立体几何中的截面问题-2025高考数学一轮复习讲义

第51讲立体几何中的截面问题

知识梳理

解决立体几何截面问题的解题策略.

1、坐标法

所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解

决立体几何问题增添了一种代数计算方法.

2、基底法

所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理

作为依托，其理论依据是：若四点£、F、G、〃共面，P为空间任意点，则有：

结论1：若用与丽不共线，那么访=2旃+〃而；

结论2：丽=4万+〃用+〃丽(2+〃+〃=1).

3、几何法

从几何视角人手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定

定理以及平面几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位

置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明.

必考题型全归纳

题型一：截面作图

例1.(2024・全国•高一专题练习)如图，正方体/3。0-4片。1〃的棱长为6,河是4片的

中点，点N在棱CQ上，且GV=2NCr作出过点M,N的平面截正方体/BCD-4月

所得的截面，写出作法;

【解析】如图所示，五边形。。必W即为所求截面.

1

作法如下：连接ZW并延长交AG的延长线于点£,

连接ME交BG于点尸，交A4的延长线于点H,

连接。〃交441于点。，连接FN,

所以五边形Df即为所求截面.

例2.（2024・江苏•高一专题练习）如图，棱长为2的正方体/BCD-Z/BC/D中，E,尸分别

是棱44/,CG的中点，过E作平面夕，使得&〃平面

⑴作出a截正方体/8CO-4以所得的截面，写出作图过程并说明理由；

（2）求平面a与平面BDF的距离.

【解析】（1）连接42，£耳,EQ,由正方体性质可得8。〃42，BF//EDX.

又BFcBD=B,所以平面£斗。〃平面ADF；

因为a〃平面8。/，且Eea,所以平面石河。与平面a重合，即平面即自就是a截正方体

ABCD-AiBiCiDi所得的截面.

（2）由（1）可知平面a与平面2。厂的距离等于点名到平面8。厂的距离；

设点4到平面8。尸的距离为d,由题意可得8。=2后,3尸=。尸=石，所以VAD尸的面积

为"；AB耳尸的面积为2；

2

由^B,-BDF=%）-BB产可得5s△BOF△网F义2,解得d=2^.

所以平面a与平面BDF的距离为歧.

3

例3.（2024•全国•高一专题练习）（1）如图，棱长为2的正方体48cz>-4耳G2中，M,

N是棱44，4。的中点，在图中画出过底面/BCD中的心。且与平面平行的平面在

（2）作出平面尸0R与四棱锥N5CDE的截面，截面多边形的边数为.

【解析】⑴分别取£,尸为棱BC，CQ的中点，则由中位线性质得到：EFWB^WMNWBD,

所以四边形EFDB为平面四边形，

又£N||4耳口/氏EN=AB=AB,所以四边形EN48为平行四边形，所以E8|MN,

由EF〃MN,E尸（z平面4WN,跖Vu平面4W,所以EFP平面4W,同理£3〃平面

AMN,EFcEB=E,由面面平行的判定定理可得平面4W〃平面EED3,所以四边形

EFDB即为所求截面，且为梯形，

由截面作法可知，DB=l41,EF=IDB=y[l,EB=FD=A/12+22=卮所以截面四边形跖D8

的周长为3亚+2右.

3

,连接6尺6尺门^^=监6夫门£。的延长线于忆连接

PH,PHcAD于N,连接。M,AN,则五边形尸即为所求.所以截面多边形的边数为

变式1.（2024・全国•高一专题练习）如图①，正方体N3CD-4片的棱长为2,尸为线

段3C的中点，。为线段CG上的动点，过点A、P、。的平面截该正方体所得的截面记为S.

图①图②

（1）若1<CQ<2,请在图①中作出截面S（保留尺规作图痕迹）;

（2）若C0=1（如图②），试求截面S将正方体分割所成的上半部分的体积匕与下半部分的

体积匕之比.

