北师大版七年级数学下学期重难点压轴题突破专练：同底数幂的乘法（三大题型30题）（解析版）

专题01同底数嘉的乘法（乘法、塞的乘方、积的乘方30题）

目录

一、同底数塞的乘法，15题，难度四星.........................................................1

二、事的乘方与积的乘方，15题，难度四星.....................................................5

一、同底数塞的乘法，15题，难度四星

1.（2023下•浙江•七年级名校名卷）观察等式：2+22=23-2;2+22+23-24-2;

2+22+23+24=25-2;…已知按一定规律排列的一组数:2叫2吗2叱，浮炉。,若*=用含S

的式子表示这组数据的和是（）

A.2S2-SB.2S2+SC.2s2-25D.2s2-2S-2

【答案】A

【分析】由题意得出*°+2⑼+2叨++2199+2200=2100（1+2++2"+2100）,再利用整体代入思想即可得

出答案.

【详解】解：由题意得：这组数据的和为：

2100+2101+2102+,+2199+2200

=2100（1+2++2"+2100）

=2100（2100x2-l）

21°°=S,

；•原式=S（Sx2-1）=2S2-S,

故选：A.

【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幕的乘法的逆用，解题的

关键是正确找到本题的规律：2+22+23+.+2”T+2"=2向-2,学会探究规律，利用规律解决问题，属

于中考填空题中的压轴题.

2.（2024.上海浦东新•七年级校考期末）已知丁=3,2>=6,2,=12,则下列给出％V*之间的数量关系式

中，错误的是（）

A.尤+z=2yB.x+y+3=2zC.4x=zD.x+l=y

【答案】C

【分析】本题主要考查了同底数塞乘法计算，根据已知条件式得到2,x2=2>2"x2=2"进而推出

2l+1=2y,2y+l=T,则x+l=y,z=y+l,据此逐一判断即可.

【详解】解:1•,2工=3,2〉=62=12,

；•2l'x2=2v,2yx2=2%

/.2Y+1=2>2向=2",

x+l=y,z=y+1,

/•z=x+l+l=x+2,x+z+l=y+y+l,

x+z=2y,x+y+3=x+z-l+3=2x+4=2(x+2)=2z,

•••四个选项中只有C选项的关系式错误，符合题意；

故选C.

3.(2023下•江苏镇江•七年级统考阶段练习)现有若干张卡片，分别写有1,-2,4,-8,16,

-32,……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为限°°，其中三数之和的最大值记为

A,最小值记为则A+3-4的值等于.

【答案】-298

【分析】由题意知，卡片数字为(-2)°,(-2)1,(-2)二(-2「(—2『，(-2『，……，则使三数之和最

大的三个数为(-2)°,(-2)1(-2f,gpA=(-2)0+(-2)2+(-2)98,使三数之和最小的三个数为(-2)°,

(-2)，(-2)",IP5=(-2)°+(-2y+(-2)",然后代入计算求解即可.

【详解】解：由题意知，卡片数字为(-2)°,(-2),,(-2)2,(-2))(—2；(-2)5,……

•••三张卡片上的数字乘积为2M，

使三数之和最大的三个数为(-2)°,(-2/，(-2)98,

/.A=(-2)°+(-2)2+(-2)98,

使三数之和最小的三个数为(-2)°,(-2)1,(-2)",

/.B=(-2)°+(-2)1+(-2)",

/.A+B-4=(-2)°+(-2)2+(-2)98+(-2)°+(-2)'+(-2)"-4

=1+4+298+1-2-2"-4

=298(1-2)

故答案为：-298.

【点睛】本题考查了同底数幕的乘法，有理数的加减运算.解题的关键在于确定使三数之和最大的三个

数于使三数之和最小的三个数.

4.（2023下•七年级课时练习）已知丁=3,2、6,272,现给出3个数a,b,c之间的四个关系式：①

a+c=2b；②a+6=2c-3；@b+c=2a+3；@b=a+2.其中，正确的关系式是___（填序号）.

