导数的概念与运算（学生版）-2025高考数学一轮复习讲义

第14讲导数的概念与运算

知识梳理

知识点一：导数的概念和几何性质

1、概念

函数于（X）在无=X。处瞬时变化率是lim电=lim/（―+&）-/（不）,我们称它为函数

-Ax-。Ax

>=〃x）在％=不处的导数，记作尸（修）或〉［一.

知识点诠释：

①增量Ax可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.Axf0的意义：Ax与0之

间距离要多近有

多近，即|Ax-0|可以小于给定的任意小的正数；

②当AxfO时，Ay在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在

一个常数与

包=无限接近；

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即

是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即尸（飞）=lim"=lim/a+W5）.

。Ax-Ax

2、几何意义

函数y=/（x）在x=Xo处的导数f'（x0）的几何意义即为函数y=f（x）在点P（x0,%）处

的切线的斜率.

3、物理意义

函数s=s（f）在点务处的导数s'%）是物体在务时刻的瞬时速度v,即v=sa）；

v=V（O在点t0的导数Mg）是物体在t0时刻的瞬时加速度a,即。=M4）.

知识点二：导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数导函数

/（X）=c（C为常数）八幻=。

/(%)=xa(aeQ)/r(x)=axa~l

f(x)=ax(a>0,a^I)f\x)=ax\na

f(x)=log。x(a>0,aw1)/'(X)=一一

xina

/(X)=e*

f(x)=lnx

zv)=-

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosXfr(x)=-sinx

2、导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则："(x)±g(x)]'=尸(尤)±g'(x)；

(2)函数积的求导法则："(x)g(x)]=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)；

(3)函数商的求导法则：g(无)NO,则[四]=7'(x)g(x)[/(x)g，(x).

g(x)g(%)

3、复合函数求导数

u

复合函数y=/[g(x)]的导数和函数y=/("),〃=g(x)的导数间关系为”=yux-

【解题方法总结】

1、在点的切线方程

r

切线方程p-/(%0)=/(x0)(x-x0)的计算：函数y=/(x)在点A(x0,/(x0))处的切线方

程为＞-/(%)=尸(无。)食一餐)，抓住关键=(产°、).

[左=/(%)

2、过点的切线方程

设切点为P(x0,%),则斜率左=八%),过切点的切线方程为：y-%=/'(尤o)(x-%),

f

又因为切线方程过点A(m,n),所以〃-%=/(x0)(m-x0)然后解出/的值.(尤()有几个

值，就有几条切线)

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

必考题型全归纳

题型一：导数的定义

【例1】（2024•全国•高三专题练习）己知函数y=/（x）的图象如图所示，函数y=/（x）

的导数为>=/'"）,则（）

A.r(2)<r(3)</(3)-/(2)B./,(3)<r(2)</(3)-/(2)

C.r(2)</(3)-/(2)<r(3)D.八3)<汽3)-八2)<八2)

【对点训练11（2024•云南楚雄•高三统考期末）已知某容器的高度为20cm,现在向容

器内注入液体，且容器内液体的高度〃（单位：cm）与时间/（单位：s）的函数关系式为

h^+t2,当/=办时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s,则当f=f0+l时，液体上升

高度的瞬时变化率为（）

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.lOcm/s

【对点训练2】（2024•河北衡水•高三衡水市第二中学期末）已知函数/（无）的导函数是

（⑴，若尸（%）=2,则Um""（）

—。Ax

A.%B.1C.2D.4

【对点训练3】（2024•全国•高三专题练习）若函数/（x）在与处可导，且

iim/（x0+2Ax）-/（x0）=i>则尸伍）=（）

—。2Ax

A.1B.-1C.2D.g

【对点训练4】(2024•高三课时练习)若“X)在可处可导，则/'(1)可以等于().

〃不)--Ar)〃七+祠-〃龙0—-)

A.limB.lim

Ax

/(Xo+2Ax)-〃Xo-Ax)“Xo+Ax)--(%-2Ax)

C.limD.lim

【解题方法总结】

对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接

写出.