【解析】（1）延长DC交ZP延长线于点E,此时DC=C£,延长E0交2cl于点尸

延长用G交PQ延长线于点G,连接GF,并延长交4A于点“，连接力〃

4

此时五边形APQFH就是截面S

(2)当。为CG的中点时，再由DC=CE,OD//C0可知，EQ的延长线交2G于点R,

此时截面S为四边形/尸

=+

%^P-ADDX勺-§xx2x2^x2+—x(l+2)x2x—xl=y

〃c.717

=2x2x2—=—

33

177

因此匕：匕=7：］=17:7

中点.

(1)证明：/G〃平面8DE.

(2)证明：ACJBD.

5

(3)在图中作出平面BE，截正方体所得的截面图形(如需用到其它点，需用字母标记并说明位

置)，并说明理由.

【解析】(1)证明：连接/C,交BD于点、O,连接OE,

因为"CD是正方形，所以。为/C的中点，又E为棱CG的中点，

所以0E//4G，OEu平面ADE,NG<Z平面8DE,

所以AC；〃平面ADE,

(2)证明：在正方体48co-44G。中，44J平面48c0,BDu平面/BCD,所以

AAXVBD,

又ACLBD,AC^AA{=A,NC,4%u平面NCC/i，

所以BD工平面NCG4，

又/C|U平面/CG4，

所以

(3)如图取叫的中点M,连接出/、MD\,则MBEA为平面截正方体所得的截面,

证明：取的中点N,连接NE、AN,因为£为棱CG的中点

所以48〃。且“3=8,NEHCD且NE=CD,

所以ABHNE旦AB=NE,

所以四边形/BEN为平行四边形，

所以AN//BE,

又AM//ND,AM=NDlt

所以四边形㈤VQM为平行四边形,

6

所以4N//RM,

所以MR//BE,即8、E、1、M四点共面，即VBE2为平面8ER截正方体所得的截面;

变式3.（2024•江苏•高一专题练习）已知正方体是棱长为1的正方体，M

是棱陷的中点，过C、4、/三点作正方体的截面，作出这个截面图并求出截面的面积.

【解析】连接。M,并延长，交。/延长线于N连CN交48于尸，连接VP,

则CD[MP为过C、A、M三点的正方体的截面,

因为〃■是训的中点，MA//DD,

所以"是NR的中点，A是M5的中点，

因为4P〃C。，所以P是NC的中点，

所以MP是三角形NCA的中位线，

所以SCD1mp=3SNMP,

因为正方体的棱长为1,

所以可得AW=PN=g,MP=且，

22

所以三角形M吩是以〃N=PN=在为腰，以上。=也为底的等腰三角形,

22

7

fVjY

边儿。上的高为J2-I—近

4一丁

74^

1V23A/23

三角形M如是的面积％必,=—X-------X-----------=—

2248

~9

所以ScD[MP=3SNMP=~

O

题型二：截面图形的形状、面积及周长问题

例4.（2024•全国•高三专题练习）如图，正方体/3CD-4BC]A的棱长为1,P为3c的中

点，0为线段CG上的动点，过点4,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命

题中正确命题的个数为（）

①当0<C0〈g时，S为四边形;

②当CQ=g时，S为等腰梯形；

31

③当时，s与G2的交点用满足G6=]；

3

④当<CQ<1时，S为六边形；

4

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

8

先确定临界值点，当CQ=g,即。为CG的中点时，

截面交于A，则界面/尸2A为等腰梯形，故②正确；

对①当o〈c。<g时，即。移动到。位置时，

截面交线段。2于"，所以截面/尸0”为四边形，故①正确；

3

对③，当CQ=1时，。在&的位置，截面交的延长线于/，

延长/&，/尸交在。。的延长线于G点，

CP=CG=Gft=Ca=i）

ADGDIGDI2

33i3i

由C03=1,则ZV=5，DiI=->又有CQ=l-]="

1

所以第=黑=?=2,又CQ=1,所以C区="故③正确；

C内和幺13

4

T.

