕西咸阳•七年级统考期末）如图，AD〃BC,/ABC的平分线BP与-54。的平分线AP相

交于点尸，作PELM于点E,若PE=4,则点尸到与3c的距离之和为（）

【答案】C

【分析】如图所示，过点尸作尸GLAD与R延长EP交3c于G,先证明AO_L尸G,由角平分线的定义

得到N£BP=NG3P,进而证明△fBWaGB尸得到PG=PE=4,同理可得尸尸=PE=4,则

FG=PF+PG=8,由此即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点尸作PG_LAD与凡延长FP交3c于G,

SAD//BC,

SAD1FG,

SPE1AB,

0ZPFA=ZPEA=ZPEB=ZPGB=90°,

回3尸平分NABC,

团NEBP=NGBP,

5^BP=BP,

ElA£BP^AGBP(AAS),

I3PG=_PE=4,

同理可得Pb=PE=4,

0FG=PF+PG=8,

团点P到A£＞与BC的距离之和为8,

故选C.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线间的距离等

等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

5.（2023春•福建福州•七年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，ZC=90°,点以是3C的中点，

DM平分工ADC,且CB=8,则点M到线段AD的最小距离为（）

B

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】如图所示，过点M作用ELAO于E,证明四△MOC,得到ME=MC,再根据线段中点

的定义得到ME=MC=1台。=4,根据垂线段最短可知点M到线段AD的最小距离为4.

【详解】解:如图所示，过点〃'作ME_LA£)于E,

ElZAffiD=ZC=90o,

团DM平分，ADC,

SZMDE=ZMDC,

y^\MD=MD,

0AMDE^AMDC(AAS),

SME^MC,

回点/是BC的中点，C3=8,

SME=MC=-BC=4,

2

回点/到线段AD的最小距离为4,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，垂线段最短等等，正确作出辅助线

构造全等三角形是解题的关键.

6.(2023•全国•八年级假期作业)如图，点£在一ABC外部，点。在..ABC的3C边上，DE交AC于F,若

Z1=Z2=Z3,AE=AC,贝!I().

A.AABZ^AAFEB.AAFE^AADCC.AAFE^ADFC

D.AABC沿AADE

【答案】D

【分析】首先根据题意得到=NE=NC,然后根据ASA证明△ABC/.

【详解】解：0Z1=Z2,

EIZ1+Z22AC=Z2+ZJDAC,

0ZfiAC=ZZME,

0/2=/3,ZAFE=ZDFC,

0ZE=ZC,

13在4ABe和VADE中，

ABAC=ZDAE

<AC=AE,

ZC=NE

0AABC^AAD£（ASA）,

故选：D.

【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.

7.（2023•浙江•八年级假期作业）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、

2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）

A,带①去B.带②去C.带③去D.①②③都带去

【答案】B

【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证.

【详解】解：①、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们

去，

只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA,满足题目要求的条件，是符合题意的.

故选：B.

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定.判定两个三角

形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.

8.（2023春・浙江宁波•七年级校考期末）如图，ABC的两条高AD和助相交于点E,AD=BD=8,

AC=10,AE=2,则跳"的长为（）

【答案】A

【分析】先证明四△ADC,可得DE=DC=6,3c=14,而AC=10,再由等面积法可得答案.

【详解】解：回.ABC的两条高4D和8尸相交于点£,

0ZADB=ZADC=9O°=ZBM,

S\ZAEF=ZBED,

^\ZDBE=ZDAC,

SAD=BD=8,AE=2,

^ABDE^AADC,DE=6,

SDE=DC=6,

0BC=14,而AC=10,

由等面积法可得：

1X14X8=-X10XBF,

22

解得：BE=11.2；

故选A

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等面积法的应用，证明

是解本题的关键.

9.（2023春•辽宁沈阳•七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的

碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离.我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调

整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点脱然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵

地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与£点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这

A.SSSB.SASC.ASAD.AAA

【答案】C

【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论.

【详解】解：团士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点8,然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在

了我军阵地的点E上，

0ZA=ZD,

^AC-LBC,DF人EF,

^ZACB=ZDFE=90°,

SAC=DF,

团判定△ABC^ADEF的理由是ASA.

故选C.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关

键.

10.(2023春•四川达州•八年级统考期末)如图，已知的是NABC的平分线，AP±BP,若

2

SABPC=12cm,则yWC的面积（）

C.36cm2D.不能确定

【答案】A

【分析】延长AP交BC于点C,根据题意，易证，ABPaDBP(ASA),因为和△DPC同高等底,

2

所以面积相等，根据等量代换便可得出Swe=2sBPC=24cm.

