广西壮族自治区百色市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区百色市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为全集，集合，所以，又因为集合，所以.故选：D.2.已知命题，，则是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命题的否定形式是，.故选：B.3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵，∴，解得，且，所以函数的定义域为.故选：D.4.设扇形周长为，圆心角的弧度数是3，则扇形的面积为（）A.12 B.16 C.18 D.24【答案】D【解析】设扇形的半径为，则弧长为，因为扇形的周长为，所以，解得，则，故扇形的面积为.故选：D.5.“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由方程有两个不等实数根可得，解得，观察选项可得“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是.故选：C.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则，则，故.故选：A.7.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】依题意，，又，，所以a，b，c的大小关系是.故选：D.8.函数是定义域为的奇函数，在上单调递增，且.则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由于是定义域为的奇函数，所以，又在上单调递增，且，所以的大致图象如图所示．由可得，，由于在分母位置，所以，当时，只需，由图象可知；当时，只需，由图象可知；综上，不等式的解集为．故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C若，则 D.若，则【答案】BCD【解析】对于A，若，则，故A错误；对于B，若，则，即，故B正确；对于C，若，则，所以，故C正确；对于D，若，则，即，故D正确.故选：BCD.10.已知函数，给出下列四个结论，不正确的是（）A.函数是周期为的偶函数B.函数在区间上单调递减C.函数在区间上的最小值为D.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与的图象重合【答案】AC【解析】对于A，由于，，即，则不是偶函数，A错误；对于B，当时，，而余弦函数在上单调递减，因此函数在区间上单调递减，B正确；对于C，当时，，，C错误；对于D，将函数的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，所以所得图象与的图象重合，D正确.故选：AC.11.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数（且）的图像的大致形状可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】当时，函数在上单调递减，当时，在上递增，，当时，在上递减，，A不满足，D符合题意；当时，函数在上单调递增，当时，在上递减，，当时，在上递增，，C不满足，B符合题意.故选：BD.12.已知函数且，则下列说法正确的有（）A.在区间和上单调递减B.直线与的图象总有3个不同的公共点C.D.【答案】ACD【解析】画出函数的大致图象，如图所示，A选项，由图可知在区间和上单调递减，所以A正确；B选项，由图可知，当时，直线与的图象有3个不同的公共点，当时，直线与的图象有2个不同的公共点，所以B错误；CD选项，令，可得直线与的图象有4个不同的交点，且交点横坐标分别为，，，，由图可知，，由基本不等式得，，所以，因为，所以，所以C，D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数为奇函数.则____________.【答案】【解析】依题意，，解得或，当时，函数是偶函数，不符合题意，当时，函数奇函数，符合题意，所以.14.函数，则_________.【答案】1【解析】根据题意，，则.15.若，则的最小值为___________.【答案】9【解析】由，得，于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9.16.设定义域为的函数则关于的函数的零点的个数为_______.【答案】7【解析】令，得或.作出的简图，，由图象得当或时，分别有3个和4个交点，故关于的函数的零点的个数为7.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.全集，若集合，.（1）求，；（2）若集合，，求的取值范围.解：（1）由集合，，所以，.（2）因为，可得，又因为，且，所以，所以实数的取值范围是.18.计算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.19.已知，且为第三象限角.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）已知得，且为第三象限角，所以（2）.20.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式及对称中心坐标：（2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.解：（1）由题意可得：，可得，所以，因为，所以，可得，所以，由可得，因为，所以，，所以.令可得，所以对称中心为.（2）由题意可得：，当时，，，，若关于的方程有实数根，则有实根，所以，可得：.所以实数的取值范围为.21.受新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产厂为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n年的材料费、维修费、人工工资等共为万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n年的总盈利额为万元．（1）写出关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．请问：使用哪种方案能在更短的时间内达到相应的最值目标？并比较分别使用两种方案处理设备后的总利润大小．解：（1）由题意得：．由，得，即，解得．由于，故设备企业从第3年开始盈利.（2）方案一：总盈利额，当时．故方案一总利润，此时；方案二：每年平均利润，当且仅当时等号成立．故方案二总利润，此时．比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适．22.已知是定义域为的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范