对④，CQ<1,。点移动到Q位置，从图上看，截面为五边形，故④错误；

共3个正确，

故选：C

例5.（2024・四川成都・高二双流中学校考期中）已知正方体/5CD-4片GA的棱长为

1,M,N为线段8C,cq上的动点，过点4,M,N的平面截该正方体的截面记为S,则下列命

题正确的个数是（）

①当8M=0且0<CN<l时，S为等腰梯形；

9

②当M,N分别为BC,CG的中点时，几何体4-D\MN的体积为《；

31

③当M为3C中点且CN=：时，S与的交点为R,满足

46

④当“为中点且0WCNW1时，S为五边形.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①，当W=0,即民"重合，且O<CN<1时，如下图所示，

过N作NP//CA，交C.于尸，连接4P,

根据正方体的性质可知48〃Cn，所以即〃4/,所以4，民N,P四点共面，

在等腰直角三角形CGA中，根据平行线分线段成比例的知识可知CN=P〃,

所以4尸=疗+尸厅=JF+CN?=BN,

即截面S为等腰梯形，①正确.

②，当M,N分别为8C,CG的中点时，

过N作NH_LCD1,垂足为H,W\NH"GD,NH]GD=与,

由于BC1平面CD。©,阳匚平面。。。©,所以3CJ.M7,

由于CD|c3C=C,CD[,BCu平面A、BCD、,

所以烟_L平面43C2，即烟_L平面4g.

所以=yiqx弓xix8卜中咕②正确.

10

3

③，当M为3C中点且CN=:时，S与£2的交点为R,S与Z6的交点为尸,

由于平面ABBXAJ/平面。CCQ],

平面488]4cs=4尸，平面。CC[D]CS=RV,所以&P//RN,

同理可证得4&//尸M，

C]N=；,设C\R=x,PB=y,则。7?=l-x,

由ZDlRAl=ZMPB,得tanZDtRAt=tanNMPB,

111

即2v」_L，所以/尸=1-y=j+L，

，

l-x~yy~22X22

同理tan/4E4=tan/£RV,所以〒^=4,解得

Lx7

22

即中=；,③错误.

④，当“为BC中点且CN=O时,GN重合，如下图所示,

11

截面s是四边形同Ben,④错误.

所以正确的有2个.

故选：B

例6.（2024・全国•高一专题练习）如图正方体ABCD-AMR,棱长为1,尸为中点,

。为线段CG上的动点，过/、P、。的平面截该正方体所得的截面记为。.若&,则

下列结论错误的是（）

A.当时，。为四边形B.当时，O为等腰梯形

C.当时，。为六边形D.当2=1时，。的面积为暂

【答案】C

【解析】当0<2<：时，如下图1,。是四边形，故A正确；

2

12

当时，如下图2,O为等腰梯形，B正确：

当时，如下图3,。是五边形，C错误；

4

当4=1时，。与C1重合，取4。的中点尸，连接即，如下图4,由正方体的性质易得

PCJ/BM//AF,且pq=AF,截面。为/PC尸为菱形，其面积为:/q-小=?，D正

确.

故选：C

图2

13

N

变式4.（2024•江苏镇江•高二扬中市第二高级中学校考开学考试）如图，在棱长为正的正

方体中，点E、F、G分别是棱N®、B'C'、C。的中点，则由点E、F、

G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于.

14

【解析】因为E、尸分别为4的、2'c'的中点，则斯〃/'C且

EF=4B'E2+B'F2=J—x2=],

因为4T//CC，且44，=CC',所以，四边形44'C'C为平行四边形，所以，ACIIAC,

所以，EFIIAC,设平面E/G交棱/。于点”，

因为平面ABCDH平面A'B'C'D',平面EFGc平面A'B'C'D'=EF,

平面跖Gc平面/6Cr»=G〃，所以，EFHGH,则GH7//C,

因为G为。。的中点，所以，//为4D的中点，

设直线即分别交。'/、的延长线于点尸、Q,连接阳交棱04'于点

连接。G交棱CC'于点N,连接瓦0、FN,则截面为六边形E/WGHW,

A'PA'E

因为/‘尸〃C'B',则

所以，A'P=B'F=-B'C=-^0'=-AD=AH,

222

AI\/[4H

因为4H7/HP,则R=F=1,所以，AM=A'M,则M为AH的中点,

AMAP

同理可知，N为CC的中点，易知六边形E/WGHW是边长为跖=1的正六边形，

所以，截面面积为6x1x1?xsin60=6乂^^=33

242

故答案为：巫.

