甘肃省酒泉市普通高中2023-2024学年高一年级上册期末考试数学试题

甘肃省酒泉市普通高中2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.下列各角中，与760。角终边相同的角是()

A.60°B.360°C.-320°D.-440°

2.已知集合4={久|久<1},B={x\x2—2%—8<0},贝ijAClB=()

A.[1,4]B.[-2,1)C.(2,4]D.(—oo,4]

3.函数y=7711+111(4—x)的定义域为()

A.[2,4)B.(2,4)C.[2,4]D.[2,+oo)

4.函数f(>)=必+%—20的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

0,1

5.已知a=2°*i,b=log20.1,c=3,则a,b,c的大小关系是()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

6.将函数/(%)=sin(2x+9)(0<<p<兀)的图象向右平移,个单位长度后得到函数g(%)=sin(2》一金)的图象，

则3的值为()

A.IB.JC.|D.等

7.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压,

为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域取得

了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投

入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资

金比上一年增长9%,则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是()参考数

据：/gl.09々0.0374,匈2m0.3010,匈3々0.4771.

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

2欠一1,1<x<3,

‘一一’对VJQE[—3,3],BX2E[-3,3],使得/(%i)=

{—%z+l,-3<x<l,

g(%2)成立，则实数a的取值范围是()

A.[—1,1]B.[0,4]C.[1,3]D.[—2,2]

1

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.若sina•cosa〉0,则a终边可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.设函数/（久）=—2久，则/（久）（）

A.是奇函数B.是偶函数

C.在（一1,1）上单调递减D.在（一8,—1）上单调递减

11.已知函数/(%)=Zsin3%+0)(4>0,3>0,|勿<*）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

B.函数y=/（久一卷）为偶函数

C.函数y=f（£）的图象关于直线久=-1对称

D.函数y=/•（%）在［一号，匀上的最小值为一8

12.若2。+log2a=仙+210g",则下列结论错误的是（）

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知角a的终边经过点P（—5,12）,则sina=.

14.如果函数f（X）对任意的正实数a,b,都有/（ab）=f（a）+/（b）,则/（%）的解析式可以是

/（%）=.（写出一个即可）

15.建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻

中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形。CD

截去同心扇形。2B所得部分，已知4。=1m,弧屈=等血，弧式）=至小，则此扇环形砖雕的面积为

2

7nz.

2

c

A\、✓✓/B

0

16.已知函数/(K)=|lg久I，f(d)=f(b),a<b,则a+2023b的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知命题p：3%eR,x2-6x+a2=0,当命题p为真命题时，实数a的取值集合为4

(1)求集合4

(2)设非空集合B=(a|3m-2<a<m-1},若久C4是久CB的必要不充分条件，求实数m的取值范

18.已知幕函数/(%)=(m2+6m+9)铲心在(0,+8)上单调递减.

(1)求实数血的值；

(2)若(3a—2)fT<9+勾―1-1,求实数a的取值范围.

19.(1)已知cosa=-[,且a为第二象限角，求sina的值;

、+笛4sina-2cosa

(2)已知tana=3,K*5cosa+3sina的值.

3

20.已知函数fO)=五1%9,beR),且/⑴=1点/(-1)=-1.

(1)求a,6的值；

(2)试判断函数f(x)在(2,+8)上的单调性，并证明；

(3)求函数/(%)在％C［2,6］上的最大值和最小值.

21.已知函数/■(>)=/+b(.a>0,且aAl)的部分图象如图所示.

(1)求/(久)的解析式;

(2)若关于％的不等式弓尸+(-26尸—小〈。在［1,+8)上有解，求实数m的取值范围.

22.已知点4(%1，/(xD),B(%2,f(%2))是函数/(%)=鱼sin(3%+0)(3>O,0<0<今)图象上的任意两点,

/(0)=1,且当|f(%i)-/(X2)|=2四时，|打一外1的最小值为今

(1)求/(X)的解析式；

(2)当％与］时，［/(x)］2一句•(%)一mW0恒成立，求实数m的取值范围.

