广东省肇庆市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省肇庆市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的指定位置上.2．回答选择题时，写出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据点关于平面对称时，横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知，点关于平面的对称点为，故选：C.2.已知数列为等差数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为数列为等差数列，则，所以，则，故选：D.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即，实轴长，即，于是虚半轴长，所以所求双曲线方程为.故选：A4.如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在平行六面体中，E为BC的中点，所以.故选：B5.直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设直线l：的倾斜角为，则，由题意可得，直线的倾斜角为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故选：C6.数列的前n项和为，满足，则数列的前n项积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，，，则，当时，，两式相减得，即，因此数列是以512为首项，为公比的等比数列，于是，显然数列单调递减，当时，，当，，所以当或时，数列的前n项积最大，最大值为.故选：B7.已知圆：（），圆：，若圆上存在点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】圆：,方程化为，，则圆心坐标为，半径为5,设关于直线的对称点为，则,解得，则，所以圆关于直线的对称圆方程为，，由题中条件可知，圆与圆有交点，,,则，即，解得，故选：D.8.抛物线有这样一个重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．若抛物线（）的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上点M反射后，其反射光线过点，且，则△FMN的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由抛物线的对称轴为轴，得轴，设抛物线的准线与轴交于点，反向延长交抛物线的准线于点，则，由抛物线的定义得，由，得，因此为等边三角形，在直角中，，，于是，从而，所以的面积为.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】直线过定点，显然点在圆内，因此直线与圆必相交，C错误；而直线表示平面内过点的除直线外的任意直线，因此选项ABD都可能.故选：ABD10.对于方程，下列说法正确的是（）A.当时，该方程表示圆B.当时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆，且长轴长为C.当时，该方程表示焦点在x轴上的双曲线，且渐近线方程为D.当时，该方程表示焦点在y轴上的双曲线，且焦距为【答案】BC【解析】对于A，当时，方程不能表示圆，A错误；对于B，当时，，方程为，表示焦点在x轴上的椭圆，且长轴长为，B正确；对于C，当时，方程为，方程表示焦点在x轴上的双曲线，且，故渐近线方程为，C正确；对于D，当时，方程为，方程表示焦点在y轴上双曲线，且，故焦距为，D错误，故选：BC11.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，分别是，的中点，则（）A.∥平面B.三棱锥与三棱锥的体积之比为C.∥D.A，E，G，F四点共面【答案】ABD【解析】由题意，A项，在中，，分别是，的中点,∴∥,∵面，面，∴∥平面，A正确；B项，在三棱锥中，设点到的距离为，，在三棱锥中，设点到的距离为，∵，，分别是，的中点,∴,,，∴,故B正确，对C项，,∴与不平行，与不平行，C错误；D项，由几何知识得，，,∴即，∴三向量共面，即A，E，G，F四点共面，故D正确故选：ABD.12.已知正项数列满足，则下列结论一定正确的是（）A.若，则B.若，则的值有3种情况C.若数列满足，则D.若为奇数，则（）【答案】BD【解析】对于A，，则该数列为，则，，而，因此，A错误；对于B，，若为偶数，则，于是或；若为奇数，则，于是，因此的值会出现3种情况，B正确；对于C，由数列满足，得数列是周期为2的数列，有当为偶数时，，则，解得，或，无正数解；当为奇数时，，则，解得，因此或都满足，C错误；对于D，若为奇数，则为偶数，与为奇数矛盾，因此为偶数，即，则，D正确.故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.写出一个过点，的圆的标准方程_____________．【答案】（形式不唯一，只要符合：，其中即可）【解析】由题意：设圆心为：，半径为：，则；.取可得满足条件的一个圆的标准方程：故答案为：（答案不唯一）14.等差数列的公差为，前n项和为，且是与的等比中项，则_____________．【答案】【解析】由题意知等差数列的公差为，由于是与的等比中项，故，即，解得，故，故答案为：15.2023年11月5至10日，中国国际进口博览会在上海举办，被誉为“黄皮火龙果”的厄瓜多尔麒麟果（图1）首次来到进博展台，其轴截面轮廓可近似看成椭圆（图2），A，C，B，D为椭圆的四个顶点，且，则该椭圆的离心率为_____________．【答案】【解析】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则，，则，故椭圆离心率为，故答案为：16.在正方体中，，点平面，点F是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，_____________．【答案】【解析】以点D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，设，则，因为，故，即，由于平面，平面，故，所以的面积为，而，故，当时，取最小值，即S最小，此时，则，故，即，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知椭圆C：（）经过点，．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点且与PQ平行的直线交椭圆C于M，N两点，求的长．解：（1）由椭圆C：经过点，，得，而，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，椭圆的左焦点为，而直线的斜率为，因此直线的方程为，由消去y得，显然，设，则，，所以.18.在三棱台中，底面，底面是边长为2的等边三角形，且，D为的中点．（1）证明：平面平面.（2）平面与平面的夹角能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由.解：（1）因为底面是边长为2的等边三角形，D为的中点，故；又底面，底面，故，又平面，故平面，又平面，故平面平面；（2）由已知可知，，且D为的中点，则，即四边形为平行四边形，故，由底面，得底面，因为平面，所以，以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，结合（1）可知平面的法向量可取为；设平面的一个法向量为，而，故，即，令，则，假设平面与平面的夹角能为，则，即，此方程无解，假设不成立，即平面与平面的夹角不能为.19.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，（），圆M：．（1）若，过点A作圆M的切线，求此切线的方程；（2）若在圆M上存在唯一一点P，使，求t的值．解：（1）由题意得，圆M的半径为1，在圆M外，，过点A作圆M的切线，则切线斜率存在，设为k，则切线方程为，即，所以，解得或，故切线方程为或；（2）设，由于，所以，整理得，即，（），即P点在以为圆心，为半径的圆上，由题意可知P是唯一的，只有当圆与圆M相切时，符合题意；当两圆外切时，则，整理得，解得，（舍去），故；当两圆内切时，则，整理得，解得，（舍去），即，综上，可得或.20.定义为数列的“匀称值”．（1）若数列的“匀称值”为，求数列的通项公式；（2）若数列满足，（），求数列的“匀称值”．解：（1）依题意，，即，当时，，当时，，于是，整理得，符合上式，所以数列的通项公式是.（2）由，，得，而，因此是以为首项，3为公比的等比数列，则，令，则数列的“匀称值”，令，则，于是，两式相减得，即，，所以数列的“匀称值”为.21.如图，平行四边形中，，，为的中点，将沿折起到的位置，使．（1）求点到平面的距离；（2）点为线段上一点，与平面所成的角为，求的最大值．解：（1）因为，，，所以，为等边三角形，所以，，，因为，，则，所以，，即，又因为，，、平面，所以，平面，因为平面，所以，平面平面，取的中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为，，因为，，则为等边三角形，则，所以，点到平面的距离为.（2）取的中点，连接，因为为的中点，则，因为，所以，，又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，，，设平面的法向量为，则，取，可得，设，其中，所以，，所以，，所以，当时，取最大值，且其最大值为.22.已知直线：，直线：，过动点M作，，垂足分别为A，B，点A在第一象限，点B在第四象限，且四边形（O为原点）的面积为2．（1）求动点M的轨迹方程；（2）若，过点F且斜率为k的直线l交M的轨迹于C，D两点，线段CD的垂直平分线分别交x轴、y轴于，两