2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.2事件之间的关系与运算学案新人教B版必修第二册

PAGE1-5．3.2事务之间的关系与运算考点学习目标核心素养事务间的相互关系了解事务间的相互关系数学抽象互斥事务、对立事务理解互斥事务、对立事务的概念数据抽象、逻辑推理问题导学预习教材P98－P101的内容，思索以下问题：1．如何理解事务A包含事务B？事务A与事务B相等？2．什么叫做并事务？什么叫做交事务？3．什么叫做互斥事务？什么叫做对立事务？互斥事务与对立事务的联系与区分是什么？1．事务的关系及运算定义表示法图示包含关系一般地，对于事务A与事务B，假如事务A发生，则事务B肯定发生，称事务B包含事务A(或事务A包含于事务B)B⊇A(或A__⊆B)并事务给定事务A，B，由全部A中的样本点与B中的样本点组成的事务称为A与B的和(或并)A＋B(或A∪B)交事务给定事务A，B，由A与B中的公共样本点组成的事务称为A与B的积(或交)AB(或A∩B)互斥事务给定事务A，B，若事务A，B不能同时发生，则称A与B互斥AB＝∅(或A∩B＝∅)对立事务给定样本空间Ω与事务A，由Ω中全部不属于A的样本点组成的事务称为A的对立事务记为AP(A)＋P(A)＝12.概率加法公式(1)假如事务A与事务B互斥，则有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．一般地，假如A1，A2，…，An是两两互斥的事务，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(2)假如事务A与事务B互为对立事务，那么A＋B为必定事务，则有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1．■名师点拨(1)互斥事务与对立事务的区分与联系①区分：两个事务A与B是互斥事务，包括如下三种状况：(ⅰ)若事务A发生，则事务B就不发生；(ⅱ)若事务B发生，则事务A不发生；(ⅲ)事务A，B都不发生．而两个事务A，B是对立事务，仅有前两种状况，因此事务A与B是对立事务，则A＋B是必定事务，但若A与B是互斥事务，则A＋B不肯定是必定事务，亦即事务A的对立事务只有一个，而事务A的互斥事务可以有多个．②联系：互斥事务和对立事务在一次试验中都不行能同时发生，而事务对立是互斥的特别状况，即对立必互斥，但互斥不肯定对立．(2)从集合的角度理解互斥事务与对立事务①几个事务彼此互斥，是指由各个事务所含的结果组成的集合的交集为空集．②事务A的对立事务eq\o(A,\s\up10(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事务A所含的结果组成的集合的补集．(3)对互斥事务的概率加法公式的三点相识①前提条件：事务A与B是互斥事务，假如没有这一条件，加法公式将不成立．②特别状况：当事务A与B是对立事务时，P(B)＝1－P(A)．③应用方法：在求某些较困难的事务的概率时，可将其分解成一些概率较简洁求的彼此互斥的事务，或与其对立的事务，化整为零，化难为易．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)互斥事务肯定对立．()(2)对立事务肯定互斥．()(3)事务A与B的和事务的概率肯定大于事务A的概率．()(4)事务A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中随意抽取5件，现给出以下四个事务：事务A：“恰有一件次品”；事务B：“至少有两件次品”；事务C：“至少有一件次品”；事务D：“至多有一件次品”．并给出以下结论：①A＋B＝C；②D＋B是必定事务；③A＋B＝B；④A＋D＝C.其中正确的序号是()A．①② B．③④C．①③ D．②③解析：选A.A＋B表示的事务：至少有一件次品，即事务C，所以①正确，③不正确；D＋B表示的事务：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了全部状况，所以②正确；A＋D表示的事务：至多有一件次品，即事务D，所以④不正确．(2024·广西钦州市期末考试)抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事务A，则A的对立事务是()A．至多抽到2件次品B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品D．至多抽到1件次品解析：选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2个，所以A的对立事务是抽查10件产品中次品的数目最多有1个．故选D.某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为________．解析：由题意，在该产品中任抽一件，“抽到优质品”与“抽到合格品或次品”是对立事务，所以在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为P＝1－0.25－0.03＝0.72.答案：0.72互斥事务与对立事务的推断某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参与演讲竞赛，推断下列每对事务是不是互斥事务，假如是，再推断它们是不是对立事务．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．【解】推断两个事务是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事务是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不行能同时发生，所以它们是互斥事务；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事务．(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事务．(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不行能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事务．(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事务．eq\a\vs4\al()(1)包含关系、相等关系的判定①事务的包含关系与集合的包含关系相像；②两事务相等的实质为相同事务，即同时发生或同时不发生．(2)推断事务是否互斥的两个步骤第一步，确定每个事务包含的结果；其次步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事务都发生，若是，则两个事务不互斥，否则就是互斥的．(3)推断事务是否对立的两个步骤第一步，推断是互斥事务；其次步，确定两个事务必定有一个发生，否则只有互斥，但不对立．推断下列给出的每对事务，是否为互斥事务，是否为对立事务，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．解：(1)是互斥事务，不是对立事务．理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不行能同时发生的，所以是互斥事务．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事务．(2)既是互斥事务，又是对立事务．理由是：从40张扑克牌中，随意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事务不行能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事务，又是对立事务．(3)不是互斥事务，也不是对立事务．