2

变式5.（2024•河南信阳•高二信阳高中校考阶段练习）在一次通用技术实践课上，木工小组

需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线4C上的点?（如图），且与平面

平行，已知，4=10cm,AP=6cmf则截面面积等于

15

【解析】如图，连接8。交NC于点O,连接4。、4B.

DC

4B\

因为BBJ/DDi且BBi=DD「故四边形网。。为平行四边形，所以，BDHBQ、,

因为平面耳。2,BQiU平面片c，所以，〃平面瓦。2，

同理可证&B〃平面8c2，

因为43C5D=3,A[B、ADu平面420，所以，平面450〃平面4c2，

故截面平行于平面43。.

过点尸作与平行的直线分别交4D、4B于点M、N,在可上取点。使=

AQAM

■：AQ=AM,,:.Z\AQM^/^AAXD,QMHDAX.

因为。M<z平面4AD,4。u平面4区0,所以，QM〃平面4AD,

丈因为MNHDB,MNU平面4A0，BDu平面4夕。，所以，MN〃平面4区0,

因为上亚口0河=〃，MN、Ql/u平面MN0,所以，平面MNQ〃平面4区0,

16

18

易得色MNQs^DBA],

25

因为48=小AB?+媚=V102X2=1072,

易知A4班)是边长为10匹的等边三角形，所以，-|x(10V2)2xsin600=50A/3,

Sx2

因此，SAMNQ=1|AA,BD=1|50拒=3673(cm).

故答案为：36G.

变式6.（2024•江苏泰州・高一泰州中学校考阶段练习）正方体48CD-4用的棱长是。，

其中E是CD中点，尸是中点，则过点及£片的截面面积是.

【答案】〕返/

48

【解析】在CG上取河使CM=；CG，连接ME并延长与2。的延长线交于点G,连G歹交

AD千N,连接B[M,NE,

由正方体的性质可知用尸//EN,则五边形印小F即为过点及尸，鸟的截面,

a,GE=-GM,GN=-GF,

23

在△耳儿不中，B,M=-a,B,F=—a,MF=—a,

14124

由余弦定理得cosNA^F=之叵，所以=3晅

12525

所以平行四边形々MG下的面积为s=q尸x8]MsinNMBF=亭a2

又由GE=-GM,GN=-GF,

23

17

所以S「版=-GExGNxsinZNGE=­S,

°212

所以截面的面积为sBMENF=[s=1叵d.

即的由1248

故答案为：1返

48

变式7.（2024・全国•高三专题练习）已知直三棱柱4BC-44cl的侧棱长为2,AB1BC,

AB=BC=2,过Z8,台片的中点£,尸作平面C与平面四C。垂直，则所得截面周长

为.

【答案】3V2+V6

【解析】如图，

取NC的中点。，连接8D,取4G的中点4，连接42，BD,

取月。的中点G,连接EG,连接E尸，并延长与4片交于//,取C.的中点M,连接

交用G于N,连接FN、GM,可得EG//BD,BDUBQ、,MN"BQ、,即有EG//MV,

又AB=BC,可得AD_L/C,因为441，平面43C,ADu平面4BC,所以AD_L/4，

ACnAAl=A,/C,44]U平面/CG4,所以AD工平面,因为EG//&D,所以EG,

平面44CC，EGu平面EGW,由面面垂直的判定定理，可得平面EGMF_L平面44。。,

则平面EGMVF即为平面a,由EG=LBD=®,GM=74+2=46,MN^-B,n,

222112

NF=4i，FE=4i，可得所得截面周长为把x2+#+6"x2=3后+行.

2

故答案为：342+46.

变式8.（2024・全国•高三专题练习）棱长为1的正方体/BCD-44GA中，点E为棱3C的

18

中点，则过用，E,。三点的平面截正方体的截面周长为

【答案】2"

【解析】

如图，取4。的中点为尸，连接尸24尸，取/。的中点为G,连接尸G,5G,

在正方形42。/中，因为尸、G分别为所在棱的中点，故尸G〃/4,尸G=/4

而BBJ/44],BB[=AA[,故FGHBB、,FG=BBX,

故四边形FGBBI为平行四边形，故FBJ/GB,FB\=GB,

在正方形力3CD中，因为£、G分别为所在棱的中点，故GDHBE,GD=BE,

故四边形DGBE为平行四边形，故DE//GB,DE=GB,

故FBJIDE,FB\=DE,故四边形FBXED为平行四边形，

故尸，耳，瓦。四点共面，故过吕，E,。三点的平面截正方体的截面为平行四边形尸与即.