【答案】①②③

【分析】根据同底数哥的乘法法则即可求出。、氏c的关系，代入各式验证即可.

【详解】解：：2"=3,2^=6,2°=12.

2"X22=3X4=12,2*X2=6X2=12,2°=12，

/.a+2=b+l=c,

即b—a+1,c—b+1,c—a+2,

于是有：①a+c=a+a+2=2a+2,2b=2a+2,

所以a+c=2b,因此①正确；

②a+6=a+a+l=2a+l,2c-3=2a+4-3=2a+l,

所以a+b=2c-3,因此②正确；

③6+c=a+l+a+2=2a+3,因此③正确；

④b=a+l,因此④不正确；

综上所述，正确的结论有：①②③三个，

故选：C.

【点睛】本题考查同底数幕的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幕的乘法法则，得出人Ac的关系.

5.（2023下•七年级名校名卷）观察等式：2+22=23-2;2+22+23-24-2;按一定规律排列的一组

数：250+251+252++299+2100＞若25°=a,则用含a的代数式表示下列这组数2$°+2$1+2,2+..…2"+2100

的和.

【答案】2a2-a

【分析】观察发现规律，并利用规律完成问题.

【详解】观察2+22=23-2、2+2?+23=24-2发现2+22+2^++2n=2n+l-2

:.250+251+252++2"+2100

=25。+25。（2+2?++249+250）

=25。+25。(25。*2-2)(把25°=a代入)

=a+a(2a-2)

=2a2-a-

故答案为：2a2-a.

【点睛】此题考查乘方运算，其关键是要归纳出规律2+2?+23++2。=2间-2并运用之.

6.（2024下•全国•七年级假期作业）已知2"=2，4=6,2。=3,则

【答案】36

【分析】由同底数事乘法的逆用可知2"+%=2"2〃？。，再代入对应的值即可求解.

【详解】解：：2"=2，»=6,2。=3,

=2"-2"•2。=2x6x3=36,

故答案为：36.

【点睛】本题考查同底数幕乘法的逆用，掌握同底数暴乘法是解决问题的关键.

7.（2023•湖北武汉•七年级校联考期中）已知

2024

,一1|+(尤2-2『+1三一3|+(三-4)“+…+2m3—2023|+(x20M-2O24)=0,贝!J

2国_2巧_2为—_^^2023+z924

【答案】6

【分析】本题考查了非负数的性质，同底数塞的乘法.根据绝对值和偶次方的非负性，得出玉=1,

x2=2,X3=3,...,x2O23=2023,三024=2024,代入计算即可得到答案，利用换元法解决问题是解题关键

【详解］解：—1|+(^x2—2)+1—3|+(x4—4)+...+1^2023—2023|+(^024—2024)=0,

二.％—1=0,X)—2—0f-3=0,%2023—2023=0,入2。24—2024=0,

=

X)=1,X?=2,%=3,...,x2023—2023,^20242024,

•2再__2向_•—2巧°23_|_^-*2024

I23420232024

=2-2-2-2--2+2

=2-2(2'+22+23+24++22022)+22024

<a=21+22+23+24+—+22022,则2。=2?+2^+2*+2$.+2叫

.•.4=2。—4=22°23一2,

.•.M^=2-2X(22023-2)+22024=2-22024+4+22024=6,

故答案为：6.

8.（2023・上海•七年级校考期中）计算：”（_4.（_谭.（_°）4.（_4=.（结果用幕的形式表

示）

【答案】（-。广

【分析】本题考查了同底数基的乘法，根据同底数嘉的乘法法则计算即可得.

【详解】解：原式=（-。）""4’5

=（-0）'5-

故答案为：（-4『.

二、塞的乘方与积的乘方，15题，难度四星

9.（2023下•广东揭阳•七年级惠来县第一中学校考阶段练习）计算（-。.125）期。x（2严6。的结果是（）

A.1B.—1C.8D.—8

【答案】A

【分析】将（2）6.化为（8严2。使两个暴的指数相同，再利用积的乘方逆运算进行计算.