【详解】如图所示，延长”，交8C于点D,

BDC

团APLBP,

^ZAPB=ZDPB=90°,

回的是/ABC的角平分线，

⑦ZABP=ZDBP,

在.A8P和QBP中，

NABP=NDBP

<BP=BP,

/APB=ZDPB

团ABP^ASA）,

⑦AP=DP,

回S4ABP~S^DBP，

团AAPC和ADPC同底等高，

=

团S^APCSDPC，

团S&PBC=SDPB+S^DPC=S^ABP+^AAPC，

2

团SABC=2SBPC=24cm,

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和

全等三角形的判定.

二、填空题

11.（2023•浙江•八年级假期作业）如图，。在上，E在AC上，且NB=NC,补充一个条件后,

可用〃AAS〃判断一ABEMACD.

【答案】BE=CD或AE=AD

【分析】由于两个三角形已经具备NB=NC,ZA=ZA,故要找边的条件，只要不是这两对角的夹边即

可.

【详解】解：0ZB=ZC,ZA=ZA,

团若用"AAS"判断一ABE空ACD,可补充的条件是BE=CD或AE=AD；

故答案为：BE=CD^AE=AD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的条件是解题的关键.

12.（2023春・广东揭阳•七年级期末）如图，在ABC中，ADJ.BC,4D平分/B4C,则

△ABD^Z^ACD的根据是.

【答案】ASA

【分析】由AD13C、AD平分-54C、4）=4。可得出两个三角形对应的两个角及其夹边相等，于是

可以利用ASA判定这两个三角形全等.

【详解】^ADIBC,

0ZBDA=ZCDA=90°.

EIAD平分/BAC,

S\^BAD=ZCAD.

ABDA=ZCDA

在△ABD与.’ACO中，IAD=AD

NBAD=ACAD

0ABD^,ACD（ASA）.

故答案为：ASA

【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，解题的关键是找到两个三角形对应的边角相等.

13.（2023春•陕西榆林•七年级统考期末）如图，ABLCD,且AB=CD,连接AD,CELAD于点E,

M_L4>于点/.若CE=8,BF=5,EF=4,则AD的长为.

c

【分析】只要证明-AB产"ACDE(AAS),可得AF=CE=8,BF=DE=5,推出AD=AF+D9即可得出

答案.

【详解】解：SAB1.CD,CE1AD,BF±AD,

^ZAFB=ZCED=90°,ZA+Z£>=90°,ZC=ZD=90°,

azA=zc,

SAB=CD,

0ABF^CDE(AAS),

0AF=CE=8,BF=DE=5,

EIEF=4,

sAD=AF+DF=8+(5-4)=9,

故答案为：9.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考

题型.

14.(2023春・山东枣庄•七年级统考期末)如图，A,8两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间

的距离，可以沿河岸作射线所，且使在所上截取3C=CD,过。点作使

E,C,A在一条直线上，测得止=16米，贝IJ/,8之间的距离为米.

【答案】16

【分析】根据已知条件可得△ABC丝△EDC,从而得到。E=从而得解.

【详解】SBF1AB,DELBF,

0ZB=ZEr）C=9Oo,

EINB=/EDC=90,BC=CD,NBCA=ZDCE,

aZ\ABC/△EDC（ASA）,

^DE=AB.

又回。石=16米，

0AB=16米,

即A8之间的距离为16米.

【点睛】此题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.

15.（2023•广东茂名•统考一模）如图，点A、D、C、厂在同一直线上，AB//DE,AD=CF,添加一

个条件，使△ABCdDEF,这个条件可以是.（只需写一种情况）

【答案】BC〃EF或ZB=/E或ZBCA=NEFD或AB=DE(答案不唯一)

【分析】先证明/4=/的及AC=E>尸，然后利用全等三角形的判定定理分析即可得解.

【详解】解回3C〃EF或=或=或=理由是回

^AB//DE,

^ZA^ZEDF,

0AD=CF,

0AD+CD=CF+Cr>BPAC=DF,

当3c〃斯时，有ZBCA=ZEFD,贝kABCWDEF(ASA),

当ZBCA=ZEFD时,则ABCgDEF(ASA),

当NB=NE时，贝UABC沿DEF(AAS),

当=时，贝IABCmDEF(SAS),

故答案为回3C〃EF或NB=NE或/3C4=NEED或A5=DE.

【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，掌握全等三角形的判定定理有SAS,ASA,

AAS,SSS是解题的关键.

16.（2023春•上海虹口•七年级上外附中校考期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点〃

与点。的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点。处立竖杆PO,并将顶端的活动杆对准点

固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N,测量点N与点。

的距离，该距离即为点M与点。的距离.此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是.

