北师大版九年级数学上册压轴题：特殊平行四边形的三种几何变换问题（解析版）

专题01特殊平行四边形的三种几何变换问题

类型一、翻折问题

例L（几何翻折）实践操作

在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,现将纸片折叠，点。的对应点记为点P,折痕为所（点

E、尸是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原.

初步思考

（1）若点尸落在矩形ABCD的边A3上（如图①）.

①当点尸与点A重合时，ZDEF=_°；当点E与点A重合时，ZDEF=_°；

②当点E在AB上，点尸在。C上时（如图②），求证：四边形DE7平为菱形，并直接写出

当AP=7时的菱形EPED的边长.

深入探究

（2）若点尸落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E、歹分别在AZ）、。。边上，请直接

写出AP的最小值.

图③

拓展延伸

（3）若点尸与点C重合，点E在AD上，射线54与射线EP交于点"（如图④）.在各种

不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段A"与线段DE的长度相等？若存在，请

直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由.

图④

【答案】⑴①90。；45。②边长是装，证明见解析⑵2(3)存在，长度是g或警

14511

【分析】(1)①当点尸与点A重合时，如图1,画出图形可得结论；当点E与点A重合时,

如图2,则EF平分

②证明ADO尸=APOE(AS4)得根据一组对边平行且相等得：四边形DEPb是平行

四边形，加上对角线互相垂直可得nDEP尸为菱形，当4尸=7时，设菱形的边长为x,根据

勾股定理列方程得：62+(7-X)2=X2,求出x的值即可；

(2)如图4,当尸与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠的性质求

CD=PC=8,由勾股定理求AC=10,所以AP=10-8=2；

(3)分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可.

【详解】(1)①90。；45°

当点尸与点A重合时，所是4)的中垂线，

:.NDEF=90°；

当点E与点A重合时，此时NDEF=《NDAB=45。.

②设£＞产交所于点。，

四边形A3CD是矩形

:.DF//AB

:./ODF=/OPE,ZOFD=ZOEP

•・,点。沿£1尸折叠后对应点为尸，

:.EF±DP,DO=PO

在ADO尸和中，

ZODF=ZOPE

<ZOFD=ZOEP

DO=PO

:.ADOF^APOE（AAS）

:.DF=PE

­.­DF//AB

••.四边形。£77是平行四边形

\-EF±DP

.•口DEFP是菱形

QC

当AP=7时，菱形的边长为3.

设菱形边长为无，则AE=7-尤,OE=x

在必△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2^DE2>

:.62+（7-X）2=x2,

..X=—85.

14

（2）AP的最小值为2.

若点P落在矩形43co的内部，且点E、尸分别在45、DC边上,

当A,尸,尸在一条直线上时，AP最小,

最小值为-x=后,

，6-+x+x

所以当无最大取8时，AP的最小值为2.

6-42

(3))或IF

情况一：连接

:DE=EP=AM,EM=EM,

MEAMWAMPE

设=贝I]AlLDEnG-x,

则3M=x+2

:.MC=8-x

.,.(x+2)-+62=(8-x)2,解得：x=j；

情况二:

DE=EP=AM,ZMAG=NEPG,ZMGA=NEGP,

.isGAM=^GPE

设=贝i]DE=6-x,

则AM=PE=DE=6—x,MP=AE=x,

则MC=A/P+PC=JC+8,BC=6,BM=14-x,

.-.(14-X)2+62=(X+8)2,解得：x=t•综上所述，M的长度为g或专

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠

的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想.

例2.(与函数结合)如图1,将矩形ABOC放置于第一象限，使其顶点。位于原点，且点

B,C分别位于x轴，y轴上.若A。％”)满足Jm-20+M-12|=0.

⑴求点A的坐标；

(2)取AC中点M,连接MO,△CMO与△TWO关于MO所在直线对称，连接AN并延长，

交x轴于点P.

①求AP的长；

②如图2,点。位于线段AC上，且CD=16.点E为平面内一动点,满足DEVOE,连接PE.请

你求出线段PE长度的最大值.

【答案】(1)(20,12)；(2)①2屈：②10+2M

【分析】(1)由Jm—20+山一12|=0.可得7〃-20=0,71-12=0,即可求解；

(2)①证明NCW=90°,得到△OCM学△ABP(AAS),可得P3=CM=10=308,即可求解；

②取0。的中点。，连接QE,QP.当点P、Q、E三点共线时，PE的长度最大，进而求

解.

【详解】(1)解：,•・>/加一20+山一12|=0.

in—20=0,“-12=0,解得〃z=20,/?=12,

.・•点A的坐标为(20,12)；

(2)①与关于MO所在直线对称，

;.ON=OC=12,MN=CM=AM=10,CNYOM,

■.■MN=AM=MC,

.\ZMAN=ZMNAfZMNC=ZMCN,

设ZMAN=/MNA=a,ZMNC=ZMCN=/3t

在ZSAQV中，ZACN+NCAN+ZANM+ZMNC=\8QP,

2a+2/7=180。，

:.a+P=90°,

.\ZCNA=90°,

/.ZNCA+Z.CAN=90°,

•・•ZNCA+ZOMC=90°,

.\ZCAN=ZOMCf

:.OM//AP,

•・・AC//OB,

二•四边形AMOP是平行四边形，

:.OP=AM=10=-OB,

2

・•・点P为OB的中点，

.•.P(10,0),

AP=^(20-10)2+122=2屈;

②取。。的中点。，连接。石，QP.

・.・NO£Z)=NOC4=90。，点。是。。的中点,

・・・CD=16.

