贵州省贵阳市2023-2024学年高一年级上册1月期末考试 数学试卷

第一学期期末质量监测试卷

局一数学

本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1,已知集合T}6{T。」},则A5=（）

A.[0,1]B.{0,1}c.{-1,0,1}D.（-l,+oo）

2.cos300°=（）

R超

A11D.一3

D.---------c.——

2222

3.命题夕：[-1,4],兀2一3九一4<0,则R（）

A.X/x£[—1,4],%2—3%—4>0B.Hx£[-1,4],%2—3x-4Vo

C.Hx£[—1,4],X21—3x—4>0D.X/x£（-oo,—1）（4,+oo^,x2—3x—4>0

4.已知〃=3S5]=log30.5,c=log3（）.9,则它们的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.b<c<a

5.己知幕函数y=/（x）的图象过点；2,当j,下列说法正确的是（）

A.f[x）=4xB.九）的定义域是（一8,+<6）

C./（X）在（0,+。）上为减函数D.八%）为奇函数

6.设函数〃耳=1中;卜二，则使得〃2x）>/（x—3）成立x的取值范围是（）

A.(-3,+00)B.(^20,-3)O(l,+<»)c.(-3,1)D.(-00,-3)

7.设函数/(x)=sinox,若函数g(x)=/(%)—1在［0,可上恰有3个零点，则正实数0的取值范围是

()

(913、「913、(1317、「1317、

A，［I'T)BL2^J。［彳，5JD.［了，万J

3

8.当xe(—l,l)时，不等式2日2—日——<0恒成立，则上的取值范围是()

8

A.(—3,0)B,[-3,0)C.^-3,—jD.1一3,可

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.下列函数为偶函数的是()

A./(x)=x4+cosxB./(x)=x5+tzsinx

C.f(x)=—+xD./(X)=X2+|X|+2

X

10,已知a>0,b>。，且Q+Z?=1,贝ij()

71

A.ab<—B.log2di+log2/2<-2

4

c.6Z2+/?2>1D.2a+2b>242

11.如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数

y=24cos(如+0)+Z7(A>O,G>OJ4<兀)，则(

B.A=20

I7171)

D.这段曲线解析式是y=20cosgx+工+10

_|_2x_3犬<0

12.已知函数/(%)='—'设/(%)=左的实数解个数为方,则()

[Inx,x>0,

A.当『=1时，^e(-00,-4]B.当/=2时，左e(—3,+e)

C.当/=3时，旌(T—3]D.函数”力的值域为R

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

已知cos(a—45。)=1,贝ij5山(45。+?)=

13.

Y

14.函数y=------------(%>0)的最大值为.

x2%+4

71兀

15.将函数y=2cos(2x+§)的图象向右平移I个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得

到函数y=g(x)的图象，则函数g(x)的解析式是.

16.我们知道，函数y="x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x)为奇函数，有

同学发现可以将其推广为:函数y=/(x)的图象关于点尸(“力)成中心对称图形的充要条件是函数

y=/(x+a)-b为奇函数，函数/(%)=/-6必图象的对称中心为.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.己知集合A={x|lVx<5},集合3={%|1+机4%«2-〃2}.

(1)若机=-1,求Au35；

(2)若集合A,3满足条件：①人。5=5；②AB=A；③xeA是xeB的必要条件.从以上三个条

件中任选一个，求实数加的取值范围.

18.⑴计算12：：-(乔]+log2次+小.

(2)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为3%,现

进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少,，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数(参考数据：

3

lg2«0.301,lg3«0.477).

19.(1)tan70°cos10°(A/3tan200-1).

(2)已知cos。=±cos(a+/)=一巳，且0,^,求夕的值.

20.已知函数〃%)=sinxcosX+百sin?%———.

(1)求函数/(%)的最小正周期及单调递减区间；

JTJT

(2)求函数在区间一1，工上的最大值、最小值.

21.已知/(XHZ'+bNr奇函数，ga)=ln(e*+l)—依是偶函数.

