导数的应用（15种题型）-2025年高考数学热点、重难点题型专项复习（原卷版）

第05讲导数的应用（15种题型）

题型一：利用导数证明或求解函数的单调区间（不含参）

1.（2023春•甘肃天水•高三校考开学考试）已知函数〃x）=lnx-f+（2—a）》.

⑴当。=1时，求函数的单调区间；

（2）若，（x）W0在定义域内恒成立，求a的取值范围.

2.（2023•陕西•西安市西光中学校联考一模）已知函数/（x）=z+lnx,其中。为常数，e为自然对数的底

数.

⑴当。=-1时，求“X）的单调区间；

⑵若/（X）在区间（0,e］上的最大值为2,求。的值.

3.（2023•山东・潍坊一中校联考模拟预测）在AABC中，AB=2AC,。是边BC上一点,

ACAD=2ABAD.

（1）若/BAC=手，求黑的值；

（2）若AC=1,求AD的取值范围.

4.（2023•山东潍坊・统考一模）已知函数/（x）=e£Tlnx,g（x）=x2-x.

⑴讨论〃x）的单调性;

1

(2)证明:当xe(O,2)时，/(x)<g(x).

5.(2023・全国•模拟预测)已知函数/(x)=asinbx-2x+tanx(0Wx<T

⑴若。=6=1,判断的单调性；

(2)当6=2时，不等式0恒成立，求正实数”的取值范围.

6.(2023•河南•校联考模拟预测)已知函数〃x)=e%lnx+l),尸(x)是“尤)的导函数.

⑴讨论函数的单调性；

(2)设若函数尸(彳)=尸(彳)"，+1彳-1)-1在(0,2)上存在小于1的极小值,求实数a的取值范围.

7.(2023・全国•模拟预测)已知函数/(x)=(x-l)eX-ax-l,g(x)=(x-l)lnx-Zzx-1

⑴若a=l,b=2,试分析〃尤)和g(x)的单调性与极值；

(2)当a=b=l时，外力、g(元)的零点分别为七，巧；W，匕，从下面两个条件中任选一个证明.(若全

2

选则按照第一个给分）

求证：①Inw+ln尤4<;

②滑4T（文也+2.

2

8.（2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学统考一模）已知函数/（x）=]f（xeR）.

⑴求了（%）的单调区间；

-lo

（2）若对于任意的xe0,7-r,士辰恒成立，求证：k<~.

.2」Tie

9.（2023・全国•高三专题练习）已知函数”%）=（尤2-2办）111»+3彳2.

⑴当4=1时，求函数八》）的单调区间；

⑵若a>L讨论函数〃x）的零点个数.

e

10.（2023・全国•高三专题练习）已知函数3（x）=,其中aeR且。彳0.

⑴当。=1时，求函数〃尤）的单调区间；

（2）若存在实数x0,使得/&）=%,则称与为函数/（尤）的“不动点”求函数“X）的“不动点”的个数;

（3）若关于x的方程/（/（X））=/（x）有两个相异的实数根，求a的取值范围.

3

11.(2023•福建福州•统考二模)已知函数/(x)=(x+l)lnx-iix+a.

(1)若。=2,试判断“X)的单调性，并证明你的结论；

⑵若x>l,/(x)>0恒成立.

①求。的取值范围：

②设%=—1+―=+―1+…+3，区表示不超过》的最大整数.求［1。电］・(参考数据：In2。0.69)

n+1n+2n+32n

12.(2023•全国•高三专题练习)现定义：为函数在区间(王,马)上的立方变化率.已知函

x+21nx+2+x

数/(x)=e*g(x)=

aa

⑴若存在区间(%%)，使得〃x)的值域为(2号2々)，且函数“X)在区间(国,当)上的立方变化率为大于

0,求实数。的取值范围;

(2)若对任意区间(%%)，/⑺的立方变化率均大于g(x)的立方变化率，求实数。的取值范围.

题型二：分类讨论法证明或求解函数的单调区间(含参)

1.(2023秋・天津•高三统考期末)设函数/(无)=ln尤-JG?,g(x)=ex-bx,a,beR,已知曲线y=/(x)

在点(1J⑴)处的切线与直线x-y+i=o垂直.

