第2章 相交线与平行线 章节复习卷（11个知识点+51题练习）（解析版）

第2章相交线与平行线章节复习卷Q1个知识点+51

题练习）

知识点

知识点1.余角和补角

（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角.即其中一个角是

另一个角的余角.

（2）补角：如果两个角的和等于180。（平角），就说这两个角互为补角.即其中一个角是

另一一个角的补角.

（3）性质：等角的补角相等.等角的余角相等.

（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联.

注意余角（补角）与这两个角的位置没有关系.不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足

了定义，则它们就具备相应的关系.

知识点2.相交线

（1）相交线的定义

两条直线交于一点，我们称这两条直线相交.相对的，我们称这两条直线为相交线.

（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类.

（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）.

知识点3.对顶角、邻补角

（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，

具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.

（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，

互为邻补角.

（3）对顶角的性质：对顶角相等.

（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°.

（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个.邻补角、对顶角

都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形

成的.

知识点4.垂线

（1）垂线的定义

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条

直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

（2）垂线的性质

在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

“过一点”的点在直线上或直线外都可以.

知识点5.垂线段最短

（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段.

（2）垂线段的性质：垂线段最短.

正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.它是相

对于这点与直线上其他各点的连线而言.

（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线

段最短”这两个中去选择.

知识点6.点到直线的距离

（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线

段.它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形.

知识点7.同位角、内错角、同旁内角

（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且

在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角.

（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且

在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角.

（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并

且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角.

（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中

的相对位置决定.在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必

有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即

为被截的线.同位角的边构成“下”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”

形.

知识点8.平行线

在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交(重合除外).

(1)平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.

记作：allb；

读作：直线。平行于直线6.

(2)同一平面内，两条直线的位置关系平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意:

①前提是在同一平面内；

②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线.

知识点9.平行线的判定

(1)定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成

同位角相等，两直线平行.

(2)定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成

内错角相等，两直线平行.

(3)定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单

说成：同旁内角互补，两直线平行.

(4)定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.

(5)定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平

行.

知识点10.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相

等.

定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角

互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相

等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

知识点11.作图一尺规作图的定义

(1)尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有

限次，来解决不同的平面几何作图题.

(2)基本要求

它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同.

直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起,

不可以在上画刻度.

圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度.它只可以拉开成你之前构造过的长度.

练习卷

--余角和补角（共5小题）

1.（2024•肇源县开学）已知一个角的度数是62。23，，则它的余角的度数是_27。37，_.

【分析】根据两个角的和为90。，这两个角互为余角，即可求得答案.

【解答】解：90。-62°23'=27。37'.

故答案为：27。37，.

【点评】此题考查了余角，正确记忆相关定义是解题关键.

2.（2023秋•永定区期末）如图，把一块直角三角板N5C（NNC8=90。）的直角顶点C放在直

线/上，若/1=30。，则N2的度数为_120。_.

【分析】先用90。减去/I的度数求出N2的邻补角的度数，然后用180。减去/2的邻补角即

可求出/2的度数.

【解答】解：=30。，

Z2的邻补角的度数为90°-30°=60°,

Z2的度数为180°-60°=120°.

故答案为：120°.

【点评】本题主要考查余角和补角，熟练掌握求一个角的余角或补角的方法是解决问题的关

键.

3.（2023•平桥区校级开学）如图，点。是直线N2上一点，OC平济NAOE,

ZDOE=90°,则以下结论：①乙4OD与/BOE互为余角;®ZAOD=-ZCOE；③

2

ZBOE=2.ZCOD；④若NBOE=58。，则NCO£=61。.其中正确的是（）

A.只有①④B.只有①③④C.只有③④D.①②③④

【分析】根据补角以及角平分线的定义解决此题.

【解答】解：①由4DOE=90。，得N/OZ）+N3OE=180O-/DOE=90。，那么4。。与

ZBOE互为余角，故①正确.

②由OC平分NAOE,得ZAOC=NCOE,无法推断得至ljZAOD=-ZCOE,故②错误.

2

③设ZCOD=x，由ZDOE=90°,得ZCOE=90。一x.由OC平分NAOE,^ZAOC=ZCOE,

那么44OD=9（）o-2x,进而推断出N3OE=2x,也就是说N80E=2NCQD,故③正确.

