北京市朝阳区2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市朝阳区2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.2.已知命题，，则命题的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】由题意可得命题的否定为“，.故选：A.3.（）A. B.4 C. D.6【答案】D【解析】.故选：D.4.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A，为二次函数，对称轴为，根据二次函数的性质，函数在上单调递减，在上单调递增，，所以函数在区间上递减；对于B，根据对数函数的性质，在上单调递增，所以在上单调递减，，所以函数在区间上递减；对于C，根据指数函数的性质，在单调递增，，所以函数在区间上单调递增，对于D，根据余弦函数的性质，在上单调递减，，所以函数在区间上单调递减.故选：C.5.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由任意角三角函数定义得，故C正确.故选：C.6.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，，所以.故选：B.7.设函数，则“”是“是偶函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，，为偶函数，当偶函数时，由，即恒成立，可得：恒成立，即，所以“”是“是偶函数”的充要条件.故选：C.8.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的最大值为（）A0 B. C. D.1【答案】B【解析】由题意，得，所以，因为，所以，则，所以当，即时，取得最大值，且最大值为.故选：B.9.新闻推送涉及到信息检索，若一个关键词在个网页中出现过，则越大，的权重越小；反之亦然．在信息检索中，使用最多的权重是“逆文本频率指数”，，其中是全部网页数，，．如果关键词的逆文本频率指数比关键词的逆文本频率指数大2，那么（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可知，即，所以，所以，即.故选：D.10.已知不等式对任意恒成立，则的最小值为（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】令，其对称轴为，当时，，若，当时，要使不等式对任意恒成立，则对任意恒成立，当时，不满足题意，所以，且是方程的一个正根，将代入可得，即，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：A.二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11.函数的定义域是______．【答案】【解析】由得，所以函数的定义域是.12.已知函数，则的最小正周期是______．【答案】【解析】∵函数中，，∴函数的最小正周期.13.已知幂函数的图象经过点，则______．【答案】【解析】将点代入函数解析式，有，即，所以，解得.14.已知，，写出满足的一组，的值为______，______．【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）【解析】因为，则，所以，或，取，则或，15.我国古代数学著作《九章算术》中给出求弧田（弓形田）面积的“弧田术”，如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是线段的中点，在上，.设弧田的面积为，“弧田术”给出的近似值的计算公式为.若，，则______；______.【答案】【解析】根据题意，得，，所以是正三角形，边上的高为，所以，而扇形的面积为，所以弧田的面积为；连接，如图，因为是线段的中点，在上，，则，共线，其中，，所以，又，所以.16.已知函数，给出下面四个结论：①当时，只有一个零点；②对任意，既没有最大值，也没有最小值；③存在实数，在上单调递增；④若存在最小值，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②④【解析】对于①，当时，，当时，令，即，解得（舍）或；当时，令，即，方程无解，所以当时，只有一个零点，故①正确；对于②，当时，因为在单调递增，所以，无最大值；又因为在单调递增，所以，又，即，所以，无最小值，所以函数既没有最大值，也没有最小值，故②正确；对于③，当时，在单调递减，在单调递增，所以在R上不单调递增；当时，在单调递增，所以；在单调递增，所以，要使在R上单调递增，则，即，当时，显然，，不满足，所以在R上不单调递增；当时，单调递增，单调递增，且当时，，又因为的增长速度比的增长速度快，所以，不满足，所以在R上不单调递增，综上，不存在实数，使在R上单调递增，故③错误；对于④，当时，因为在单调递增，所以；因为在单调递增，所以，若存在最小值，则，解得，所以；当时，在单调递减，在单调递增，所以；因为在单调递增，所以，若存在最小值，则，所以，综上，，所以的最小值为，故④正确.三、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知集合，．（1）当时，求集合及；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）因为，即，解得或，所以或x>1，，当时，，所以，.（2）若，则，由（1）知，当时，，不合题意；当时，，不合题意；当时，，当时，，综上，所以实数的取值范围是.18.已知函数．（1）求的值及的最小正周期；（2）求的单调递增区间．解：（1）．．所以的最小正周期为．（2）函数的单调递增区间为．令，由，得．所以的单调递增区间为．19.已知，是方程的两个实数根.（1）求实数的值；（2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的值.条件①：；条件②：；条件③：为第四象限角.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）因为，是方程的两个实数根，所以，由，得，所以，满足，则.（2）选条件①：因为，，所以，因为，所以，所以，又，所以.选条件②：因为，所以，与矛盾，故该条件不符合要求.选条件③：因为为第四象限角，所以，，因为，所以，所以，又，所以.20.已知函数是定义在上的奇函数．（1）求的解析式；（2）判断的单调性并用定义证明；（3）解关于的不等式．解：（1）由题设知f-x=-fx所以，即，则，所以.（2）是R上的增函数，证明如下：任取，且，则．由，则，且，故，所以函数在R上单调递增.（3）因为是定义在R上的奇函数，且，所以，由（2）知，在R上单调递增，所以，令，则，解得，故，因为函数在上单调递增，所以x∈0,1．所以不等式的解集为0,1.21.对于给定的正整数，设集合，集合，是的非空子集且满足，．若对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数，则记，并称为从集合到集合的“函数”．（1）当时，若集合，写出集合，并判断从集合到集合是否存在“函数”？说明理由；（2）若集合至少包含一个奇数，且为从集合到集合的“函数”，求证：存在，使得；（3）若为从集合到集合的“函数”，且对于任意，都有，求满足条件的集合的所有可能．解：（1）．从集合到集合不存在“函数”，理由如下：因为集合中的元素均为奇数，集合中的元素均为偶数，任取，，则为奇数，不合题意，所以从集合到集合不存在“函数”.（2）假设不存在使得，即对于任意都有．因为是中唯一确定的数，使得为偶数，所以．设为奇数，则，设是奇数．若，则与均为偶数，不合题意，所以，又因为，所以，与矛盾．所以存在使得.（3）当为奇数时，集合中共有个奇数，个偶数，因为对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数，且都有．根据奇数与奇数的和为偶数，偶数与偶数的和为偶数，集合有以下三种不同的情形：①个奇数，0个偶数；②0个奇数，个偶数；③个奇数，个偶数；因为对于任意，都有，集合中元素必然选择奇数或偶数中较小的元素，即且．所以有当，时，对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数，且，满足题意；当，时，对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数，且，满足题意；当，时，对于任意奇数，在集合中有唯一确定的，使得为偶数，且，满足题意；对于任意偶数，在集合中有唯一确定的，使得为偶数，且，满足题意；同理，当为偶数时，集合中共有个奇数，个偶数，集合有以下三种不同的情形：①个奇数，0个偶