【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等

【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，即可得到答案.

【详解】解：在，尸OM和△PON中，

ZOPQ=ZOPQ'

<OP=OP,

ZPOM=ZPON=90°

POM.PON（ASA）,

•••判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等，

故答案为：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.

17.（2023春•湖南岳阳•八年级统考期末）直线CO经过N3C4的顶点C,CA=CB.E、歹分别是直线

8上两点，且NBEC=NCFA=Na.若直线CO经过/BC4的内部，且E、尸在射线8上，请解决下面

两个问题：

①如图1,若NBC4=90。，Z«=90°,贝尸\BE-AF\（填"<"或"="号）；

②如图2,若0。<々。1<180。，若使①中的结论仍然成立，则与/BC4应满足的关系是

图2

【答案】Na+ZBC4=180。

【分析】①求出N5£C=NAFC=90。，ZCBE=ZACF,根据AAS证,推出班=C尸,

CE=AF即可得出结果；②求出NCSE=NACF,由AAS证△3C£Igz\C4尸，推出班=CF,CE=AF即

可得出结果.

【详解】解：①N5C4=90。，Na=90。,

:.NBCE+NCBE=90。，/BCE+ZACF=90。，

:.ZCBE=ZACF,

在，_BCE和VC4r中,

ZCBE=ZACF

</BEC=ZCFA,

CB=CA

ABCE^ACAFCAAS),

:.BE=CF,CE=AF,

EF^CF-CEHBE-AF\,

②/。与ZBCA应满足Na+ZBCA=180°,

在.5CE中，ZCBE+ZBCE=180°-ZBEC=180°-Za,

ZBCA=1800-Zaf

ZBCA=ZCBE+ZBCE,

ZACF+NBCE=ZBCA,

:.ZCBE=ZACF,

在,BCE和VC4F中，

ZCBE=ZACF

<ZBEC=ZCFA,

CB=CA

ABCE^AC4F(AAS),

:.BE=CF,CE=AF,

EF=|CF-CE|=|BE-AF\,

故答案为：=,Ziz+ZBG4=180o.

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算、三角形的外角

性质等知识；解题的关键是判断出ABCE沿ACAF.

18.（2023春•广东深圳•七年级统考期末）如图，在等腰中，ZBAC=90°,AB=AC,BD为

ABC的角平分线，过点C作CELBD交5。的延长线与点E,若CE=；,则3。的长为.

【答案】4

【分析】延长CE与54的延长线相交于点尸，利用ASA证明△ABD和△ACF全等，进而利用全等三角形

的性质解答即可.

【详解】解：如图，延长CE与54的延长线相交于点产，

ZEBF+ZF=90°,ZACF+ZF=90°,

ZEBF=ZACF,

在△ABD和△ACF中，

ZEBF=ZACF

<AB=AC,

ABAC=NCAF

ABD^ACF(ASA),

:.BD=CF,

Q3D是NABC的平分线,

:.NEBC=NEBF.

在.3CE和中,

ZEBC=ZEBF

<BE=BE,

NCEB=ZFEB

BCEWBFE（ASA）,

:.CE=EF,

:.CF=2CE,

：.BD=CF=2CE=4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，理解题意、灵活运用全等三角形的判定与性质是解题

的关键.

三、解答题

19.（2023春•江苏苏州•七年级统考期末）已知：如图，在RtaABC中，ZACB=90°,过点C作

CDLAB,垂足为在射线8上截取CE=C4,过点£作EFLCE,交CB的延长线于点足

（2）若AB=9,EF=4,求跳■的长.

【答案】⑴见解析

（2）5

【分析】（1）首先根据垂直判定回〃£F,得到NABC=",再利用AAS证明即可；

（2）根据全等三角形的性质可得M=CF=9,BC=EF=4,再利用线段的和差计算即可.

【详解】（1）解：BCD1AB,EFLCE,

SAB//EF,

BZABC=ZFf

在，IBC和一CEE中，

/ABC=NF

vZACB=ZE,

AC=CE

团AABC名△CFE（AAS）；

（2）团△ABC2△BE1,

团AB=CF=9,BC=EF=4,

^\BF=CF-BC=5.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是找准条件，证明三角

形全等.

20.（2023春•陕西西安•七年级西安市铁一中学校考期末）如图，A,C,。三点共线，ABC和一CDE落在

AD的同侧，AB//CE,BC=DE,ZB=ZD.求证：AB+CE=AD.

E

A-

CD

【答案】见解析

【分析】证明」ABCZcCDE（AAS）,得出AB=CD,BC=CE,即可证明结论.