④由ABOE=58°,得AAOE=180°-ABOE=122°.由OC平分AAOE,得

ZCOE=-ZAOE=61°,故④正确.

2

综上：正确的有①③④.

故选：B.

【点评】本题主要考查角平分线、补角，熟练掌握角平分线的定义以及补角的定义是解决本

题的关键.

4.（2023秋•义乌市期末）定义：如果有三个角a,p,y,满足a+/?-7=90。，则称/

是a和夕的“减余角”.

（1）已知Nl=37。，Z2=66°,若N3是/I和/2的“减余角”，贝!|/3=_13。_.

（2）现有一张正方形纸片/8CD,如图1所示，点£为线段8C上一点（不与8、C重

合）.连结工£,将纸片沿着/E对折，使点8落在正方形纸片的内部且对应点为9.

①若AB'EC是乙4EB和ZAEB'的“减余角”，求乙4EB的度数.

②再将此正方形纸片沿着夕E所在直线对折，使点C落在正方形纸片的内部且对应点为。,

如图2所示.是否存在NNE8,ZAEC,/QEC中的一个角是其它两个角的“减余角”？

若存在，请求出乙4期的度数；若不存在，请说明理由.

图2

【分析】（1）由“减余角”得/1+/2-/3=90。，再计算即可.

2)由“减余角”得ZAEB+ZAEB'-ZB'EC=90°,再利用平角

ZAEB+44EQ+/9EC=180。计算即可.

(3)分两种情况讨论当NAEB+ZAEC-ZB'EC=90°时，当NAEB+NB'EC-NAEC'=90°

时，再利用“减余角”定义计算即可.

【解答】解：（1）•.•N3是/I和/2的“减余角”,

Zl+Z2-Z3=90°，

Z3=13°,

故答案为：13。.

(2)ZB'EC是NAEB和ZAEB'的“减余角”,

ZAEB+ZAEB'-ZB'EC=90°,

ZAEB+ZAEB'+ZB'EC=180°,

:.(NAEB+ZAEB'-ZB'EC)+(ZAEB+ZAEB'+ZB'EC)=90°+l80°,

ZAEB+ZAEB'=135°,

由对折得ZAEB=ZAEB',

ZAEB=67.5°.

(3)存在N/E8,NAEC,NQEC中的一个角是其它两个角的“减余角”.

理由如下：

由对折设ZB'EC=ZB'EC=a,

ZAEB'=p,

ZAEB=a+/3.

当ZAEB+ZAEC-ZB'EC=90°时,

a+/3+/3-a=90°，

.•.£=45°,

由平角NAEB+ZAEC+AB'EC+AB'EC=180°,

a+夕+夕+2a=180°,

a=30°,

NAEB=a+〃=75。.

当ZAEB+ZB'EC-4EC=90。时，

a+B+a—/3=90°,

a=45°,

由平角AAEB+AAEC+AB'EC+AB'EC=180°,

.-./?=22.5°,

NAEB=67.5°.

综上所述，44助=75。或67.5。.

【点评】本题考查了余角和补角，利用“减余角”的定义是解题关键.

5.（2023秋•泉港区期末）如图，小明将一块含60。（/。P£=60。）的直角三角板OPE的直角

顶点。放在直线A8上，过点。作射线。C,使48OC=70。.

（1）当三角板。尸£的一边0P与射线。2重合时，试求NEOC的度数；

（2）若将三角板。PE绕点。逆时针旋转一定角度，当OC平分NEO8时，试求NCOP的度

数；

（3）在三角板OPE绕着点。逆时针旋转的过程中，当NCOP’NAOE,

3

180o>N80E>160。时，请求出NCO尸的度数.

【分析】（1）根据题意可知NEOP=90。，已知N8OC=70。，NEOC=NEOP-NCOB可得

(2)因为OC平分ABOC=70°,可得/EOC的度数，ACOP=AEOP-AEOCnJ

得；

(3)因为180。>/8。£>160。，所以OP在射线0c的左侧，可得乙4。£+/尸。C的度数,

已知ACOP=-ZAOE,可得NCOP的度数.