⑴求a的值；

(2)求g(x)的单调区间；

(3)若好(x)+bx〈xg(x)对Vxe(0,+oo)成立，求b的取值范围.

4

2.（2021.浙江・统考高考真题）设a,b为实数，且。＞1,函数=a*-bx+e2（xeR）

（1）求函数〃x）的单调区间；

（2）若对任意6＞2/,函数〃x）有两个不同的零点，求a的取值范围；

（3）当。=e时，证明：对任意6＞入函数有两个不同的零点和吃,仁＞西），满足要玉+，.

（注：e=2.71828…是自然对数的底数）

3.（2020•全国•统考高考真题）已知函数/（》）=/-五+/.

（1）讨论/（x）的单调性；

（2）若/（元）有三个零点，求左的取值范围.

4.（2021•全国•统考高考真题）已知函数/0）=尤3-尤2+ax+l.

（1）讨论的单调性；

（2）求曲线y=/（x）过坐标原点的切线与曲线＞=/（%）的公共点的坐标.

5

5.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/(%)=%*-el

(1)当〃=1时，讨论八幻的单调性;

⑵当％>0时，/(%)<-1,求〃的取值范围;

设〃证明:/+/+…+/>\n(n+1)

(3)EN*,V12+1也2+2\Jn2+n

6.(2023秋•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习)已知函数〃x)=eXsinx+ox,JCG0.|

(1)若。=-1,求/(X)的最小值；

(2)若/(X)有且只有两个零点，求实数。的取值范围.

7.(2023春・广东珠海•高三珠海市第一中学校考阶段练习)已知函数

y(^)=ln^-at-2(«GR),g(x)=xev-^-a(x+l).

(1)求函数的单调区间；

(2)若不等式FOO<g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

6

8.（2023春•河南•高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知函数〃尤）=。优-2*-（无-2户.

⑴当。=1时，讨论〃x）的单调性；

⑵若存在极小值，求〃尤）的极小值的最大值.

9.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（%）=依-加皿％-6乂〃/£11）.

⑴当6=0时，讨论〃x）的单调性；

⑵若gCx）=：尤'-e',求证：当a=Z?=l时，对Vxe（0,+oo）,恒有

题型三：已知函数单调区间求参数范围

1.（2023•陕西咸阳•校考模拟预测）已知函数"x）=e'+aln（T）+l,八x）是其导函数，其中aeR.

（1）若/⑺在（-8,0）上单调递减，求a的取值范围；

⑵若不等式于（X）＜/'⑺对Vxe（-oo,0）恒成立，求a的取值范围.

7

2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=lnx-：

⑴若。=-3,求函数的极值；

(2)若函数在［e,e3］上单调递增，求°的取值范围.

3.(2023・河南信阳•高三统考期末)已知函数/(x)=e*+sinx-cosx-ax.

(1)若函数/(无)在［0,+")上单调递增，求实数。的取值范围；

(2)设函数g(x)=/(%)—ln(l—x),若g(x)N0,求。的值.

4.(2022・湖南•校联考模拟预测)已知函数/(x)=asinx+bcosx+cx,且

(1)若。=1,且〃x)在R上单调递增，求c的取值范围

(2)若/(X)图像上存在两条互相垂直的切线，求a+b+c的最大值

5.(2022・全国•高三专题练习)已知函数““二X3—ar2+3x,awR.

8

(1)若x=3是/(无)的极值点，求/(x)的极值；

(2)若函数/(x)是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围.

6.(2022・天津・二模)已知/(x)=alnx-x」iw,7'(x)为/(x)的导函数.

⑴求“X)在的切线方程；

(2)讨论尸(x)在定义域内的极值；

(3)若/(X)在(0,+8)内单调递减，求实数a的取值范围.

7.(2022・全国•高三专题练习)设函数/(x)=一天.

(1)若函数f(x)在R上单调递增，求。的值；

⑵当。>1时，

①证明：函数了(无)有两个极值点4，x2(xl<x2),且％-玉随着。的增大而增大;

②证明：〃%)<1+皿产.

9

题型四：构造函数并利用函数的单调性判断函数值的大小

一、解答题

1.(2022・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=e"-sinx.