060

【详解】（一O.lZS>ozOxQ）'=（-0.125）2°2°X（8）为2°=（-0.125x8）202°=1,

故选：A.

【点睛】此题考查幕的乘方逆运算，积的乘方逆运算，熟记公式是解题的关键.

10.（2024・全国•七年级竞赛）若/〃，=3,""=2,则吁一仅2“y=（）

A.23B.25C.27D.29

【答案】A

【分析】本题考查了哥的乘方的化简求值，熟练掌握塞的乘方的法则是解答本题的关键，先计算嘉的乘

方，再将/',=3,户”=2代入计算，即得答案.

【详解】当〃场=3,bin=2,时，

（优"J一伊"）3=（/'"）3-（/?3"）2=33-22=27-4=23.

故选：A.

11.（2024下•全国•七年级假期作业）若代数式3（如2+尤-耳-2（3*2-3m+力的值与无的取值无关，则

根2023/024的值为（）

A.2B.—2C.—D.—

22

【答案】C

【分析】本题考查了整式的混合运算，先化简整式，根据代数式的值与元无关，求出机、〃得值，再逆用

积的乘方法则和同底数新公式求出代数式的值.

【详解】解：原式=3蛆2+3%一3,一6X2+6心一2/

=(3m-6)x2+(3+6ri)x—3y—2y2.

代数式3(m%2+%_y)_2(3尤2_3依+,2)的值与1的取值无关，

/.3m-6=0,3+6〃=0.

：.m=2,n=——.

2

20232024

・m^

=(mn)2023xn

2

故选：C.

12.(2024・湖北武汉•七年级校考阶段练习)已知8.622=74.13,若f=0.7413,则x的值()

A.86.2B.0.862C.±0.862D.±86.2

【答案】C

【分析】由空=32=0.7413,可得［土咨］=0.7413,然后判断作答即可.

10010010J

・、斗区.8.62274.13

【详解】解：・----=-----=0.7413,

100100

10

故选：C.

【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

13.(2024下•全国•七年级假期作业)若"为正整数.且4,则(2叫2-4(〃广的值为()

A.4B.16C.64D.192

【答案】D

【分析】根据积的乘方以及逆运算对式子进行化简求解即可.

【详解】解析：(2产『-4(/广=4i-4，"

232n232

=4(a")-4(a)=4x4-4x4

=4X(43-42)=4X48=192,

故选D.

【点睛】此题考查了塞的有关运算，解题的关键是熟练掌握哥的有关运算法则.同底数幕相乘(除)，底

数不变，指数相加(减)；塞的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方.

14.(2023・四川眉山•七年级统考期末)阅读材料，回答下列问题：

材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.

即：(ab)"=a"b".

材料二：等式［2+22+32+…+/2="5+1)⑵7+1),Mw+l)="+〃成立

6

试求：(1)22+42+62+-+102=.

(2)Ix2+2x3+3x4+…+99x100=.

【答案】220333300

【分析】(1)W(ab)"=a"b"W22+42+62+•••+102^^>922x(l2+22+32+•••+52),再利用

12+22+32+..•+/=”(〃+1)(2"+1)进行计算即可得到答案;

6

(2)先利用〃(〃+1)=»+"将ix2+2x3+3x4+…+99x100变形为

仔+22+32+…+992+1+2+3+…+99,再利用1+2?+3?+…+/="("+D(2”+1)进行计算即可得到答

6

案.

【详解】解：(1)⑻=a"b",

22+42+62+—+102

=(2xl)2+(2x2)2+(2x3)2+-+(2x5)2

=22X12+22X22+22X32+--+22X52

=22X(12+22+32+---+52),

2222,7,7+12,7+1

l+2+3+—+n=()()

6

；・原式=4产(5+1)35+1)

6

=220,

故答案为：220；

(2)〃("+1)=〃2+几,

/.Ix2+2x3+3x4+...+99x100

=lx(l+l)+2(2+l)+3(3+l)+-+99x(99+1)

=l2+l+22+2+32+3+—+992+99

=l2+22+32+—+992+l+2+3+―+99

f+22+32+—+〃2=KMQM,

6

•rs-e_99x(99+1)(2x99+1)99x(99+1)

62

=32850+4950

=333300,

故答案为：333300.