3

【解答】解：(1)根据题意可知NEOP=90。，

ZBOC=70°,

ZEOC=NEOP-ZCOB=90°-70°=20°；

(2):OC平分NEOB,ZBOC=70°,

ZBOE=140°,ZEOC=70°,

ZCOP=NEOP-ZEOC=90°-70°=20°；

(3)•.•180°>/8。£>160°,

二。尸在射线OC的左侧，

•••NAOE+NEOP+APOC+COB=180°,

AAOE+NPOC=20°,

VZCOP=-ZAOE,

3

ZCOP=5°.

【点评】本题考查了余角、补角，关键是正确计算度数.

二.相交线(共5小题)

6.(2023春•泰山区期中)同一平面内的三条直线，其交点个数可能是()

A.0或3B.1或2或3C.0或1或2D.0或1或2或3

【分析】根据两直线平行和相交的定义作出图形即可得解.

【解答】解：如图，三条直线的交点个数可能是0或1或2或3.

故选：D.

【点评】本题考查了直线相交的问题，难点在于考虑到直线的所有位置关系和交点的分布情

况，作出图形是解答此题的关键.

7.(2022春•武穴市校级月考)观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字.像这样的十条

直线相交最多的交点个数有45

两直线相交，三条直线相交最四条直线相交最

最多1个交点多有3个交点多有6个交点

【分析】根据直线两两相交且不交于同一点，可得答案.

【解答】解：十条直线相交最多的交点个数有=45，

2

故答案为：45.

【点评】本题考查了相交线，〃每条直线都与其它直线有一个交点，可有("-1)个交点，〃

条直线用〃(〃-1)个交点，每个交点都重复了一次，”条直线最多有硬［D个交点.

8.(2022春•将乐县期中)在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么8条

直线两两相交，最多有28个交点.

【分析】在同一平面内，〃条直线两两相交，则有"W’T)个交点,代入即可求解.

2

【解答】解：交点的个数为始二。=28,故答案为28个.

2

【点评】能够求解同一平面内，直线两两相交的交点的个数.

9.平面内三条直线有几个交点？请分别画图说明.

【分析】此题从同一平面内两条直线不是平行就是相交入手，分四种情况讨论.

【解答】解：如图所示:

①如图1所示：若三条直线互相平行，那么交点个数是0；

②如图2所示：三条直线也可以交于一点，那么交点个数是1；

③如图3所示：两条平行，第三条都和他们相交，那么交点个数是2；

④如图4所示：三条直线两两相交，那么交点个数是3.

故答案为：0个或1个或2个或3个.

【点评】本题考查的是相交线与平行线，解答此题的关键是熟知同一平面内两条直线的两种

位置关系.

10.（2021春•自贡期末）同一平面内1条直线把平面分成两个部分（或区域）；2条直线最

多可将平面分成几个部分？3条直线最多可将平面分成几个部分？4条直线最多可将平面

分成几个部分？请分别画出图来.由此可知〃条直线最多可将平面分成几个部分？

【分析】根据直线两两相交，每三条不交于同一点，可把平面分成最多部分，根据两条直线

最多分成的部分比一条直线分成部分增加2,三条直线最多分成部分比两条直线最多分成

部分增加三，以此类推，可得答案.

三条直线最多分成可将平面分成7个部分，如图:

【点评】本题考查了相交线，由图形得出规律是解题关键，规律1条直线分成两部分，两条

直线增加2,三条直线再增加三，四条直线再增加四....

三.对顶角、邻补角（共5小题）

11.（2023秋•南岗区校级期中）如图，两条直线相交于点O,若Nl+N2=60。，则/2=30

度.

12

0

【分析】根据对顶角相等结合题意计算即可.

【解答】解：和N2是对顶角，

Zl=Z2,

•••Zl+Z2=60°,

Z2=30°,

故答案为：30.

【点评】本题考查的是对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键.

12.（2023秋•沐阳县期末）下列说法中，正确的是（）

A.两点之间直线最短

B.如果/（/=53。38'，那么Na余角的度数为36.22。

C.如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小

D.相等的角是对顶角

【分析】根据线段的性质，度分秒的换算，余角与补角的性质，对顶角进行分析即可.