⑴当。=2时，求函数在x=0处的切线方程;

(2)若关于尤的不等式y-sinx2？-cosx在xe[O,+<»)恒成立，求实数。的取值范围.

2.(2022春・天津西青•高三校考阶段练习)已知实数a>0,函数”司="-Inx.

(1)(i)若函数y=/(x)在(。,日)上恰有一个零点，求实数。的值;

(ii)当时，证明：对任意的4/€卜2,+«),

让I有两个不同的实数根玉,%(不<々)，证明：鱼±!>/-ina.

⑵当0<a<正时，方程/(%)=

a

10

3.(2022・全国•高三专题练习)已知函数〃x)=ae"+a(a>0),g(x)=2卜+Jlnx.

⑴若〃x)在点(OJ(O))处的切线与g(x)在点(l,g(D)处的切线互相平行，求实数。的值;

⑵若对Vx>0,/(x)Ng(x)恒成立,求实数。的取值范围.

4.(2022•浙江•高三专题练习)已知函数/(x)=aei—]nx+lna.

⑴若曲线y=在点(2,〃2))处的切线方程为，=|》-1,求a的值;

(2)若/(力22恒成立，求a的取值范围

5.(2022春.浙江温州.高三统考开学考试)已知函数/(x)=e'-cosx(e为自然对数的底数).

(1)求证：xc(O,%)时，/(x)<x+l；

⑵设〃了)=根(一2万<彳<2")的解为玉(，=1,2,%>%+[.

①当尤,时，求x,一"x,+J的取值范围；

7T

②判断是否存在耳<%，使得%+%+1》万成立，并说明理由.

6.(2022・河南•统考三模)已知函数〃x)=ln(x+l),g(x)=e*-1.

11

(1)判断函数Mx)=/(x)-g(x)的零点个数;

⑵比较ln(e27n2),2-/(ln2),g(e?-的大小，并说明理由.

题型五：利用导数求解函数的极值

2

1.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(%)=%+q2+―+。在％=1与％=一§时，都取得极值.

(1)求〃，6的值；

(2)若/(-I)V，求,3的单调增区间和极值.

2.(2022•全国•高三专题练习)设函数/(x)=xlnx.

(1)求/(x)的极值；

⑵设g(x)=/(x+l),若对任意的x.O,都有g(x).如成立，求实数加的取值范围;

(3)若证明：0<f(a)+f(b)-2/(^)<(ft-a)In2.

3.(2022•全国•高三专题练习)设函数/(%)=%2+(〃一2)%-。1口%(〃£氏).

(1)若〃=1,求的极值；

(2)讨论函数的单调性.

12

4.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/'(x)=x2—(q+4)x+2alnx.

(1)当a=l时,求函数y=的极值；

(2)讨论函数y=/(x)的单调性.

5.(2022・河北衡水・统考二模)已知函数/(x)=W0SeR).

⑴当4=1时,求函数/(X)的极值;

⑵若曲线y="x)_*有4，赴(与<%)两个零点.

(i)求。的取值范围；

(ii)证明：存在一组加，n(«>«>0),使得的定义域和值域均为何,”].

6.(2023・全国•高三专题练习)已知对于不相等的正实数a,b,有疝<,,<"成立,我们称其

Ina-lnb2

lnx+1

为对数平均不等式.现有函数/(%)=

x

13

⑴求函数/（X）的极值;

（2）若方程/（x）=机有两个不相等的实数根毛，巧.

①证明：1<\X<―--

2m

②证明:人-x2|<2-21nm.

题型六:利用函数的极值求参数值

1.（2022・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=M〃a+3ox+2）-3or+4.

⑴若/（X）在口，+8）上是减函数，求实数。的取值范围.

（2）若/（X）的最大值为6,求实数a的值.

2.（2022秋.黑龙江牡丹江.高三校考阶段练习）已知函数〃x）=Q2+Rnx在x=l处有极值，

（1）求实数。、6的值；

（2）判断函数f（x）的单调区间，并求极值.

3.（2018・北京・高考真题）设函数/（x）=[ax2-（3a+l）x+3a+2]e".

