2024-2025学年高中数学第1章三角函数章末复习课讲义苏教版必修4

PAGE1-第1章三角函数随意角的三角函数概念(1)已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sinα＋cosα(2)函数y＝eq\r(sinx)＋eq\r(2cosx－1)的定义域是________．思路点拨：(1)依据三角函数的定义求解，留意探讨m的正负．(2)利用三角函数线求解．(1)eq\f(2,5)或－eq\f(2,5)(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))[(1)r＝|OP|＝eq\r(－4m2＋3m2)＝5|m|.当m>0时，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(3m,5m)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－4m,5m)＝－eq\f(4,5)，∴2sinα＋cosα＝eq\f(2,5).当m<0时，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(3m,－5m)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－4m,－5m)＝eq\f(4,5)，∴2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5).故2sinα＋cosα的值是eq\f(2,5)或－eq\f(2,5).(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,2cosx－1≥0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,cosx≥\f(1,2)，))如图，结合三角函数线知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z，,2kπ－\f(π,3)≤x≤2kπ＋\f(π,3)k∈Z，))解得2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，∴函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).]三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：1随意角和弧度制.理解随意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.2随意角的三角函数.驾驭随意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线推断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.1．(1)已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α的终边经过点P(－eq\r(3)，y)，且sinα＝eq\f(\r(3),4)y(y≠0)，推断角α所在的象限，并求cosα和tanα的值；(2)若角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋eq\f(3,cosα)的值．[解](1)依题意，点P到原点O的距离为|PO|＝eq\r(－\r(3)2＋y2)，∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,\r(3＋y2))＝eq\f(\r(3),4)y.∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝eq\f(7,3)，∴y＝±eq\f(\r(21),3).∴点P在其次或第三象限．当点P在其次象限时，y＝eq\f(\r(21),3)，cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(3,4)，tanα＝－eq\f(\r(7),3).当点P在第三象限时，y＝－eq\f(\r(21),3)，cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(3,4)，tanα＝eq\f(\r(7),3).(2)设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(k2＋－3k2)＝eq\r(10)|k|.当k>0时，r＝eq\r(10)k.∴sinα＝eq\f(－3k,\r(10)k)＝－eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(\r(10)k,k)＝eq\r(10).∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0.当k<0时，r＝－eq\r(10)k.∴sinα＝eq\f(－3k,－\r(10)k)＝eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(－\r(10)k,k)＝－eq\r(10).∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0.综上，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝0.同角三角函数的基本关系与诱导公式已知关于x的方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的两根为sinθ，cosθ，θ∈(0,2π)．求：(1)eq\f(cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＋cos－π－θ)＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)),1＋tanπ－θ)；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．思路点拨：先利用根与系数的关系得到sinθ＋cosθ与sinθcosθ，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式求解．[解]由根与系数的关系，得sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3)＋1,2)，sinθcosθ＝eq\f(m,2).(1)原式＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－\f(sinθ,cosθ))＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)－eq\f(cos2θ,sinθ－cosθ)＝sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3)＋1,2).(2)由sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3)＋1,2)，两边平方可得1＋2sinθcosθ＝eq\f(4＋2\r(3),4)，1＋2×eq\f(m,2)＝1＋eq\f(\r(3),2)，m＝eq\f(\r(3),2).(3)由m＝eq\f(\r(3),2)可解方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋eq\f(\r(3),2)＝0，得两根eq\f(1,2)和eq\f(\r(3),2).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(1,2)，,cosθ＝\f(\r(3),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(\r(3),2)，,cosθ＝\f(1,2).))∵θ∈(0,2π)，∴θ＝eq\f(π,6)或eq\f(π,3).同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明.常用以下方法技巧：1化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形.2化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形.3“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然特别简洁，但有些三角函数式的化简却须要利用三角函数公式将1代换为三角函数式.2．已知f(α)＝eq\f(sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－eq\f(47π,4)，求f(α)的值．[解](1)f(α)＝eq\f(sin2α·cosα·tanα,－sinα－tanα)＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinα·cosα＝eq\f(1,8)可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).又∵eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0，∴cosα－sinα＝－eq\f(\r(3),2).