【解答】解：/、两点之间线段最短，故/不符合题意；

8、•.•90°-53°381n36°22',余角的度数为36.22°,故2不符合题意；

C、如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小，故C符合题

忌；

。、相等的角不是对顶角，故。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题主要考查线段的性质，度分秒的换算，余角与补角，解答的关键是对相应的知

识点的掌握.

13.（2022秋•建邺区校级期末）如图，直线/8、CD相交于点O,OE平分NBOD,OF

平分NCOE.若乙4OC的度数为2a.则/打加=90°--.（用含a的代数式表示）

—2—

F

B

c

【分析】根据对顶角相等求得N5O。的度数，然后根据角的平分线的定义求得/EOD的度

数，则NCOE即可求得，再根据角平分线的定义求得NEO厂.

【解答】解：,.•N/OC=2a,

NBOD=AAOC=2a,

;OE平分/BOD,O9平分/COE,

NBOE=ZDOE=a,ZCOF=ZEOF=-ZCOE,

2

NE。。=180°-a,

ZEOF=90°--,

2

故答案为：90°--.

2

【点评】本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是解题的关

键.

14.（2023秋•江都区期末）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说

“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的.论证“对顶角相等”使用的

依据是（）

A.等角的补角相等B.同角的余角相等

C,等角的余角相等D.同角的补角相等

【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可判断.

【解答】解：论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等.

故选：D.

【点评】本题考查对顶角，邻补角，补角的性质，关键是掌握：补角的性质.

15.（2023•工业园区校级开学）直线45、CD相交于点O,OE平分44。。，

AFOC=90°,Z1=26°.求/2与N3的度数.

ED

42入/OB

【分析】先求出48。。=116。，再根据对顶角相等和平角的定义得到//OD=116。，

Z3=64°，即可利用角平分线的定义得到Z2=-ZAOD=5S°.

2

［解答1解：；ZFOC=90°,Zl=26°,

ZBOC=Z1+ZFOC=116°,

ZAOD=NBOC=116°,Z3=180°-ZBOC=64°,

■：OE平分ZAOD,

Z2=-ZAOD=58°.

2

【点评】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，对顶角相等，正确求出

/BOC=116°是解题的关键.

四.垂线（共5小题）

16.（2023春•梁平区期末）下列选项中，过点尸画的垂线CD,三角板放法正确的是（

【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线做法及三角板的特征直接可得.

【解答】解：•.•三角板有一个角是直角.

三角板的一条直角边与直线AB重合.

•.•过点尸作直线48的垂线.

二三角板的另一条直角边过点尸.

符合上述条件的图形只有选项C.

故选：C.

【点评】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线，熟记其做法是解题的关键.

17.2023秋•阿荣旗期末）如图，直线“，6相交于点O,射线,垂足为点。，若Nl=40。,

则N2的度数为（）

A.50°B.120°C.130°D.140°

【分析】根据对顶角和垂线的性质解答即可.

【解答】W：vela,

Z1=40°,

.-.Z^oc=90°+40°=130°,

Z2=NAOC,

Z2=130°.

故选：C.

【点评】此题考查垂线的性质，对顶角的性质，关键是根据垂线的性质及角的和差关系得出

ZAOC=130°.

18.（2023春•礼泉县期中）如图，是一副三角板的摆放图，已知OC1OD,若

ZAOC=35°,则ZBOD的度数是35°.?

【分析】根据题意可得：ZAOB=ZCOD=90°,然后利用等式的性质进行计算，即可解

答.

【解答】解：：AAOB=NCOD=90°,

NAOB-ZAOD=ZCOD-ZAOD,

:.ZDOB=ZAOC=35°,

故答案为：35.

【点评】本题考查了垂线，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的

关键.

19.（2023秋•抚州期末）如图，点。是直线上一点，ZAOC=40°,OD平分44OC,

ZCOE=70°.

（1）请你说明。O_LO£；

【分析】（1）根据角平分线的定义求得/CO。=20。，再根据垂线的定义证明;

（2）求得NBOC的度数，根据角平分线的定义即可求得平分ZBOC.

【解答】解：（1）平分44OC,

:.ZDOC=-ZAOC=2Q.