(1)求a力的值；

(2)若不等式/^(冷》/何—力恒成立，求xe[0,+8)时实数加的取值范围.

22.若函数/(%)的定义域为R,且/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y),/[g]=；

(1)求/(0)的值，并证明函数/(%)是偶函数；

(2)判断函数“X)是否为周期函数并说明理由，求出”—2024)+42024)的值

2023-2024学年第一学期期末质量监测试卷

局一数学

本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号

条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合L，I则A()

A.[0,1]B,{0,1}C.{-1,0,1}D.

(-l,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的交集运算求解即可.

【解析】因为集合4={目%>-1},3={-1,0,1},

所以AB=

故选：B.

2.cos300°=()

【答案】A

【解析】

【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.

［解析］cos300°=cos(360°-60°)=cos60°=-.

2

故选：A

3.命题夕：VX£[—1,4],%2—3%—4<0,则力为（）

A.X/尤£[—1,4],%2—3%—4>0B.3%£[—1,4],%?—3x—440

C.3%G[—1,4],x2—3x—4>0D.

Vxe（-co,-l）（4,+co）,%2-3x-4>0

【答案】C

【解析】

【分析】根据含有一个量词的否定即可得到答案.

【解析】因为命题p:Vxe[—3x—4W0,

所以根据含有一个量词的否定可知-TP：3XG[-1,4],X2-3X-4>0,

故选：C.

4.己知。=3°5）=log30.5,c=log3（）.9,则它们的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<a<cC,a<b<cD.

b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及指数、对数运算判定大小即可.

【解析】易知y=iog3》在定义域（0,+“）上单调递增，故）<c,

05

又y=3,也在定义域R单调递增，所以a=3.〉3°=1=log33>log30.9=c,

所以b<c<a.

故选：D

5.已知累函数y=/（x）的图象过点2,^-,下列说法正确的是（）

I2）

A./（x）=V%B.“X）的定义域是（一8,4<0）

C.在（0,+8）上为减函数D.为奇函数

【答案】C

【解析】

【分析】由幕函数图象上的点，求出解析式，利用解析式分析函数性质.

B1

【解析】设事函数=由/（2）=2。=/，解得a=—

_11

由/（x）=x2=—尸，A选项错误；

yjx

“X）的定义域是（0,+"）,B选项错误；

了（%）在（0,+。）上减函数，c选项正确；

由定义域可知，函数/（%）为非奇非偶，D选项错误.

故选：C

6.设函数/（%）=1川乂—二，则使得〃2x）＞/（x—3）成立的x的取值范围是（）

X

A.（-3,+GO）B.（ro,-3）U（l,+oo）C.D.

S,-3）

【答案】B

【解析】

【分析】分析函数性质，得了（%）为偶函数且在（0,+。）上单调递增，不等式等价于

|2x|＞|^-3|,解出即可.

【解析】函数"x）=ln|x|—』，定义域为（y,0）U（0,+s）,

/(-x)=ln|-x|--^-y=ln|x|-4=/W,

函数为偶函数,

(一"工

当冗＞0时，/（犬）=ln%——»

由函数y=Inx和y=-4在（0,+。）上都单调递增，得〃尤）在（0,+。）上单调递增,

X

则"%）在（—8,0）上单调递减，

由/（2x）＞/（x—3）,得|2（4-3|,即（2x）2〉（％-3六解得x＜—3或x〉l,

所以X的取值范围是(Y,—3)U(1,+8).

故选：B

7.设函数/(x)=sin&a,若函数g(x)=/(x)-l在[0,兀]上恰有3个零点，则正实数。的

取值范围是()

9139131317

2'T25T万'万

1口)

h52J

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦函数的图象与性质计算即可.

【解析】由题意可知g(x)=/(%)—1=0,即sinox=l在[0,可上恰有3个解,

因为xe[0,7i]=>QXW[0,6OT],

9兀13兀913

所以由正弦函数的图象与性质可知：coneT,-noe25T

故选：B

3

8.当xe(—L1)时，不等式2日2—履—§<0恒成立，则上的取值范围是(

A.(-3,0)B.[-3,0)

-3-

'8

【答案】D

【解析】

【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.