又。£=耳£=、用=正，故截面的周长为4x@=2右，

1V422

故答案为：2#）.

变式9.（2024・四川泸州・四川省泸县第二中学校联考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体

ABCD-A^QD,,中，点£为⑦的中点，则过点C且与巴E垂直的平面&被正方体

ABCD-44G2截得的截面周长为.

19

【答案】2V5+V2/V2+2V5

【解析】如图，取月。中点尸，中点G,连接CF,FG,CG,BE,B】E,设BE与CF交于

点。，

因为B[E在平面ABCD内的射影为BE,

由CD=BE,DF=CE,NBCE=ZFDC=90°可得ABCE=^CFD,

所以ZBEC=ZDFC,ZEBC=ZFCD,

又因为N/8E+ZEBC=90P,ZEBC+ZBEC=9(P,

所以ZABE=ZBEC=NDFC,

在四边形4rao中，ZL4+ZABE+ZBOF+ZCFA=360°,

其中ZABE+ZAFC=ZDFC+/AFC=180°,//=90°,

所以48。尸=90。，即B£_LCF,

所以CF是截面内的一条线，

同理CG,GF是截面内的一条线，

所以过点C且与耳£垂直的平面a被正方体/3CO-4耳G2截得的截面为CFG,

因为正方体力3c0-44的棱长为2,

所以cb=Vi7T=E,CG==病,尸G=VITT=也，

截面CFG的周长为CF+CG+/6=石+石+收=2遂+行，

故答案为：26+虚

20

题型三：截面切割几何体的体积问题

例7.（2024・广东广州•高一统考期末）在棱长为a的正方体48co-中，E,尸分别

为梭BC,CG的中点，过点E,厂作一个截面，该截面将正方体分成两个多面体，则体

积较小的多面体的体积为.

【答案】—

【解析】如图，依次连接/瓦ER叫,D/,四边形/瓦丁。即为所求截面，

因为点E、尸分别为棱8C、CQ的中点，所以.〃24,

1212

可知皿尸为三棱台，所以黑四己xaxa*,a四三xgq检，

3

X7z

其体积^ADE\-ECF-ADDX+J，2ECF+gEcJxci=—,

24

且正方体的体积为VABCD-A.Bfifi,=aXaX«=«3,

V

则另一部分的体积为%=ABLD-ARGC]A£-q-AADDUn^-ZElCzC^F=^—2yl

因为所以体积较小的多面体的体积为生.

242424

故答案为：—.

24

21

DiC,

例8.（2024•辽宁锦州•校考一模）在正四棱锥S-Z5CZ）中，M为SC的中点，过Z"作截面

将该四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为匕，匕，则方的最大值

v\

是.

【答案】2

【解析】记正四棱锥S-/3CD的体积为「，叁的最大值，由匕+匕=厂为定值知，只需求匕

的最小值，

设过AM的截面分别交SB和SO于瓦尸，平面SAC与平面SBD的交线为SO,SO与//相交

于G,如图,

?SFSF—►1—►—►1—1—►11

则SG=：SO,令嗡=x，W=>,贝|36=；6。+38)=丁8月+丁5/，即有丁+丁=1,

3SBSD33x3x

SFSE

=

匕^S-AFM+叭-AEM=-F—SAM/—SAM=5口'"D—SAM+'^B-SAM

—/fc+Tkc=Q+6=W("虫T<(2V力斗

当且仅当X=y=g时取等号，此时,=W=,T，,T=2

33

22

所以黄的最大值是2.

故答案为：2

例9.（2024•浙江•高二竞赛）在正四棱锥S-48C。中，"在棱SC上且满足SM=2MC.过

作截面将此四棱锥分成上，下两部分，记上，下两部分的体积分别为匕，匕，则，的

最大值为.