题型二：求函数的导数

【例2】(2024•全国•高三专题练习)求下列函数的导数.

(1)/(x)=(-2x+l)2；

⑵1/(x)=ln(4x—l)；

(3)〃X)=23A2

(4)〃x)=j5x+4；

【对点训练5】(2024•高三课时练习)求下列函数的导数:

⑴y=(3尤2+2x+l)cosx；

-、3x2+x\/x-5\[x+l

(2)y=----------『----------；

(3)y=x18+sinx-lnx；

x

(4)y=2cosx-3xlog3x；

x

(5)y=3sinx-3log3x；

(6)y=excosx+tanx.

【对点训练6】（2024•海南•统考模拟预测）在等比数列｛%｝中，%=2,函数

尤）=；x（无一4）（尤-%）L（x-%）,则/（0）=.

【对点训练7】（2024•辽宁大连•育明高中校考一模）已知可导函数〃x）,g（x）定义域

均为R,对任意x满足/（力+2备'.=犬-1,且"1）=1,求:（l）+g]£|=

【对点训练8】（2024•河南•高三校联考阶段练习）已知函数/（x）的导函数为广（x）,且

〃x）=d-⑴+x+2,贝ij〃l）=.

【对点训练9】（2024•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=/'（0）e2，-eT,则/（0）=

【解题方法总结】

对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本

函数求导问题.

题型三：导数的几何意义

方向1、在点尸处切线

[例3]（2024•广东广州•统考模拟预测）曲线y=（2x-iy在点（1,1）处的切线方程为

3

【对点训练101（2024•全国•高三专题练习）曲线〃尤）=ln（x+2）+]在点（0,/（0））处的

切线方程为.

【对点训练1。（2024•全国•高三专题练习）已知函数/（X）=；V+6X2+COS15X

/（无）为/（x）的导函数.若/（元）的图象关于直线X=I对称，则曲线y=〃x）在点

（2,/（2））处的切线方程为

【对点训练12】（2024•湖南•校联考模拟预测）若函数/（力=〃3+0一2W（xwR）是

奇函数，则曲线y=/（%）在点（尢/（九））处的切线方程为.

方向2、过点P的切线

【对点训练131（2024•江西•校联考模拟预测）已知过原点的直线与曲线＞=1型相切，

则该直线的方程是.

【对点训练14】（2024•浙江金华•统考模拟预测）已知函数/（力=/-依+1,过点

P（2,0）存在3条直线与曲线＞=/（尤）相切，则实数。的取值范围是.

【对点训练15】（2024•浙江绍兴•统考模拟预测）过点，go）作曲线y=V的切线，写

出一条切线方程：.

【对点训练16】（2024•海南海口•校联考模拟预测）过x轴上一点尸（f,0）作曲线

C:y=（x+3）e，的切线，若这样的切线不存在，则整数，的一个可能值为.

【对点训练17]（2024•全国•模拟预测）过坐标原点作曲线y=（x+2）e*的切线，则切点

的横坐标为.

【对点训练18】（2024•广西南宁•南宁三中校考模拟预测）若过点P（l,a）（aeR）有九条

直线与函数〃x）=（x-2）e，的图象相切，则当"取最大值时，〃的取值范围为.

【对点训练19】（2024•全国•模拟预测）已知函数〃尤）=；V+_f⑴f+l,其导函数为

尸（力，则曲线过点尸（3,1）的切线方程为.

方向3、公切线

【对点训练20】（2024•云南保山•统考二模）若函数〃x）=41nx+l与函数

8（力=!》2-2.4>0）的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（）

【对点训练21】（2024•宁夏银川•银川一中校考二模）若直线>=仁（尤+1）-1与曲线y=e、

相切，直线y=《（x+D-i与曲线y=inx相切，则左芯的值为.