（I）若曲线>=/（尤）在点（2J（2））处的切线斜率为0,求°；

（II）若/（X）在X=1处取得极小值，求。的取值范围.

14

4.(2023・全国•高三专题练习)己知函数/(%)=尤-尤+a(aeR),在其定义域内有两个不同的极值

点.

(1)求。的取值范围；

(2)记两个极值点为毛，巧，且％<马，当％」时，求证：不等式恒成立.

5.(2023•湖南衡阳•校考模拟预测)已知函数〃x)=y+lnx-x(a>0).

⑴若a=l,讨论〃x)的单调性；

(2)若函数存在两个极小值点占，巧，求实数a的取值范围；

⑶当时，设歹(x)=/(x)-121nx-x+[,求证：F(x)>-Inx+e-1.

6.(2017•全国•高考真题)已知函数/(%)=/一依一尤n1x，且〃龙”0.

(1)求Q；

(2)证明：存在唯一的极大值点》,且/</(%)<2之

15

题型七：利用导数求解函数的最值

1.(2022•全国•统考高考真题)己知函数/(x)=at-'-(a+l)lnx.

x

(1)当。=0时，求F(x)的最大值;

(2)若/(x)恰有一个零点，求。的取值范围.

2.(2021・全国•高考真题)设函数/(x)=a，2+ax-31nx+l,其中。>0.

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)若y=的图象与X轴没有公共点，求。的取值范围.

3.(2020•全国•统考高考真题)已知函数/(x)=sin2xsin2x.

(1)讨论了(%)在区间(0,兀)的单调性；

(2)证明：〃⑺区挛;

8

、3,

(3)设〃£N*,证明：sin2A：sin22xsin24x...sin22nx<—.

16

3-?r

4.（2021・北京•统考高考真题）已知函数/（尤）=点三.

（1）若a=0,求曲线y=/（x）在点。，/⑴）处的切线方程；

（2）若/（x）在x=-1处取得极值，求/（x）的单调区间，以及其最大值与最小值.

题型八：利用导数解决函数的极值点问题

1.（2021.全国•统考高考真题）设4H0,若x为函数/（x）=aa-“）2（无一切的极大值点，贝|（）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

二、多选题

2.（2022.全国•统考高考真题）已知函数/（无）=尤3—尤+1,则（）

A./5）有两个极值点B./（x）有三个零点

C.点（0,1）是曲线y=/（x）的对称中心D.直线y=2x是曲线>=/（尤）的切线

三、填空题

3.（2022・全国•统考高考真题）已知无=网和x=%分别是函数/（x）=2优-e/（a>0且。中1）的极小值点

和极大值点.若再<%,则。的取值范围是.

四、解答题

4.（2021•天津•统考高考真题）已知。>0,函数/（幻=依-犯，.

（I）求曲线y=/（元）在点（。"（0））处的切线方程：

（II）证明A%）存在唯一的极值点

（III）若存在a,使得了（尤）4。+8对任意xeR成立，求实数b的取值范围.

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题型九：利用导数解决恒成立问题

一、单选题

丫_O"XIOzy丫1

一，':若关于X的不等式/(x)..O在R

｛x-amx,x>l,

上恒成立，则。的取值范围为

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.\l,e]

2.(2023・全国•高三专题练习)已知不等式x+alnx+e〉/对xe(l,+s)恒成立，则实数a的最小值为

e

()

e

A.—\/eB.—C.—eD.-2e

2

二、解答题

3.(2020・海南•高考真题)已知函数/(x)=ae"T—Inx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若不等式〃尤)21恒成立，求a的取值范围.

4.(2022秋•辽宁•高三校联考阶段练习)已知函数〃x)=x。-alnx),acR.

(1)讨论/(x)的单调性；

⑵若时，都有求实数。的取值范围；

1+InX、

(3)若有不相等的两个正实数花，巧满足771-----二一，证明：X1+x2<eXX

ii-inX]X]\2.

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题型十：利用导数解决函数零点、交点或方程根的问题

一、解答题

1.(2022•全国•统考高考真题)己知函数/(x)=e*-融和g(x)=ox-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交

点的横坐标成等差数列.

2.(2022•全国•统考高考真题)己知函数〃x)=C-lnx+x-a.