【答案】|

【解析】设过AM的平面交SB,SD于G,P,

将平面MGAP延伸，交BC,CD于E,F,则A,E,F共线.

FCDP…ECx…

------------2=1,--------------2=1,

FDPSEB1-x

FCCECECE

FD~DA~BC~CE-BE'

BE2XDP1<BE、l-3x

而--------，•二---=—-1---------------------7,

CE1-xPS2(CE)2(1-%)

SASM•("G—ZSC+dpAsc)

由于YL=

V2sAsc'^B-ASC

If2-2xy_l(43-5x4、

-X+++

3-5xJ-3[555(3-5x)?

85

xe0,—,：.y-5xer3

.•匕匕匕-8-

7

故答案为：—.

o

23

变式10.（2024・上海•高二专题练习）如图，正方体48CD-4BCR,中，£、尸分别是棱

的中点，过点2、£、尸的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为

匕,％,记匕〈匕，则匕：匕=.

【答案】胃25

47

【解析】延长EF交DC的延长线与点P,连接2P交CG于点G,连接尸G：

延长尸£交。/的延长线与点。，连接。。交441于点连接HE：

所以过尸的截面为。/ffiFG,如下图示：

设正方体的棱长为2a,

则过口,瓦尸的截面下方几何体的体积为

_1。1aAM」1a。ao112a_253

TKZ=-Sv,OD—2—STT,OA='一,—5ci•,JCI—2—,—ci------a=—ci,

13n,np3AP323239

所以另一部分体积为匕=8/—黄753=4力73,则匕:匕=含75

24

25

故答案为：

47

变式11.（2024・全国•高一专题练习）如图所示，在长方体初⑺-HB'C'D'中，用截面截下

一个三棱锥C-HD'D,则三棱锥的体积与剩余部分的体积之比为.

【答案】1:5

【解析】设ZB=a,AD=b,AA'=c,所以长方体体积LCARCO=%

三棱锥C—A'D'D的体积V-A'D,D=}CD-S"D，D=：a-}bc=—abc,

C3326

*,,剩余部分的体积—^ABCD-A'B'CD'~^C-AD'D=abc-—abc=—abc

66

...三棱锥C-A'D'D的体积与剩余部分的体积之比为1:5.

故答案为：1:5.

变式12.（2024•贵州贵阳・贵阳六中校考一模）在三棱柱中，44］，底面N8C,

=点尸是棱力4上的点，AP=2PAl,若截面8PG分这个棱柱为两部

分，则这两部分的体积比为.

【答案】之4或:5

54

【解析】取/C的中点。，连接8D,

因为4B=3C,所以AD_L/C,

因为叫，底面/BC,3Du底面43C,

所以

又所以8。工平面44©C,

/794

不妨设45=。，则5。=!!。，AP=-AAX=-a,

233

v_160

/ABC-AB1G=/X“x-yax2a=—a，

25

4个）

—a+2a\a

13J

v3，

v=—x-----a

B-APC[C32218

故上面一部分的体积为小网「噎PQC=周~，

所以两部分的体积比为4?或；5

54

故答案为：合4或:5.

54

变式13.（2024•广东揭阳•高一普宁市华侨中学校考阶段练习）如图，正方体/3CD-4耳G2

中，£、尸分别是棱4耳、的中点，则正方体被截面3EFC分成两部分的体积之比

匕跖=.

【答案】3

【解析】设正方体488-4片的棱长为2°,体积为k，则

26

V=2。x2。x2a=8/,

因为E是棱4片的中点，所以£可=。，

3

V2=S、B可Ex8C=gxEB、xBB、xBC=^xax2ax2a=2a,

.-.jz=jz-p；=8a3-2a3=6a3.

7=鱼=3

,豆F,

故答案为：3

题型四：球与截面问题

例10.（2024・湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体

/8CD-44GA中，河,"分别为棱42，。2的中点，过作该正方体外接球的截面,

所得截面的面积的最小值为（）

【答案】C

【解析】如图,

正方体外接球的球心在其中心点。处，球的半径尺=!炉下了=虫，

22

要使过MN的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段九W的中点。,

连接。M,ON,贝|<W=ON=TW=

27

所以0Q=/。/―&小］=手，

此时截面圆的半径r=^R2-OQ2=,，

3

此时，截面面积的最小值S=7r/=6九

O

故选：C.