【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解

题的关键.

15.（2023下・江苏•七年级名校名卷）已知5,=160,32,=160,贝心一2022）＜1＞（1）一=.

【答案】1

【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数累，推出指数相等.由于5x32=160,因此对等式5，=160

两边同时取y次方，可以得到59=160%再把160换成5x32得到5"=5〃32，，接着把32y换成5工（都等

于160）得到5孙=5心，从而推出孙=彳++最后对中的指数去括号，整体代入可得结

果.

【详解】解：：5,=160,

（5r）v=160\

/.5^=（5x32）v=5yx32v

：5工=160,32v=160,

/.5盯=5>xl60=5'x5'=5",

;.xy=x+y,

：.(-2022)(JC-1X3，-1)-1=(一2022).r-y+iT=(—2022)孙=(-2022)°=1.

故答案为：L

【点睛】本题考查同底数塞的乘法，积的乘方，幕的乘方，将等式两边化成同底数幕，推出指数相等是

解题的关键.

16.（2023下•七年级名校名卷）比较大小：43034°（填“或

【答案】<

【分析】根据幕的乘方，底数大于1时，根据指数越大幕越大，可得答案.

【详解】解：430=（43）10=6410,340=（34）10=8110,

V64<81,

A6410<8110）

即43°VS©,

故答案为：<.

【点睛】本题考查了募的乘方与积的乘方，利用塞的乘方化成同指数的暴是解题关键.

17.（2023下•浙江宁波•七年级统考阶段练习）已知2。=3,3〃=2,贝U1+1二=.

【答案】1.

【分析】利用募的乘方与同底数累相乘，得至2a+'=2ax2=6,3b+'=3bx3=6,进而得到

62,6人=6高+言=6，求出答案即可.

【详解】解：：2a+/=2ax2=3x2=6,

3b+/=36x3=2x3=6,

.J_J_11

:・（2。+1产=6商=2，（3加1）丽=6丽=3，

._i_j_j___1

*•6^・6而=6商+而=2x3=6'

Q+1Z?+1

故答案为：1.

【点睛】本题考查幕的乘方与同底数募相乘，掌握累的乘方与同底数累相乘的运算法则是解题关键.

18.（2023下•全国•七年级名校名卷）如果x"=y,那么我们规定（无,H=〃.例如：因为4?=16,所以

（4,16]=2.

⑴（一2,16]=；若（2,y]=6,贝”=；

（2）已知（4,12]=a,（4,5]=匕，（4,y\=c,若a+Z;=c,求V的值；

（3）若（5,10]=。，（2,10]=。，令”言.

①求备的值；

②求,的值.

【答案】（1）4,64

⑵y=60

a

⑶①7多5=—1;@t=2

16〃100

【分析】（1）由（一2）4=1,可直接得出（一2,16]=4；由2$=64,可得出＞=64；

（2）由题意可得出4"=12，,=5,4c=y.根据a+/?=c,得出4"+"=4'，即4叽4"=半，进而即可求

出,=12x5=60；

（3）①由题意可得出5"=10，2〃=10,再根据25"=（52）"=（5"『=100,16fc=（24）'=（2fc）4=10000,即

可求出言=击；②根据（5〃）〃=ioJ即得出5"=10J结合题意可得出（5,101=必.由①知

5"=2'=10,即得出5"+）=5"♦5"=2〃义5〃=10）,进而得出（5,1。"]=a+6,即说明位＞=a+Z?,代入

/=当中求值即可.

【详解】（1）解：（-2）4=16,

.•.（—2,16]=4；

（2,y]=6,且26=64,

y=64.