理由是：从40张扑克牌中随意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事务可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事务，当然也不行能是对立事务．事务的运算盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事务A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事务B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事务C＝{3个球中至少有1个红球}，事务D＝{3个球中既有红球又有白球}．求：(1)事务D与A、B是什么样的运算关系？(2)事务C与A的交事务是什么事务？【解】(1)对于事务D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A＋B.(2)对于事务C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故CA＝A.[变条件、变问法]在本例中，设事务E＝{3个红球}，事务F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事务C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事务是什么？解：由事务C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种状况，故A⊆C，B⊆C，E⊆C，所以C＝A＋B＋E.而事务F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以CF＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.eq\a\vs4\al()(1)利用事务间运算的定义，列出同一条件下的试验全部可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事务间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验全部可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．掷一枚骰子，下列事务：A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}．求：(1)AB，BC；(2)A＋B，B＋C；(3)D，AC，D＋E.解：(1)AB＝∅，BC＝{出现2点}．(2)A＋B＝{出现1或2或3或4或5或6点}，B＋C＝{出现1或2或4或6点}．(3)D＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；AC＝{出现1点}；D＋E＝{出现1或2或4或5点}．利用互斥、对立事务求概率一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．【解】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事务分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.(1)P(射中10环或9环)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)事务“至少射中7环”与事务E“射中7环以下”是对立事务，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87.所以至少射中7环的概率为0.87.[变问法]在本例条件下，求射中环数小于8环的概率．解：事务“射中环数小于8环”包含事务D“射中7环”与事务E“射中7环以下”两个事务，则P(射中环数小于8环)＝P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.eq\a\vs4\al()互斥事务、对立事务概率的求解方法(1)互斥事务的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(2)对于一个较困难的事务，一般将其分解成几个简洁的事务，当这些事务彼此互斥时，原事务的概率就是这些简洁事务的概率的和．(3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，经常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：人数01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出医生至多2人的概率；(2)求派出医生至少2人的概率．解：设“不派出医生”为事务A，“派出1名医生”为事务B，“派出2名医生”为事务C，“派出3名医生”为事务D，“派出4名医生”为事务E，“派出5名及5名以上医生”为事务F，事务A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A＋B)＝1－0.1－0.16＝0.74.1．掷一枚质地匀称的骰子，记事务M＝{出现的点数是1或2}，事务N＝{出现的点数是2或3或4}，则下列关系成立的是()A．M＋N＝{出现的点数是2}B．MN＝{出现的点数是2}C．M⊆ND．M＝N解析：选B.M＋N＝{出现的点数是1或2或3或4}，MN＝{出现的点数是2}，A不正确，B正确；当出现的点数是1时，M发生，N不发生，故C，D都不正确．2．若A与B为互斥事务，则()A．P(A)＋P(B)<1 B．P(A)＋P(B)>1C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1解析：选D.若A与B为互斥事务，则P(A)＋P(B)≤1.故选D.3．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事务“取出1个红球和2个白球”的对立事务是()A．取出2个红球和1个白球B．取出的3个球全是红球C．取出的3个球中既有红球也有白球D．取出的3个球中不止一个红球解析：选D.从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球可能的状况有：“3个红球”“1红2白”“2红1白”，所以事务“取出1个红球和2个白球”的对立事务是“3红或是2红1白”即“3个球不止一个红球”．故选D.4．从一箱苹果中任取一个，假如其质量小于200克的概率为0.2，质量在[200，300]内的概率为0.5，那么质量超过300克的概率为________．解析：设质量超过300克的概率为P，因为质量小于200克的概率为0.2,质量在[200，300]内的概率为0.5，所以0.2＋0.5＋P＝1，所以P＝1－0.2－0.5＝0.3.答案：0.3[A基础达标]1．打靶3次，事务Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1＋A2＋A3表示()A．全部击中 B．至少击中1发C．至少击中2发 D．以上均不正确解析：选B.A1＋A2＋A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事务中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发，故选B.2．把红、黑、白3张纸牌随机地分给甲、乙、丙3个人，每个人分得1张，事务“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A．对立事务B．两个不行能事务C．互斥但不对立事务D．两个概率不相等的事务解析：选C.把红、黑、白3张纸牌随机地分给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事务“甲分得红牌”与事务“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，所以事务“甲分得红牌”与事务“乙分得红牌”是互斥但不对立事务．