2

ZCOE=70°,

ZDOE=90°,

DOLOE.

(2)OE平分NBOC.

理由：ZAOC+ZCOE+ABOE=180°,

又•.•4OC=40。，ZCOE=70°,

ABOE=70°,

NBOE=ZCOE,

:.OE平分ABOC.

【点评】此题主要考查了角平分线和垂线的定义.

20.(2023秋•梁溪区期末)如图，点。在直线斯上，点工、B与点C、。分别在直线所

两侧，S.ZAOB=120°,ZCOD=70°.

图1图2图3

(1)如图1,若。。平分ZBOZ),求入iOD的度数；

(2)如图2,在(1)的条件下，OE平分448,过点。作射线。G_LO8,求/EOG的

度数；

(3)如图3,若在ZBOC内部作一条射线。H,若ZCOH:ZBOH=2:3,

ZDOE=5ZFOH,试判断N4OE与ZDOE的数量关系.

【分析】(1)根据角平分线定义和周角是360。可得44OC的度数；

(2)分两种情况：当OG在£尸下方时；当OG在斯上方时，计算即可；

(3)由NCO//:N2O//=2:3,ZDOE=5ZFOH,设NDOE=5a,贝斤O/7=a,再结合

角平分线的性质可用a表达出ACOHABOC的度数，求出NAOE与ZDOE的度数.

【解答】解：(1);OC平分

NBOD=22coD=2x70°=140°,

-.■ZAOB=nQ°,

ZAOD=360°-ZAOB-ZBOD=360°-120°-140°=100°.

(2)当OG在瓦7下方时,

D

E

A-'G

图2

•••O£平分NZOQ,ZAOD=100°,

/.ZAOE=L/AOD=50。,

2

OG1OB,

/BOG=90°,

/.AAOG=NAOB—/BOG=120°-90°=30°,

/EOG=ZAOG+ZAOE=80°.

当OG在上方时，

•・•OE平分N4O。，ZAOD=WO0,

/.ZAOE=-ZAOD=50°，

2

•・•OGA.OB,

/./BOG=90°,

•••Z.AOE+ZAOB+/BOG+/EOG=360°,NAOB=120°,

.../EOG=360°-50°-120°-90°=100°；

(3)ZDOE=5a,贝/O"二a,

D

C

AB

图3

ZCOH=180°-ZDOE-ZCOD-ZFOH=110°-6(z,

:.ZBOC=215°-15a,

ZAOD=360°-ZCOD-ZBOC-ZAOB=360°-70°-(2750-15a)-120°=15a-105°,

:.ZAOE=10a-105°,

:.ZAOE=2ZDOE-105°.

【点评】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的性质等知识，结合图形找到角度之间的

和差关系是解题关键.

五.垂线段最短（共5小题）

21.（2023秋•南关区校级期末）如图，某村庄要在河岸/上建一个水泵房引水到。处.他们

的做法是：过点C作于点。，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数

学道理是（）

A.两点确定一条直线

B.垂线段最短

C.两点之间，线段最短

D.过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直

【分析】根据垂线段的性质解答即可.

【解答】解：过点C作CD，/于点D,将水泵房建在了。处.这样做最节省水管长度，其

数学道理是垂线段最短.

故选：B.

【点评】本题考查了垂线段的性质：垂线段最短.解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决实际问题.

22.（2023秋•重庆期末）如图，要从村庄尸修一条连接公路/的最短的小道，应选择沿线段

PC_修建，理由是.

【分析】从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段.根据垂线段

最短解答即可.

【解答】解：从直线外一点与直线上的点的所有连线中，垂线段最短，所以应选择沿尸C修

建.

故答案为：PC；垂线段最短.

【点评】本题考查了垂线段最短，解题的关键是理解垂线段的定义.

23.（2023•莲池区二模）下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（）

A.测量跳远成绩

一⑹

C,两钉子固定木条

【分析】由垂线段的性质：垂线段最短，即可判断.

【解答】解：/、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，故/符合题意；

3、C、可以用“两点确定一条直线”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故8、

C不符合题意；

。、可以用“两点之间线段最短”来解释，不可以用“垂线段最短”来解释，故。不符合

题意.