【对点训练22］（2024•河北邯郸•统考三模）若曲线y=e'与圆（x-a）2+y2=2有三条公

切线，贝I。的取值范围是.

【对点训练23］（2024•湖南长沙•湖南师大附中校考模拟预测）若曲线=/

和曲线C2：g（x）=2Inx恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为.

【对点训练24】（2024-江苏南京•南京师大附中校考模拟预测）已知曲线G：/（x）=d与

曲线G：g（力=枇用（a>0）有且只有一条公切线，则〃=.

【对点训练25】（2024•福建南平•统考模拟预测）已知曲线y=alnx和曲线y=V有唯

一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线/，贝心的方程为.

方向4、已知切线求参数问题

【对点训练26］（2024•江苏•校联考模拟预测）若曲线y=有两条过（e,a）的切线,

则a的范围是.

【对点训练27］（2024•山东聊城•统考三模）若直线y=x与曲线y=eA-办相切,

则人的最大值为（）

A.0B.1C.2D.e

【对点训练28］（2024•重庆•统考三模）已知直线>=办一。与曲线y=x+相切，则实

X

数。=（）

143

A.0B.—C.—D.一

252

【对点训练29】（2024•海南•校联考模拟预测）已知偶函数

/（x）=（。-1）/一3法+c—d—1在点（1,7。））处的切线方程为x+y+l=0,贝（）

C-u

A.-1B.0C.1D.2

【对点训练30】（2024•全国•高三专题练习）已知M是曲线y=lnx+；x2+ar上的任一

点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于;的锐角，则实数”的取值范围是（）

4

A.［2,+oo）B.C.（-co,2］D.（-oo,-l］

【对点训练31］（2024•全国•高三专题练习）已知机〉0,〃>0,直线y=L+m+l与

e

曲线y=lnx-〃+2相切，则工+工的最小值是（）

mn

A.16B.12C.8D.4

方向5、切线的条数问题

【对点训练32］（2024•河北•高三校联考阶段练习）若过点（九"）可以作曲线y=log2X

的两条切线，则（）

A.m>log2nB.n>log2mC.m<log^nD.n<log^m

【对点训练33］（2024•全国•高三专题练习）若过点（。,切可以作曲线，=ln元的两条切

线，贝U（）

A.a<lnbB.&<InaC.lnbvaD.lna<b

【对点训练34］（2024•湖南•校联考二模）若经过点（。力）可以且仅可以作曲线y=lnx的

一条切线，则下列选项正确的是（）

A.a<0B.b=\naC.a=\nbD.Q«0或力=ln〃

方向6、切线平行、垂直、重合问题

QX-m

【对点训练35］（2024•全国•高三专题练习）若函数FS）=lnx+尤与g（x）=」（的图

x-1

象有一条公共切线，且该公共切线与直线y=2%+i平行，则实数加=（）

、17-17-17-17

A.—B.—C.—D.—

8642

【对点训练36］（2024•全国•高三专题练习）已知直线x-9y-8=0与曲线

。:l=尤3-/2+31相交于48,且曲线C在处的切线平行，则实数。的值为（）

A.4B.4或-3C.-3或-1D.-3

【对点训练37】（2024•江西抚州•高三金溪一中校考开学考试）己知曲线

在点4（和/（占））,3（形,〃七》（不<々）处的切线4，/2互相垂直，且切

线4,4与丁轴分别交于点。E，记点E的纵坐标与点。的纵坐标之差为f,则（）

2

A.—2</<0B.2—2e<%<0

e

2

C./<—2D.1〉2e—2

e

【对点训练38】（2024•全国•高三专题练习）若函数/（x）=ta+sinx的图象上存在两条

相互垂直的切线，则实数。的值是（）

A.2B.1C.0D.-1

【对点训练39］（2024•上海闵行•高三上海市七宝中学校考期末）若函数>=〃尤）的图

像上存在两个不同的点RQ,使得在这两点处的切线重合，则称/（x）为“切线重合函数”,

下列函数中不是“切线重合函数''的为（）

A.y=x4-x2+lB.v=sinx

C.y-x+cosxD.y=x1+sinx

【对点训练40］（2024•全国•高三专题练习）已知A,8是函数