故答案为：4,64；

（2）解：（4,12]=61,（4,5]=/?,（4,y]=c9若a+b=c,

.•.¥=12，4'=5,4c=y.

a+b=c,

4a+b=4C，BP4a.4b=4C,

二.y=12x5=60；

（3）解：①・（5,10]=。，（2,10]=&,

.•5=10,2"=10,

25"=（52）"=（5"）2=102=100,16fc=（24）"=（2fc）4=（10）4=10000,

,25"1001

"167-10000~100；

②(5")“=10",

5ab=10J

.•.(5,101=M.

由①知：5"=2〃=10,

：.5a+b=5a-5h=2bx5h=10b,

.♦.(5,101=a+b,

:.ab=a+b,

2ab

：.t=------=2.

a+b

【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，塞的乘方与其逆用.熟练掌握各运算法则是解题

关键.

19.(2023下•江苏•七年级名校名卷)如果10)=〃,那么6为”的“劳格数”，记为b=d(n).由定义可知:

lQb=n马b=d(〃)表示6、”两个量之间的同一关系.

(1)根据“劳格数”的定义，填空：d(10)=,d(IO=)=.

⑵“劳格数”有如下运算性质：

若机、〃为正数，则d(mn)=dGn)+d(n),d(—)=d(m)-d(〃)；根据运算性质，填空：)

na(a)

=.(。为正数)

(3)若d(2)=0.3010,分别计算d(4)；d(5).

【答案】(1)1,-2

(2)3

(3)0.6020,0.699.

【分析】(1)由“劳格数”的定义运算转化为同底数暴解答即可；

(2)根据幕的乘方公式转化求解即可；

(3)根据积的乘方公式、募的乘方转化求解即可.

【详解】⑴解：：106=10,

：.d(10)=1；

106=10-2,:加=-2,

：.d(10-=-2；

故答案为1,-2；

m

(2)解：,：d(m〃)=d(m)+d(n),d(一)=d(m)-d(〃)

n

.d(a3)3d(a)

.•----------j

d(a)d(。)

故答案为3；

(3)解：•.解(2)=0.3010,

：.d(4)=2d(2)=0.6020,

d(5)=d(—)=d(10)-d(2)=1-0.3010=0.699.

2

【点睛】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数塞的乘除法、塞的乘方与

积的乘方运算是解题的关键.

20.(2023下•七年级课时练习)已知2"=5〃=10,判断a+b和仍的大小关系.

【答案】a+b=ab.

【分析】利用幕的乘方和积的乘方将式子化简得到：(2。丫=2"=10〃，(5〃)"=5。"=10",

10"x10〃=10“+"=5"x2妨=(5x2)"=10%即可求出a+6和ab的大小关系.

【详解】解：：2"=5"=10,

(2")"=Tb=10〃，(5&=5ab=10a,

.•.10"x10"=10"+'=5abx2ab=(5x2户=10afc,

a+b=ab.

【点睛】本题考查累的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握幕的乘方和积的乘方，求出

10°X10"=10*=5abX2ab=(5x2)"=10afc.

21.(2023下•江苏•七年级名校名卷)规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b)：如果ac=b,那么

(a,b)=c.例如：因为23=8,所以(2,8)=3

(1)根据上述规定，填空：(5,25)=,(2,1)=,(3,[)=

(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：(3%4w)=(3,4),并作出了如下的证明：

设(3〃，4〃)=羽贝!J(3n)x=4〃，即(3x)〃=4〃.

所以3元=4,即(3,4)=x,

所以(3〃，4〃)=(3,4).

试解决下列问题：

①计算(8,1000)-(32,100000)；

②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：(3,2)+(3,5)=(3,10).

【答案】⑴2,0,-2

⑵①0;②见解析

【分析】(1)根据题中规定及暴的乘方运算进行计算即可；

(2)根据题中规定及塞的乘方运算进行计算即可.

【详解】⑴解：52=25,

(5,25)=2；

\'20=1,

：.(2,1)=0；

故答案为：2,0,-2；

(2)①(8,1000)-(32,100000)

=(23,103)-(25,