【详解】解：^\AB//CE,

SZA=ZDCE,

SZB=ZD,BC=DE,

0ABC^CDE（AAS）,

S\AB=CD,BC=CE,

团AB+CE=CD+AC=AD.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的

判定方法证明A4BC丝ACDE.

21.（2022秋•八年级课时练习）已知Nc,和线段。（下图），用直尺和圆规作ABC,使

ZA=Za,ZB=Z/3,AB=a.

a

【答案】见解析

【分析】先作出线段9=。，再根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作/DA8=Nz/班4=/尸即可

得到答案.

【详解】解：作法如下图.

1.作一条线段钻=。.

2.分别以42为顶点，在A3的同侧作=ZEBA=Zj3,D4与座相交于点C.

MBC就是所求作的三角形.

【点睛】本题主要考查了三角形的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键.

22.（2023春•全国•七年级专题练习）如图，已知工ABC,请根据“ASA"作出_DEF,使_DEF与ABC.

【答案】见解析

【分析】先作/MEN=NB,再在EN上截取团=54,在EN上截取£F=3C,从而得到

DEF玛ABC.

【详解】解：如图，J>EF为所作.

M

c

“xA.4—V-

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基

本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了全等三角形的判定.

23.（2023春・山西太原•七年级校考阶段练习）如图，点8、F、C、£在同一条直线上，已知FB=CE,

AB//DE,ZACB^ZDFE,试说明：AC^DF.

【答案】见解析

【分析】利用ASA定理证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质分析求解.

【详解】解：回FB=CE,

SFB+FC=CE+FC,即3C=EF,

^AB//DE,

®/R=/E,

NB=NE

在，ABC和_DEF中<BC=EF

NACB=ZDFE

SAC=DF.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、

ASA、AAS、HL.三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全

等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去

证什么条件.

24.（2020秋•广东广州•八年级海珠外国语实验中学校考阶段练习）如图，已知：EC=AC,

NBCE=NDCA,ZA=NE.求证：AB=ED.

A

C

BD

【答案】见解析

【分析】先求出ZACB=N£CD,再利用"角边角"证明ABC和△EDC全等，然后根据全等三角形对应边

相等证明即可.

【详解】证明：^\ZBCE=ZDCA,

0/BCE+ZACE=ZDCA+ZACE,即ZACB=AECD.

在，IBC和△EDC中,

ZACB=ZECD

AC=EC

ZA=ZE

fflAABC^A£DC(ASA).

SABRED.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

25.（2023春•福建宁德•七年级校考阶段练习）如图，点8,F,C,£在直线/上（F,C之间不能直接测

量），点/,。在/异侧，测得=AB//DE,ZA=ZD.

⑴求证：Z\ABC咨Z\DEF；

（2）若3E=10,BF=3,求尸。的长度.

【答案】⑴见解析

（2）4

【分析】（1）由得ZABC=/DEF,而=ZA=ZD,即可根据全等三角形的判定定理

"ASA"证明△ABC学公DEF；

（2）根据全等三角形的性质得3C=EF,则3/=CE=3,即可求得尸C的长度.

【详解】（1）解：证明：^AB//DE,

SZABC=ZDEF,

在「ABC和一一DEF中，

ZA=ZD

<AB=DE

/ABC=ZDEF

El△（ASA）；

（2）解：由（1）知aABC咨ADEWASA）,

团BC=EF,

BBF+FC=CE+FC,

团BF=CE=3,

团3E=10,

FC=BE-BF-CE=10-3-3=4f

团广。的长度是4.

【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明

/ABC=NDEF是解题的关键.

26.（2023,浙江•八年级假期作业）如图，ABC中，BD=CD,连接BE,CF,且成〃CF.

⑴求证：BDE'CDF；

⑵若AE=15,AF=8,试求OE的长.

【答案】⑴证明见解析

【分析】（1）根据平行线的性质可得？BED2CFD,根据全等三角形的判定即可证明;

（2）根据全等三角形的性质可得DE=DP,即可求得.

【详解】（1）证明：团BE〃CF,

51?BED2CFD,

国NBDE=NCDF,BD=CD,

团BDE'CDF(AAS)；

（2）由（1）结论可得DE=DE,

SEF=AE-AF=15-8=1,

7

0DE=-

2

【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判

定和性质是解题的关键.

27.（2023春•江西鹰潭•七年级校考阶段练习）将两个三角形纸板ABC和一DBE按如图所示的方式摆放，

连接0c.已知ZD£L4=/C3E,ZBDE=ZBAC,AC=DE=DC.

⑴试说明△ABCdDBE.

（2）若NACO=72。，求/BE