故选：A.

【点评】本题考查垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短.

24.（2023秋•九台区期末）如图，运动会上，小明自踏板/处跳到沙坑尸处，甲、乙、丙

三名同学分别测得P河=3.25米，PN=3.15米，/户=3.21米，则小明的成绩为3.15

【分析】根据垂线段最短即可得出结论.

【解答】解：•.•小明的成绩是点尸到直线的距离，即PN,

小明的成绩为3.15米.

故答案为:3.15.

【点评】本题考查的是垂线段最短，熟知“垂线段最短”是解答此题的关键.

25.（2023秋•姑苏区校级期末）如图，平原上有/,B,C,。四个村庄，为解决当地缺

水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.

（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池X点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；

（2）计划把河水引入蓄水池〃中，怎样开渠最短并说明根据.

・C

B。

•D

E--------------------------------F

【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接8C交于，，则〃为蓄水池位置;

（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直环的线段.

【解答】解：（1）•.•两点之间线段最短，

二连接/D,BC交于H,则8为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小.

（2）过8作〃G_LE/，垂足为G.

“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池X中开渠最短

的根据.

【点评】本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用.

六.点到直线的距离（共5小题）

26.（2023秋•杭州期末）如图，尸是直线/外一点，A,B,C三点在直线/上，且尸8，/

于点2,ZAPC=90°,则下列结论中正确的是（）

①线段8P的长度是点尸到直线/的距离；②线段/尸的长度是/点到直线PC的距离；③在

PA,PB,PC三条线段中，尸台最短；④线段PC的长度是点尸到直线/的距离

A.①②③B.③④C.①③D.①②③④

【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一

点到这条线段的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可得解.

【解答】解：于点8,

二.线段AP的长度是点尸到直线/的距离，故①正确，④错误；

•••ZAPC=90°,

线段/P的长度是/点到直线PC的距离，故②正确；

根据垂线段最短，在P4,PB,PC三条线段中，PB最短,故③正确；

故选N.

【点评】本题考查了垂线的性质，解题的关键是掌握垂线的性质.

27.（2023春•龙华区期末）把两个同样大小的含30。角的三角尺像如图所示那样放置，其中

M是/。与BC的交点，若。0=4,则点〃到的距离为4.

cD

M

AB

【分析】先利用直角三角板性质求得=根据角平分线性质可得点M到N3

的距离等于点/到/C的距离，则可得结果.

【解答】解：•••ACAM=ACAB-ABAD=60°-30°,

NCAM=NDAB=30°,

.•.点M到AB的距离等于点M到AC的距离，

即点"到AB的距离等于CM的长为4.

故答案为：4.

【点评】此题主要是考查了角平分线的性质，能够熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离

相等是解答此题的关键.

28.（2023春•麒麟区校级期中）如图，在直角三角形43c中，N/=90。，AB=3cm,

AC=4cm,BC=5cm,则点A到BC的距离是_2,4cm

【分析】本题关键是作出点/到8C的垂线段再利用面积法求4D,即为点/到2C

的距离.

【解答】解：如图：过/点作3c的垂线，垂足为。，

A

BDC

由“面积法”可知，ADxBC=ABxAC,

即40x5=3x4,

AD=2.4,即点/到BC的距离是2.4c机，

故答案为：2.4cm.

【点评】本题考查了点到直线的距离，理解点N到2C的距离是从点N向8c作垂线交8c

于点D,即线段AD的长度是解此题的关键.

29.（2024•鹿城区校级开学）如图是装满液体的高脚杯示意图，测量发现点/到地面。。

的距离为30,CD=14,/8=10,若用去一部分液体后液面降至环，测量发现点E到地

面。。的距离为22,则£尸的长为（）

【分析】利用三角函数即可解答.

【解答】解：

•.•点A到地面DD'的距离为30,

GD=30,

•••CD=14,715=10,

CG=GD-CD=16,AG=5,

在RtAACG中，

AG5

tan/4CG=----=—,

CG16

又：E到地面DD'的距离为22,

G'C'=G'D'-=22-14=8,

在山△G'EC'中，

FG'5

tanAG'EC=tanNACG=----二一，

GC16

EG'=-x8=-,

162

EF=-x2=5.