例11.（2024•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形力BCD中，/3=3,/。=4,

将△MD沿对角线即翻折至的位置，使得平面43。_L平面5cD,则在三棱锥

H-3CD的外接球中，以HC为直径的截面到球心的距离为（）

AV435n6V2「V239„7113

1051010

【答案】B

【解析】如图，取3。的中点为O,连接4O,C。，过H作4〃1助，垂足为H,连接CH.

因为三角形408为直角三角形，故4。=。。=03,

同理CO=OD=OB,iiCO=OD=OB=OA',

所以O为三棱锥A'-BCD的外接球的球心，而助=J9+16=5,

因为A'HJ.BD,/Au平面48。，平面_L平面C8。,

平面A'BDCl平面CBD=BD,故A'H1平面CBD,

而CHu平面CBD,故

在直角三角形03。中，©2=3,4。=4,故/归==；•

19+165

故8〃=,9_翳=：,

4

在直角三角形中，cos/CBD、,

81,94193,,…144193337

故C〃2=—+1r6-2x—x4x—---,故4C=-------1------=-----

255525252525

设球心到以HC为直径的截面的距离为（

28

则八=Ji1331r==虫=迪，

\4（2）V44x2510105

故选：B.

兀

例12.（2024・海南•高三校联考期末）已知某球的体积为32手，该球的某截面圆的面积为3兀,

则球面上的点到该截面圆圆心的最大距离为（）

A.1B.3C.2+V3D.一

2

【答案】B

【解析】设截面圆的半径为尸，球。的半径为R球心到截面的距离为d,

则户+屋=之，

因为球的体积为胃=?心,

33

所以火=2,

因为截面圆的面积为3兀，

所以3TI=7U"2,故「=出,

所以d=1,

所以球面上的点到该截面圆圆心的最大距离为d+R=3,

故最大距离为3.

故选：B.

变式14.（2024•江西南昌・江西师大附中校考三模）已知正方体N5CD-44的棱长为2,

E为棱CG上的一点，且满足平面平面4AD,则平面48。截四面体/8CE的外接

球所得截面的面积为（）

13「25c2

A.-71B.~7T71C.一"D.一兀

61233

【答案】A

【解析】在正方体ABCD-44G。中，设平面8DEC平面/C£=0E,且"CJ平面AXBD,

由平面8DE,平面4AD,可得/C"/OE,所以£是CG的中点，

,_________3

又四面体ABCE的外接球的直径为AE=y]AC2+CE2=3，可得半径R、,

设M是/E的中点即球心，球心M到平面4即的距离为d,

29

又设ZC与8。的交点为O,贝（|cos/NQ/=,则sinN/QAf=cosNNQN=,

则d=OM-sin/4OM=Lx1=e,则截面圆的半径/=炉一/=3一4=4=

1236412126

13

所以截面圆的面积为兀/=—71.

6

变式15.（2024・四川内江•四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球。是正三棱锥

/-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BCf，AB=g，

点£是线段BC的中点，过点£作球。的截面，则所得截面面积的最小值是（）

【答案】A

【解析】如图:

Q是A在底面的射影，由正弦定理得，△BCZ）的外接圆半径x工=1.

sin6002

由勾股定理得棱锥的高Mal=vn=i设球。的半径为尺,

则尺2=（1一五y+i,解得尺=1,

所以|oq卜o,即Q与。重合，

30

所以当过点£作球。的截面垂直于OE时，截面面积最小,

此时截面半径为忸闵=,，截面面积为，.

故选：A.

变式16.（2024・福建厦门・厦门外国语学校校考模拟预测）已知半径为4的球0,被两个平

面截得圆。卜记两圆的公共弦为N8,且QQ=2,若二面角a-43-。2的大小为:兀，

则四面体23002的体积的最大值为（）

A.8^/3B.—V2C.—5/2D.—A/3

999

【答案】C

【解析】设弦45的中点为连接依题意，可得如下图形