5

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：设与760。角终边相同的角为a,则5={困戊=760。+上360。，keZ],当k=—3时，

a=-320°.

故答案为：C.

【分析】根据终边相同的角构成的集合即可判断.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：由/一2%-840,解得一2W久W4,则8={%]—2Wx<4},

又因为A={x|x<1},所以，4nB=[—2,1).

故答案为：B.

【分析】先解一元二次不等式求得集合3,再根据集合的交集运算求解即可.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：要使函数丫=7^—+111(4—久)有意义，则[二解得2Wx<4,所以函数丫=

V^=I+ln(4-％)的定义域为[2,4).

故答案为：A.

【分析】根据给定条件，列出不等式组求解即可得函数的定义域.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：函数/(%)=久3+久—20是定义域在R上的连续曲线，且单调递增，因为f(0)=—20,61)=

-18,f(2)=—10,f(3)=10,f(4)=48,可得f(2)•f(3)<0,由零点存在性定理，可得

函数/(%)零点所在的区间是(2,3).

故答案为：C.

【分析】求定义域判断函数的单调性，结合特殊点的函数值符号，由零点存在性定理即可得函数零点所在区间.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：b=log20.1<log2l=0,而函数y=x0,i在(0,+8)上单调递增，则0<2a1<3°、即

a<c,

所以c>a>b.

故答案为：A.

【分析】由对数函数性质可知c<0,再利用幕函数丫=%°二的单调性可比较a,c,从而可得a,b,c的大小

关系.

6.【答案】B

6

【解析】【解答】解:将函数f(x)=sin(2x+8)(0<(P<兀)的图象向右平移专个单位长度后可得y=sin(2x-^+

,JTTT__JT,77"IT

(P),由sin(2x—可+R)=sin(2%—,可得(/)一可=—2/CTT,kEZ,即9=4+2k71,kE.Z,又

因为。<3<兀，所以9=祟

故答案为：B.

【分析】先根据平移求出平移后的函数解析式，利用函数解析式相等即可求⑴的值.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：设2020年后第n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，

则120x(1+9%)n>200即(1.09)n>|^=|,

两边同取常用对数，得门>喷=1一32一33=1一0.30110.4771-5.93,又neN+，

-lgl.09—lgl.09—0.037

所以n>6,所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.

故答案为：C.

【分析】根据题意列出不等关系，然后利用对数运算法则化简，解不等式，即可求出年份.

8.【答案】D

2f1<%<3,

【解析】【解答】解:因为。(久)=所以当％2W[—3,1)时,g(%2)=—%|+1£]—8,1]，

—/+1,-

%2w[1，3]时，g(%2)=2*21£[1,4]9综上g(%2)e[—8,4]；

当a>0时，£[—3,3]9f(%i)G[—3Q—2,3d—2],由题后，[—3a—2,3a—2]G[—8,4],即

厂”一三3解得。<。<2；

I3a—2<4

当a=0时，/(%i)=-2,符合题意；

当a<0时，G[—3,3]9f(%i)£[3d—2,—3a—2],

由题意，[3a—2,-3a—2]U[—8,4],即其彳，解得一2<a<0；

综上可得：实数a的取值范围为[-2,2].

故答案为：D.

【分析】先根据函数9(%)的解析式求出值域，再分类讨论求出fQ)的值域，最后结合两函数值域的关系列不等

式求解即可.

9.【答案】A,C

【解析】【解答】解：因为sina•cosa>0,所以sin。>0,cos。>0或sin。<0,cos。<0,贝！Ja的终边位于第

7

一象限或第三象限.

故答案为：AC.

【分析】根据题意，可知sina,cosa同号，根据各个象限三角函数值的正、负号即可判断.