2

故选：D.

【点评】本题主要考查点到直线的距离，解题的关键是熟练运用三角函数解决问题.

30.（2022春•平桥区校级月考）如图，在直角三角形/2C中，ZC=90°,BC=4cm,

AC=3cm,AB=5cm.

（1）点、B到AC的距离是4cm；点A到BC的距是cm.

（2）画出表示点C到N8的距离的线段，并求这个距离.

C

BN--------------------------\

【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求.

（2）先画垂线段，再计算距离.

【解答】解：（1）VZC=90°,BC=4cm,AC=3cm,

.•.点B到AC的距离是线段3C的长度，点N到BC的距是线段/C的长度.

故答案为：4,3.

（2）如图：DA

作CD±AB于点D,则线段CD的长度就是点C到AB的距离.

■.-SMBC=^BC-AC=^AB-CD.

,CD=BC^c=n

AB5

【点评】本题考查点到直线的距离，找到点到直线的距离是求解本题的关键.

七.同位角、内错角、同旁内角（共4小题）

31.（2023秋•衡山县期末）下列所示的四个图形中，/I和N2是同位角的是（）

【分析】利用同位角定义进行解答即可.

【解答】解：图①②④中，/I和N2是同位角，

故选：D.

【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“尸”形.

32.（2022春•贵阳期中）如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯

了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发

生了改变.

（1）请指出/2的同位角有哪些？

（2）若Nl=115。，测得N2OM=145。，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯

的的度数？

【分析】（1）根据同位角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两

直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角）进行判断即可;

（2）根据平行线的性质解答即可.

【解答】解：（1）与N2是同位角的有4D,ZFOB-.

（2）ABHCD,

:.ZBOE=Z1=U5°,

■：ZBOM=\45°,

/MOE=ZBOM-/BOE=145°-115°=30°,

.•.往上弯了30°.

【点评】本题考查了同位角定义及平行线的性质，掌握其性质及概念是解决此题的关键.

33.（2021春•莘县期末）两条直线被第三条直线所截，/I是N2的同旁内角，/2是N3的

内错角.

（1）画出示意图，标出/I,Z2,Z3；

（2）若N1=2N2,Z2=2Z3,求Nl,Z2,N3的度数.

【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的

之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线

被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的

同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可，进而画出图形即可；

⑵设/3=x，则/2=2x,/l=4x,利用邻补角的关系得到x,进而求出Zl,Z2,Z3

的度数.

.•.设N3=x,贝"2=2x,Nl=4x,

•••Zl+Z3=180°,

x+4x=l80°，

解得：x=36°,

故/3=36°,Z2=72°,Z1=144°.

【点评】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出/I与N3的关系是解题关键.

34.（2023春•安乡县期中）如图，下列结论正确的序号是②④⑤.

①NNBC与NC是同位角；

②NC与/ADC是同旁内角；

③ZBDC与ZDBC是内错角；

④ZABD的内错角是NBDC；

⑤44与ZABD是由直线NO,AD被直线AB所截得到的同旁内角.

【分析】同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并

且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角.

内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三

条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角.

同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第

三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角.依此即可作出判断.

【解答】解：①N/2C与/C是同旁内角，该选项说法错误；

②NC与4DC是同旁内角，该选项说法正确；

③与4D8C是同旁内角，该选项说法错误；

④乙4BD的内错角是NBDC,该选项说法正确；

⑤乙4与是由直线AD,AD被直线48所截得到的同旁内角，该选项说法正确.

故答案为：②④⑤.

【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内

错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定，在复杂的图形中判别三类角时，

应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不

在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成尸形，内错角的边

构成Z形，同旁内角的边构成。形.

A.平行线（共5小题）

35.（2023春•青龙县期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）

A.平行B.相交C.平行或相交D.以上都不对

【分析】根据直线的位置关系解答.

【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，

所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交.

故选：C.

【点评】本题考查了两直线的位置关系，需要特别注意，垂直是相交特殊形式，在同一平面

内，不重合的两条直线只有平行或相交两种位置关系.