⑴若外力薄0,求。的取值范围；

(2)证明：若/(X)有两个零点占,三,贝也々<1.

3.(2022.全国•统考高考真题)已知函数/(x)=ln(l+x)+owT

⑴当a=l时，求曲线y=/(x)在点(。，〃。))处的切线方程；

⑵若“X)在区间(-1,。),(。,y)各恰有一个零点，求a的取值范围.

4.(2021•全国•统考高考真题)已知〃>0且〃W1,函数/(x)=1(x>0).

a

(1)当4=2时，求“X)的单调区间；

(2)若曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求。的取值范围.

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5.(2021•全国•统考高考真题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0

代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的

且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=p,"=0,l,2,3).

(1)已知Po=0.4,Pi=0.3也=0.2,03=0」，求E(X)；

23

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：pQ+Plx+p2x+p3xx

的一个最小正实根，求证：当E(X)V1时，p=l,当E(X)>1时，p<l.

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

题型十一：利用导数证明不等式

一、单选题

3111

1.(2022•全国•统考高考真题)已知。=—,b=cos—,c=4sin—,贝ij()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、解答题

2.(2021.全国・统考高考真题)设函数/(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=犷(力的极值点.

(1)求Q；

(2)设函数g(x)=:.证明:g(x)<l.

20

3.(2022.北京・统考高考真题)己知函数/(尤)=e'ln(l+x).

(1)求曲线>=/(x)在点(0"(0))处的切线方程；

⑵设g(x)=/'(x)，讨论函数g(x)在。+⑹上的单调性；

(3)证明:对任意的sje(0,+oo),<f(s+t)>f(s)+f(t).

4.(2022・天津•统考高考真题)已知a,6eR,函数/(无)=e*-asinx,g(x)=氏6

⑴求函数y=在(。,〃。))处的切线方程；

⑵若y=/(x)和y=g(x)有公共点，

(i)当a=0时，求b的取值范围；

(ii)求证：a2+b2>e.

5.(2022•山东潍坊・统考模拟预测)已知函数/(x)=e*+sinx-cos%,/'(九)为了(尤)的导数.

⑴证明:当xNO时，r(x)>2；

(2)设g(x)=/(尤)—2x—1,证明：g(无)有且仅有2个零点.

题型十二：利用导数解决双变量问题

一、解答题

1.(2022.浙江，统考高考真题)设函数〃x)=『+lnx(尤>0).

⑴求Ax)的单调区间;

21

(2)已知a,6eR,曲线y=/(x)上不同的三点(尤2，/(%2))，(无3，“X3))处的切线都经过点(。㈤・证

明：

(i)若"e,贝!)。<"-/(°)<'1(-1［；

..m,2e-a112e-a

(ii)右0<Q<e,须</<%3,则—।T~<1<------

e6ex{x3a6e

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

2.(2022秋・福建宁德•高三校考期中)已知函数/(x)=ei-a(x-l).

(1)讨论了(X)的零点个数.

(2)若/")有两个不同的零点占,三,证明：+x2>4.

3.(2023春•青海西宁・高三统考开学考试)已知/(x)=21nx+«x2(aeR).

⑴讨论函数“X)的单调性；

(2)当a=-4■时，证明：函数/'(尤)有且仅有两个零点苍,三，且为+%>2e.

e

题型十三：参变分离解决导数问题

一、单选题

1.(2023•全国•高二专题练习)设函数〃x)=2x-、-alnx在(1,2)上单调递减，则实数。的取值范围是

()

A.[4,5]B.(5,+00)C.[4,+oo)D.[5,+co)

fxx0

2.(2022.全国.高三专题练习)已知函数〃x)='一，若函数g(x)=/(x)-〃-x)有5个零点，则

Iainx,x>u

22

实数。的取值范围是()

A.(-e,0)B.Lo)C.(-8,-e)D.(-0-：

3.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=，-nx,当x>l时，不等式〃x)Nx+l恒成立，贝隈的

取值范围是()

A.(-<»,-e]B.(-00,T]C.(-00,-e2]D.(-℃,0]

二、解答题

4.(2022・全国•高三专题练习)己知函