X+X+a，X

f（X）=\'-0,图象上不同的两点，若函数y=在点A、8处的切线重合,

［xlwc-a,x>0

则实数。的取值范围是（）

A.［w,JB.C.（0,-HX））D.g,+m）

方向7、最值问题

【对点训练41］（2024•全国•高三专题练习）设点尸在曲线>=6小上，点。在曲线

y=-l+lnx上，则|尸。|最小值为（）

A.0B.272

C.亚1+勿2）D.A/2（1-//12）

【对点训练42】（2024•全国•高三专题练习）设点尸在曲线y=e"上，点。在曲线

y=glnx上，贝”PQI的最小值为（）

A.^（l-ln2）B.72（1-In2）

C.5/2（1+In2）D.二（l+ln2）

【对点训练43］（2024•全国•高三专题练习）设点P在曲线y=2e'上，点。在曲线

y=lnx-ln2±,贝的最小值为（）

A.l-ln2B.72（1-In2）

C.2（1+In2）D.72（1+In2）

【对点训练44】（2024•全国•高三专题练习）己知实数。，b,c,d满足

|ln（a-l）-"|+|c-"+2|=。，贝（。―c）2+（6—I）?的最小值为（）

A.2A/2B.8C.4D.16

【对点训练45］（2024•全国•高三专题练习）设函数，（x）=（x-a）2+4（lnx-a）2,其中

4

x>0,«GR.若存在正数与，使得/（毛）〈《成立，则实数〃的值是（）

A.—B.—C.—D.1

552

【对点训练461（2024•宁夏银川・银川二中校考一模）已知实数羽,满足

2x2-51nx-y=0,meR,贝！J）f+丁2一2如+2根丁+2祖2的最小值为（）

A.-B.述C.—D.1

2222

【对点训练47］（2024•四川成都•川大附中校考二模）若点尸是曲线y=lnx-f上任意

一点，则点尸到直线-4=。距离的最小值为（）

A.2B.V?C.2收D.4夜

方向8、牛顿迭代法

【对点训练48】（2024•湖北咸宁•校考模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求

方程近似根的方法一Newton-Raphsonmethod译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设厂是

"x）=0的根，选取X。作为r的初始近似值，过点（飞,〃1））做曲线y=〃x）的切线/:

y-fM^fr（xo）（x-xo），则/与x轴交点的横坐标为玉=飞_少。尸（%）9。）,称玉是

J）

厂的一次近似值；重复以上过程，得厂的近似值序列，其中无向=尤“-04（尸（七）力。）,

JI*"

称X向是『的〃+1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数

/'（x）=lnx+x-3的零点一次近似值为（）（精确到小数点后3位，参考数据：

M2=0.693）

A.2.207B.2.208C.2.205D.2.204

【对点训练49】（多选题）（2024•安徽芜湖•统考模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，

给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设厂是函数丁=/（力的一个零点，任意

选取七作为『的初始近似值，过点（%f（x。））作曲线y=/（x）的切线公设《与x轴交点的横

坐标为七,并称凡为厂的1次近似值；过点（xj（%））作曲线y=的切线L设4与工

轴交点的横坐标为巧，称巧为厂的2次近似值.一般地，过点（〃eN*）作曲线

y=/⑺的切线I向，记1„+1与无轴交点的横坐标为x用，并称1为厂的〃+1次近似值.对于

方程V—龙+1=0,记方程的根为,，取初始近似值为升=-1,下列说法正确的是（）

A.re(-2,-1)B.切线，2：23%-4'+31=0

2尤：-1

D.%

3"

【对点训练50】（多选题）（2024•全国•模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高

次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点飞,如图，在x=x°处作了（可

图象的切线，切线与x