3

【解析】当xe(—1,1)时，不等式2履2—履—§<o恒成立,

当左=0时，满足不等式恒成立;

3

当上wO时，令/（x）=2而2—依——，则/（力＜0在（—1,1）上恒成立,

8

函数/（%）的图像抛物线对称轴为X=；,

左＞（）时，”X）在卜1,；）上单调递减，在m上单调递增，

3

f(-l)=2k+k<0

8

则有《解得0＜V；

3O

f(l)=2k-k--<0

o

左＜0时，/（X）在上单调递增，在上单调递减,

则有七（1}=正2k一7k丁3①解得-3*0.

综上可知，女的取值范围是［-3,g.

故选：D.

【小结】方法小结：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不

能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解,

体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0

分）

9.下列函数为偶函数的是（）

A./(x)=x4+cos%B.f(A:)=x5+asinx

2

C.f(x)=-T+xD./(x)=x+|%|+2

【答案】AD

【解析】

【分析】根据偶函数的定义判断四个选项即可.

【解析】对于A选项，〃力=犬+85%定义域为区，关于原点对称,

/(-x)=(-X)4+cos(-x)=X4+COSX,所以/(%)为偶函数，故A正确;

对于B选项，/(%)=■?+〃sinx定义域为R,关于原点对称,

〃一%)=(-%)5+“sin(-司二一/一窿血=-/(%),所以/(%)为奇函数，故B错误;

对于C选项，/(%)=3+］定义域为(—8,0)°(0,+8),关于原点对称,

X

/(—£*=1卞+(—£)=*—X，所以/(%)为非奇非偶函数，故c错误;

对于D选项，/(x)=f+W+2定义域为R,关于原点对称，

/(—%)=(—尤了+卜乂+2=/+国+2=/(%),所以“X)为偶函数，故D正确,

故选：AD.

10.已知a>03>0,且=贝U(

,1

A.ab<—B.log2tz+log2/?<-2

4

C.a2+Zj2>1D.2a+2b>2y/2

【答案】ABD

【解析】

【分析】由基本不等式求各选项是否正确.

【解析】已知a>0/>0,且。+人=1,

ab<{^\=-，当且仅当a=人=，等号成立，A选项正确；

I2J42

log2a+log2Z?=log2a/?<log2^=-2,当且仅当a=Z?=万等号成立，B选项正确；

l=(a+b)1=a-+b2+2ab<2^a-+b~),a2+b2>^,当且仅当a=b=；等号成立，C

选项错误；

2"+2"22也"x2'=2A/F7r=20，当且仅当2"=2"，即a=b=g等号成立，D选项

正确；

故选：ABD

11.如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数

y=Acos(5+0)+Z?(A>OM>O,|a<兀),则()

y

30,

20

O\vv68101214x

71

A.(D=一B.A=20

8

一兀

C.cp=一D.这段曲线解析式是

4

71

y=20cos—兀x+—+1m0

84)

【答案】AC

【解析】

【分析】由最值求出A力，由周期求出由曲线上的点求出9,验证各选项即可.

A+b=3Q

【解析】依题意有《-A+"=l。’解得A=l°”2。，B选项错误;

27rTT

函数最小正周期7=2(14-6)=16=—,得@=可，A选项正确;

CO

f37T),

x=6时，10cos^6x—++20—10,贝|]叫彳+9)=-1,

3兀71

得彳+°=兀+2左兀(左wZ),由〈兀，得。="c选项正确;

(771171\

所以这段曲线的解析式是y=10COS-x+-+20,D选项错误.

故选：AC

d+2%—3,xWO,z、

12.己知函数/'(%)=<设/(x)=上的实数解个数为乙则()

lux,x>0,

A.当/=1时，左e(-co,B.当/=2时，左e(—3,+8)

C.当力=3时,左£(—4,—3]D.函数7(%)的值域为R

【答案】CD

【解析】

【分析】利用函数图像，得到函数值域，由/(%)=左实数解的个数，判断左的取值范围.