(3)∵α＝－eq\f(47π,4)＝－6×2π＋eq\f(π,4)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(47π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(47π,4)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(47π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(π,4)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)·sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).三角函数的图象与性质已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1ω>0，A>0,0<φ<eq\f(π,2)的周期为π，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(3)＋1，且f(x)的最大值为3.(1)写出f(x)的表达式；(2)写出函数f(x)的对称中心，对称轴方程及单调区间；(3)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．思路点拨：(1)由T＝eq\f(2π,ω)求ω，由f(x)的最大值为3求A，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(3)＋1，求φ.(2)把ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sinx的单调区间与对称性求解．(3)由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))求出ωx＋φ的范围，利用单调性求最值．[解](1)∵T＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2.∵f(x)的最大值为3，∴A＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(3)＋1，∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＋1＝eq\r(3)＋1，∴cosφ＝eq\f(\r(3),2).∵0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1.(2)由f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1，令2x＋eq\f(π,6)＝kπ，得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z)，∴对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，1))(k∈Z)．由2x＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)，∴对称轴方程为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)．由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，得kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，∴f(x)的单调增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，∴f(x)的单调减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)．(3)当0≤x≤eq\f(π,2)时，eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，∴－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤1，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值为3，最小值为0.三角函数的图象是探讨三角函数性质的基础，又是三角函数性质的详细体现.在平常的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、视察来探讨函数的有关性质.详细要求：1用“五点法”作y＝Asinωx＋φ的图象时，确定五个关键点的方法是分别令eqωx＋φ＝0，\f(π,2)，π，\f(3π,2)，2π.2对于y＝Asinωx＋φ的图象变换，应留意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区分.3已知函数图象求函数y＝Asinωx＋φA＞0，ω＞0的解析式时，常用的解题方法是待定系数法.3．函数f(x)＝cos(πx＋φ)0<φ<eq\f(π,2)的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x0的值；(2)设g(x)＝f(x)＋fx＋eq\f(1,3)，求函数g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))上的最大值和最小值．[解](1)由题图得f(0)＝eq\f(\r(3),2)，所以cosφ＝eq\f(\r(3),2)，因为0<φ<eq\f(π,2)，故φ＝eq\f(π,6).由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x0<2.故eq\f(7π,6)<πx0＋eq\f(π,6)<eq\f(13π,6)，由f(x0)＝eq\f(\r(3),2)得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx0＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)，所以πx0＋eq\f(π,6)＝eq\f(11π,6)，x0＝eq\f(5,3).(2)因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,2)))＝－sinπx，所以g(x)＝f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,6)))－sinπx＝cosπxcoseq\f(π,6)－sinπxsineq\f(π,6)－sinπx＝eq\f(\r(3),2)cosπx－eq\f(1,2)sinπx－sinπx＝eq\f(\r(3),2)cosπx－eq\f(3,2)sinπx＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－πx)).当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))时，－eq\f(π,6)≤eq\f(π,6)－πx≤eq\f(2π,3).所以－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－πx))≤1，故eq\f(π,6)－πx＝eq\f(π,2)，即x＝－eq\f(1,3)时，g(x)取得最大值eq\r(3)；当eq\f(π,6)－πx＝－eq\f(π,6)，即x＝eq\f(1,3)时，g(x)取得最小值－eq\f(\r(3),2).数形结合思想【例4】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R其中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)在一个周期内的简图如图所示，求函数g(x)＝f(x)－lgx零点的个数．思路点拨：eq\x(识图)→eq\x(求A，ω，φ)→eq\x(画出fx及y＝lgx的图象)→eq\x(下结论)[解]明显A＝2.由图象过(0,1)点，则f(0)＝1，即sinφ＝eq\f(1,2)，又|φ|＜eq\f(π,2)，则φ＝eq\f(π,6).又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，0))是图象上的点，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝0，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)ω＋\f(π,6)))＝0，由图象可知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，0))是图象在y轴右侧部分与x轴的其次个交点．∴eq\f(11π,12)ω＋eq\f(π,6)＝2π，∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).在同一坐标系中作函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))和函数y＝lgx的示意图如图所示：∵f(x)的最大值为2，令lgx＝2，得x＝100，令eq\f(11,12)π＋kπ＜100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而eq\f(11,12)π＋31π＞100，∴在区间(0,100]内有31个形如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11,12)π＋kπ，\f(17,12)π＋kπ))(k∈Z,0≤k≤30)的区间，在每个区