36.（2022秋•海陵区校级期末）下列说法正确的是（）

A.不相交的两条直线叫做平行线

B.同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直

C.平角是一条直线

D.过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线

【分析】根据平行线、垂线的性质，角和直线的概念逐一判断可求解.

【解答】解：A.应强调在同一平面内，错误；

B.同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确；

C.直线与角是不同的两个概念，错误；

D.过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误.

故选：B.

【点评】本题主要考查平行线的定义，垂线的性质，平角的定义，直线，对平面几何中概念

的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达

要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别.

37.（2022春•舞阳县期中）如图，在正方体中，与线段平行的线段有尸-

【分析】与线段Z3平行的线段的种类为：①直接与N2平行，②与平行于的线段平

行.

【解答】解：与N2平行的线段是：DC、EF■.

与C。平行的线段是：HG,

所以与48线段平行的线段有：EF、HG、DC.

故答案为：EF、HG、DC.

【点评】本题考查了平行线.行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.

38.平面内有三条直线它们的交点个数为多少？甲生如图所示，只有1个或。个.你认为

甲生回答对吗？为什么？

①②

【分析】根据题意画出图形，即可进行判断.

【解答】解：甲生回答不对，如图：

还有2或3个交点，

即平面内有三条直线它们的交点个数为0个或1个或2个或3个.

【点评】本题考查了对平行线和相交线的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力.

39.平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点.

（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；

（2）请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；

（3）你能否画出各直线之间的交点个数为〃的图形，其中〃分别为6,21,15?

（4）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？

【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直

线平行，都不平行作出草图即可看出.

从画出的图形中归纳规律即可得到答案.

【解答】解：（1）如图1所示：交点共有6个，

（2）如图2,3.

（3）当〃=6时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交.如图4,

当”=21时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5,

当〃=15时，如图6,

①当7条直线都相互平行时，交点个数是0,这时交点最少，

②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21,这是交点最多.

【点评】此题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形，再再根据图形

归纳规律.

九.平行线的判定（共4小题）

40.（2024•金水区校级开学）如图，直线a,6被直线/所截，4=60。，Z2=120°.求证:

al1b.下面是某同学的证明过程，则①为同旁内角互补，两直线平行.

证明：VZ1=60°,

...Nl=N3=60°（对顶角相等）.

•••Z2=120°,

Z2+Z3=120°+60°=180°.

aIlb(①).

a

___________X、b

\

【分析】先根据对顶角相等得出4=N3,再由/2+/3=180。即可得出结论.

【解答】证明：•.21=60。，

Zl=Z3=60°（对顶角相等）,

---Z2=120°,

Z2+Z3=120°+60°=180°,

：.a//b（同旁内角互补，两直线平行）.

故答案为：同旁内角互补，两直线平行.

【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键.

41.（2023春•滑县期中）如图：AABC=AACB,BD平分ZABC,CE平分NACB,

ZDBF=ZF,求证：CE//DF.请完成下面的解题过程.

解：•:BD平分/ABC,CE平分NACB（已知）

:.ZDBC=-ZABC,ZECB=-Z（角平分线的定义）

2一一2------

又•；NABC=NACB（已知）

/=/.

又•・•/=/（已知）

ZF=Z

CEIIDF.

【分析】根据角平分线的定义结合题意推出=即可判定CE//。尸.

［解答］解：BD平分NABC,CE平分NACB（己知）,

:.ZDBC=-ZABC,ZECB=-ZACB（角平分线的定义）.

22

又；/ABC=/ACB（已知），

ZDBC=ZECB,

又•：NDBF=NF（己知），

:.NF=NECB（等量代换），

:.CEUDF（同位角相等，两直线平行）.

故答案为：ABC■,ACB-DBC；ECBDBF:F；ECB■,同位角相等，两直线平行.

【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键.

42.（2023秋•惠民县期末）如图，点E在/C的延长线上，下列条件能判断N2//CD的是

）

D.ZD+Z^CZ）=180o

【分析】根据平行线的判定定理即可直接作出判断.

【解答】解：A.根据内错角相等，两直线平行即可证得/CD；

3.根据内错角相等，两直线平行即可证得50//NC,不能证42//CD；

C.根据内错角相等，两直线平行即可证得8。///C,不能证/2//CD；

D.根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得3。//