【解析】利用二次函数和对数函数的图像和性质，作出了(%)的函数图像，如图所示,

/(-1)=-4,/(0)=-3,

由函数图像可知，当/=1时，左e(Yo,-4),A选项错误;

当/=2时，左e(—3,+。){T},B选项错误；

当r=3时，左e(-4,—3],C选项正确；

函数7(%)的值域为R，D选项正确.

故选：CD.

【小结】方法小结：

方程的根或函数零点个数的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令/(无)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且

/(a)-/(/?)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少

个零点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横

坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

（a—45。）=[,贝!]sin（45o+tz）=

13.已知COS

4

【答案】1##0.8

【解析】

【分析】根据（45。+。）一（。一45。）=90。，

sin（45°+。）=sin[90。+（a-45。）]=cos（a—45。）求解即可.

【解析】因为cos（a—45。）=[,（45°+。）—（。—45。）=90°,

Li4

所以sin（45°+o）=sin[90。+（a-45°）J=cos（a-45°）二—,

4

故答案为：—.

x

14.函数y=-y--------（x>0）的最大值为.

x2%+4

【答案】1##0.5

【解析】

—2_y+4

【分析】利用基本不等式，求出%>0时，-―三士？的最小值，可得函数

4

当且仅当x=一，即尤=2时等号成立,

x

则有丁——

x—2%+42

所以当、=2时’函数尸"的最大值为1

故答案为：3

JT7T

15.将函数y=2cos（2x+§）的图象向右平移I个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵

坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则函数g。）的解析式是.

【答案】g(x)=2cos(x—《)(答案不唯一，如g(x)=2sin[x+(J)

【解析】

【分析】根据给定的信息，利用三角函数图象变换法则求出解析式.

JT7T

【解析】将函数y=2cos(2x+])的图象向右平移I个单位，得函数

JiJIJI

y=2cos[2(%——)+—]=2cos(2x——)的图象，

436

再把所得图象上各点横坐标伸长到原来2倍，纵坐标不变，得y=2cos(x-2)的图象，

6

所以函数g(x)的解析式是g(x)=2cos(x-》,

6

JT

故答案为：g(x)=2cos(x--)

6

16.我们知道，函数＞=/(尤)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数

y=/(元)为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数y=的图象关于点P(a,b)成中心

对称图形的充要条件是函数y=/(x+a)—人为奇函数，函数/(x)=x3-6x2图象的对称中

心为.

【答案】(2,-16)

【解析】

【分析】首先设/(%)=必—6必的对称中心为3〃)，根据函数y=/(x+a)—b为奇函数

可得/(—X+a)-b=-f(x+a)+b,构造方程组即可解得a=2,b=-16.

【解析】根据题意，设/(x)=V—6必对称中心为(a,切，

则由函数y=/(x+a)—b为奇函数可得/(_%+a)_6=_/(x+a)+6,

变形可得/(—x+a)+/(x+a)=2b,即

(一九+。)3—6(一九+a)~+(x+a)3-6(x+a)-=2b；

6a-12=0

整理可得(6a—12)f+2a3_i2a2=2b,所以＜

2a3—12/=2。

解得a=2,b=-16,所以其对称中心为(2,—16).

故答案为：（2T6）

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤）

17.己知集合4={可1<%«5},集合5={%|1+机《%«2-"?）.

（1）若m=-l,求Au条3；

（2）若集合AB满足条件:①=②A3=A；③尤eA是xeB的必要条件.从

以上三个条件中任选一个，求实数加的取值范围.

【答案】⑴ADQ3={HX<0或x»l}

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）由补集和并集的定义直接求解；

（2）由所选条件，得两个集合的包含关系，列不等式求实数加的取值范围.

【小问1解析】

由相=-1,得3={可0Vx«3},则为3={x|尤<0或x>3},

所以4°为3={可％<0或％之1}.