10.【答案】A,C

【解析】【解答】解：函数f(x)=x\x\-2x的定义域为R,定义域关于原点对称，满足/(-%)=-%|-%|-2(-

%)=-x\x\+2x--(x\x\-2x)--/(%),则函数/(久)是奇函数，不是偶函数，故A正确，B错误；

C、当0«%<1时，f(x)=/—2%在[0,1)上单调递减，因为函数了(久)为奇函数，所以/(久)在(―1,0)单

调递减，因此外口在(-1,1)上单调递减，故C正确；

D、当％<—1时，fQ)=—/—2支在(―8,—1)上单调递增，故D错误.

故答案为：AC.

【分析】求出函数定义域，利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性即可的判断AB；判断指定区间上的单调性

即可判断CD.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、易得A=2,由£=亨则7=冗=会，解得3=2,故A正确；

B、由图象过点(击，2),可得2x今+0=5+2/OT,kCZ,因为阿〈去所以8=号，故f(x)=2sin(2x+^),

所以y=/(久一看)=2sin2久，即函数y=/(久一卷)为奇函数，故B错误；

C、当久=一"时，2%+4=一3,所以f(—鸿)=一2是函数/(均最值，故C正确；

D、因为久G[一号，金]，所以2x+[W[-],所以/1(%)=2sin(2%+1)e[―V5,2],所以/(K)min=/(—

J)=-V3,故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】根据图象的最值求得A,再由已知点求周期利用周期公式求得3即可判断A；根据图象过点(专，2)

即可求得仍进而得出f(x)的解析式，再求出y=/(久-卷)即可判断B；根据正弦函数的性质即可判断C；根

据x的范围[-3，金],求出函数y=f(X)的值域，即可得其最小值，判断D.

12.【答案】A,C,D

2b

【解析】【解答】解：2。+log2a=4匕+210g4b=2+log2b,

设函数/(%)=2%+k)g2%,则f(x)在(0,+8)上单调递增，

8

2b2b2h

故/(Q)—/(2b)=2。+log2a—(2+log22&)=2+log2b—(2+log22b)=logz^=-1<0，

所以/(a)</(2b),所以a<2b,故B正确，A错误；

222

/(a)—/(b)=2。+log2a—(2"+log2b)=22b+log2b—(2"+log2b)=22b_2b2_jOg2/),

当b=1.时,f(a)-f(b2)=2>0,故/(a)>/(b2),即a>属；

当b=2时,/(a)-/(b2)=-1<0,故f(a)Vf(b2),即。<属，故C、D错误.

故答案为：ACD.

【分析】原式变形为2。+1082a=22b+k)g2b,设/(%)=2%+log2%,判断函数/(%)的单调性，再由2。+1082。=

2/j2

2+log2b,计算/(a)—/(2b)、/(a)-/(b),即可判断.

13.【答案】||

【解析】【解答】解：因为角a的终边经过点P(-5,12),所以点P到原点的距离为r=J(—5)2+12?=13,

grpi.1212

所以sina=—二

r13

故答案为：II.

【分析】根据任意角三角函数定义直接计算即可.

14.【答案】Igx(答案不唯一)

【解析】【解答】解：函数人支)对任意的正实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b),

对数函数/(%)=Igx,满足f(ab)=lg(ab)=Iga+Igb=f(d)+f(b).

故答案为:f(x)=Igx(答案不唯一).

【分析】由题意，对任意的正实数a,b,满足/(ab)=/(a)+/(b),考虑对数函数，即可求解.

15.【答案】J

~~2TT兀

【解析】【解答】解：设扇环形砖雕的圆心角为a,则1=空=殁=’=_3_,解得0A=1m,所以。0=2m,

0D~0A~0A+1—OA

所以此扇环形砖雕的面积为机办0°T肪Q=gx冬x2—g><91=加2.

故答案为：J.

【分析】根据扇形弧长公式和扇形的面积公式求解即可.