故选C.3．甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是eq\f(1,2)，乙获胜的概率是eq\f(1,3)，则甲获胜的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,6)C.eq\f(1,6) D.eq\f(2,3)解析：选C.因为甲不胜的概率是两个人和棋或乙获胜，故甲胜的概率为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)))＝eq\f(1,6).故选C.4．某校高三(1)班50名学生参与1500m体能测试，其中23人成果为A，其余人成果都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是()A．0.14 B．0.20C．0.40 D．0.60解析：选A.由于成果为A的有23人，故抽到C的概率为1－eq\f(23,50)－0.4＝0.14.故选A.5．若事务A和B是互斥事务，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是()A．[0，0.9] B．[0.1，0.9]C．(0，0.9] D．[0，1]解析：选A.由于事务A和B是互斥事务，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A＋B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9.故选A.6．若A，B为互斥事务，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，则P(B)＝________．解析：因为A，B为互斥事务，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B),所以P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.答案：0.37．某人在一次射击中，命中9环的概率为0.28，命中8环的概率为0.19，不够8环的概率为0.29，则该人在一次射击中命中9环或10环的概率为________．解析：某人在一次射击中，命中9环的概率为0.28，命中8环的概率为0.19，不够8环的概率为0.29，所以该人在一次射击中命中9环或10环的概率为P＝1－0.19－0.29＝0.52.答案：0.528．某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：月收入[1000，1500)[1500，2000)[2000，2500)[2500，3000)概率0.12ab0.14已知月收入在[1000，3000)内的概率为0.67，则月收入在[1500，3000)内的概率为________．解析：记这个商店月收入在[1000，1500)，[1500，2000)，[2000，2500)，[2500，3000)范围内的事务分别为A，B，C，D，因为事务A，B，C，D互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.67，所以P(B＋C＋D)＝0.67－P(A)＝0.55.答案：0.559．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)假如他乘某种交通工具去的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？解：(1)记“他乘火车去”为事务A1，“他乘轮船去”为事务A2，“他乘汽车去”为事务A3，“他乘飞机去”为事务A4，这四个事务不行能同时发生，故它们彼此互斥，故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.(3)由于0.3＋0.2＝0.5，0.1＋0.4＝0.5，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．10．某省是中学新课程改革试验省份之一，依据规定每个学生都要参与学业水平考试，全部及格才能毕业，不及格的可进行补考．某校有50名同学参与物理、化学、生物学业水平测试补考，已知只补考物理的概率为eq\f(9,50)，只补考化学的概率为eq\f(1,5)，只补考生物的概率为eq\f(11,50).随机选出一名同学，求他不止补考一门的概率．解：设“不止补考一门”为事务E，“只补考一门”为事务F，“只补考物理”为事务A，则P(A)＝eq\f(9,50)，“只补考化学”为事务B，则P(B)＝eq\f(1,5)，“只补考生物”为事务C，则P(C)＝eq\f(11,50).这三个事务为互斥事务，所以P(F)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(30,50)＝0.6.又因为事务E和事务F互为对立事务．所以P(E)＝1－P(F)＝1－0.6＝0.4.即随机选出一名同学，他不止补考一门的概率为0.4.[B实力提升]11．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中随意取出3件，设E表示事务“3件产品全不是次品”，F表示事务“3件产品全是次品”，G表示事务“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是()A．F与G互斥B．E与G互斥但不对立C．E，F，G随意两个事务均互斥D．E与G对立解析：选D.由题意得事务E与事务F不行能同时发生，是互斥事务；事务E与事务G不行能同时发生，是互斥事务；当事务F发生时，事务G肯定发生，所以事务F与事务G不是互斥事务．故A，C错．事务E与事务G中必有一个发生，所以事务E与事务G对立，所以B错误，D正确．12．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为eq\f(1,6).事务A表示“小于5的偶数点出现”，事务B表示“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事务A＋B(B表示事务B的对立事务)发生的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)解析：选C.由题意知，eq\o(B,\s\up10(－))表示“大于或等于5的点数出现”，事务A与事务eq\o(B,\s\up10(－))互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋eq\o(B,\s\up10(－)))＝P(A)＋P(eq\o(B,\s\up10(－)))＝eq\f(2,6)＋eq\f(2,6)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).13．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天起先营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发觉存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为________．解析：商店不进货即日销售量少于2件，明显“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不行能同时发生，彼此互斥，分别计算两事务发生的频率，将其视作概率，利用概率加法公式可解．记“当天商品销售量为0件”为事务A，“当天商品销售量为1件”为事务B，“当天商店不进货”为事务C，则P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)14．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放状况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)设“厨余垃