【小问2解析】

选择①

因为AD5=5，所以

1+7W<1

则有Lu,解得力K—3，

2-m>5

所以实数用的取值范围为（-*-3].

选择②

因为A「B=A,所以AgB,

1+<1

则有Lu,解得力K—3，

2-m>5

所以实数用的取值范围为（-*-3].

选择③

因为xeA是xwB的必要条件，所以BoA,

当5=0时，有1+机>2-机，解得机>］,此时符合50A；

当6片0时，由5=^\<\+m<2—m<5,WW1Q<m<—

~2

所以实数m的取值范围为［0,+。）

£

18.（1）计算121J—（为］+Iog2g+/3.

（2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质

含量为3%,现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少工，求使产品达到市场要求的过滤

3

的最少次数（参考数据：lg220.301,lg3”0.477）.

24

【答案】（1）y；（2）9

【解析】

【分析】（1）由指数式和对数式的运算规则化简计算.

（2）由题意列指数不等式，利用两边取对数的方法，结合对数式的运算规则求解.

【解析】（1）

1J..、-3

ln3ln3

阊2—（珂+log2^/2+e+log22^+e=|-1+|+3=y-

（2）设经过几次过滤，产品达到市场要求，

<------

1000

2

所以祖g§K—lg30,即〃(坨2—Ig3)<—(1+坨3),

1+坨31.477

即“2《8.4,

Ig3-lg20.176

所以使产品达到市场要求的过滤的最少次数为9次.

19.（1）计算tan70°cos10°（由tan20°-1）.

I17兀T

(2)已知cosa=g,cos(o+/)=-一,且0,-,求£的值.

1422

7T

【答案】（1）-1;（2）-

3

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函数的关系和辅助角公式化简求值;

（2）13=（a+/3）-a,利用同角三角函数的关系和两角差的余弦公式求值.

包匕。’Gsin20。/

【解析】(1)tan70°cos10°(V3tan200-l)=coslO

cos70°、cos20°,

包"xcosl。。(百sin20。-cos20。)

cos70°cos20°

7

您迎xcoslO。

sin20°

7

2cos10°sin100_1

sin20°—:

71111

(2)因为0,—,cosa=—,cos(a+，)=-

2714,

所以。+/?£[5，兀），所以sin。=A/1-COS26Z=士叵,

755/3

sin(6Z+/)=^1-cos2(a+P)=——

、了)14

所以cos/?=cos+尸)一a]=cos[a+/?)cosa+sin(a+4)sini

(15A/34A/31

=--------X—H---------------X----------=—,

V14j71472

jrrr

又因为，e0,-,所以〃=§.

20.已知函数/(x)=sinxcosx+Gsin?》-

（1）求函数/（%）的最小正周期及单调递减区间;

（2）求函数/（%）在区间-上的最大值、最小值.

57r11兀

【答案】（1）最小正周期为兀，单调递减区间为fer+—,for+—（左eZ）

（2）最大值是:，最小值是-1

【解析】

【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由公式计算最小正周期及单调递

减区间；

（2）由函数定义区间，利用正弦函数的图像和性质，求出值域.

【小问1解析】

f（x）=sinxcosx+V3sin2x--=—sin2x-cos2x=sinflx-—,

V'2223J

27r

所以，函数外力的最小正周期/=々-二兀.

由24兀+]<2阮+三（左GZ）,得：+<x<kjt+^^-[kGZ）,

Sjr11jr

所以函数八％）的单调递减区间为kn+—,kn+—（左eZ）.

【小问2解析】

.兀//兀/口57r-7T7T.兀）

由—一,得----K2xK—,贝14sin2x---<一,

446363J2

所以函数了（%）在区间一上的最大值是最小值是T.

21.已知/（力=2'+62,是奇函数，g（x）=ln（ex+l）—◎是偶函数.

（1）求。力的值；

（2）若不等式/'e（％））>“根一%）恒成立，求行[0,转）时实数加的取值范围.

【答案】（1）a=[，b=-l

(2)(T»,ln2)

【解析】

【分析】(1)由函数的奇偶性，求