16.【答案】(2024,+oo)

【解析】【解答】解：函数/'(%)=|lg%］的定义域为(0,+oo),因为/(a)=/(b),a<b,所以|lga|=|lgb|,即

Iga+Igb=0,解得ab=L即a=},又因为b〉a>0,所以b>1〉a>0,a+2023b=去+2023b,由

对勾函数y=/+2023久在(1,+8)上单调递增，

所以a+2023b=三+2023b>1+2023=2024,故a+2023b的取值范围是(2024,+oo).

9

故答案为：（2024,+oo）.

【分析】根据已知条件求出a,b的关系，再利用对勾函数的性质求解即可.

17.【答案】（1）解：因为p为真命题，所以方程/—6%+a2=0有解，

即4=36-4a2>0得一3Wa〈3,所以A={a\-34a43}

（2）解：因为xGA是久CB的必要不充分条件，所以B是4的真子集，且BH0,

3m—2<m—1,

3m.—2>—3,解得一可

{771—1<3,

综上,实数一的取值范围[-何|]

【解析】【分析】（1）命题p为真命题，即/-6久+a2=0有解，根据判别式即可求解；

（2）由已知条件可知B是4的真子集，且BH0,根据真子集关系，列不等式组求解即可.

18.【答案】（1）解：由幕函数的定义可得血2+6m+9=1,即Hi?+6m+8=0,

解得m=-2或TH=-4.

因为人工）在（0,+8）上单调递减,

所以zn+3<0,即3,

则m-4.

(2)解：设。(久)=%3,g(x)是R上的增函数.

由(1)可知(3a—2)fT<(a+4)fT,即(3a-2尸<(a+4尸,

则3a-2<a+4,解得a<3,

即实数a的取值范围为（—8,3）.

【解析】【分析】（1）根据幕函数的定义和单调性列式求解即可;

（2）构造函数）/=尤3,根据其单调性结合（1）列出关于实数a的不等式求解即可.

19.【答案】（1）解：因为cosa=]且a为第二象限角,

则sina=V1—cos2a=即sina的值为g.

53

则4sina—2cosa_4tcma—2_4x3—2_§

(2)解:因为tana=3,

75cosa+3sina—5+3tana-5+3x3-7

【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数基本关系直接计算即可;

（2）将弦化切代值即可求解.

20•【答案】⑴解：为/（%）=焉，且〃1）岩，/（-1）=一1,

10

(1-1

所以中3,解得a=2,

b=1.

(2)解：函数/(%)=Jy在(2,+8)上为减函数，证明如下:

]1_2(%2-勺)

任取心，%2©(2，+8),且％1<%2，则/(久1)一/(久2)=2%1+1

2%2+1(2%]+1)(2%2+1)

因为％1,%2€(2,+8),且%1V%2，所以％2—>0,2%i+1>0,2冷+1>0，

所以/(右)一/@2)>。，即/(打)>/(X2)，

所以函数7•(%)=2%在(2,+8)上为减函数，

(3)解：由(2)可知/(%)=J^［2,6］上为减函数，

所以当％=2时，函数取得最大值，即f(X)max=2x=+1—

当X=6时，函数取得最小值，即f(%)min—"Li=与

【解析】【分析】(1)将久=1，x=—1代入解析式得出关于实数a、b的方程组，求解即可;

(2)由(1)的函数的解析式，根据单调性的定义证明即可;

(3)由(2)得导函数f。)在［2,6］上的单调性，从而可求函数/(%)在久W［2,6］上的最大值和最小值.

21.【答案】(1)解：由图象可知函数/(久)=必+/)经过点(一1,0)和(0,-1),

1

:D解得CL~9

所以

一，

所以函数/(久)的解析式是/(X)=(1)z-2

(2)解：由⑴知六2,-2』,

根据题意知乃+4，一加40,即2，+4久《血在口，+8)上有解,

设g(x)=2久+43则g(x)mE4m，

因为y=2*