?.D(16,12),

:.BD=y/162+122=20,

.\QE=^BD=10,

由中点坐标可知：点。的坐标为(8,6),

OQ=V62+82=10,

vP(10,0),

：.OQ=OP=QE=QD=}0,

..•当点尸、。、E三点共线时，PE的长度最大,

则尸E的最大值=QE+P°,

•••P(10,0),0(8,6),

PQ=7(10-8)2+(6-0)2=2屈,

的最大值=。石+尸。=10+2怖.

故答案为：10+25/10.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行

四边形的判定，解决本题的关键是得到四边形4WOP是平行四边形.

【变式训练1】综合与实践

动手操作:

第一步：如图①，将矩形纸片ABCD沿过点。的直线折叠，使得点A,点。都落在8C边上,

此时，点A与点D重合，记为E,折痕分别为8。、CO,如图②；

第二步：再沿过点。的直线折叠，使得直线0B与直线OC重合，且。、E、C三点在同一

条直线上，折痕分别为。G、OH,如图③;

第三步:在图③的基础上继续折叠,使VOGB与△O"C重合,得到图④,展开铺平,连接F",

MG交于点N,如图⑤，图中的虚线为折痕.

⑴在图⑤中，/BGO的度数是；

(2)在图⑤中，请判断四边形的形状，并说明理由;

(3)试判断线段ON与G4的数量关系，并证明；

(4)若AB=1,则AF的长是(提示：念I=

【答案】⑴112.5。

(2)四边形a™是菱形，理由见解析

(3)ON=GH；证明见解析

⑷0-1

【分析】(1)根据折叠性质得出NAOb=NR93=/BOG=NGOE,ZABO=NEBO,求出

ZBOG=-ZAOE=22.5°,NGBO=工NABE=45。,再求出结果即可；

42

(2)证明AOPH是等腰直角三角形，AOMG是等腰直角三角形，得出

ZOFN=45°,ZOMN=45°,求出/0两+/尸0暇=180°,/0"^+//3/=180°,证明

FN//OM,MN//OF,得出四边形OFW是平行四边形，证明0^=0”,得出结论；

(3)根据SAS证明AOMN丝AGOH,即可得出结论；

(4)过点/作EPLO8交。8于点尸，根据角平分线的定义川=即，设AF=EP=x,得

出FB=H，根据AB=1,得出x+&;r=l,求出x的值即可.

【详解】(1)解：..•四边形A5C。是矩形，

,-.ZA=ZABC=90°,由折叠的性质，可知N3EO=NA=90。，

ZA=ZABC=NBEO=90°,

四边形ABEO为矩形，

,/AB=BE,

，四边形ABEO是正方形，

:.ZAOE=90°,

由折叠的性质得ZAOF=ZFOB=ZBOG=ZGOE,ZABO=NEBO,

NBOG=-NAOE=22.5。，ZGBO=-ZABE=45°,

42

ZBGO=180°-(22.5°+45°)=112.5°；

故答案为：112.5。.

(2)解:四边形是菱形，理由如下：

同(1)可得，ZCHO=112.5°,

Z.OGH=NOHG=180°-112.5°=67.5°,

ZGOH=180°-ZOGH-ZOHG=45°,

由折叠的性质可知OF=OG,OG=OH,

:.OF=OH,

/FOB=ZBOG=22.5°,

ZFOH=Z.GOH+NFOB+Z.BOG=90°,

.•.△OM是等腰直角三角形，

同理可证，AOMG是等腰直角三角形，

ZOFN=45°,ZOMN=45°,

又=135°,

ZOFN+ZFOM=180°,ZOMN+ZFOM=180°,

FN//OM,MN//OF,

/.四边形OFNM是平行四边形，

又•.•OG=OM,O尸=OG,

:.OF=OM,

四边形OEVM是菱形；

(3)解:ON=GH,理由如下：

由(2)可知/OAW=45。，AGON=ZHON=22.5°,

ZGOH=ZGON+ZHON=45°,

ZGOH=ZOMN,

,四边形OFNM是菱形，:.OM=MN=OF=FN,

由折叠性质可知，OF=OG,OM=OH,

:.OG=OH=OM=MN,

OM=GO

在AOMN和&GOH中，］ZOMN=ZGOH.^OMN^GOH,:.ON=GH-,

MN=OH

(4)解：过点尸作EPLOB交OB于点尸，如图所示：

•1-ZA=90°,FP±OB,MZAOF=ZBOF=22.5°,

:.AF=FP,

设AF=FP=x,

ZBPF=90°,ZPBF=45°,

43尸尸为等腰直角三角形,

•*-FB=6X，

'：AB=1.

x+'Jlx=1,

解得：x=正+[=五-1,

即AF=y/2-l.

故答案为：A/2-1.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质,

三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握正方形和菱

形的判定和性质.

【变式训练2】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.

(1)操作判断

操作一：对折正方形纸片，使AD与3C重合，得到折痕E尸，把纸片展平；

操作二：在BE上选一点"，沿折叠，使点8落在E户上的点G处，得到折痕S,把纸

片展平；

根据以上操作，直接写出图1中NCHB的度数：;

Q)拓展应用

小华在以上操作的基础上，继续探究，延长序交AD于点连接CN交E厂于点N(如图

2).判断AMGN的形状，并说明理由；

(3)迁移探究

如图3,己知正方形ABCD的边长为6cm,当点X是边AB的三等分点时，把VB方沿CH翻

折得△GC",延长形交AD于点请直接写出A"的长.

【答案】(1)75。

(2)AMGN是等边三角形，见解析

(3)AM=3cm或AM=4.8cm

【分析】⑴根据翻折可得：CF=gcG,得到NCGb=30。，即可求解；

(2)先证明ACGAI2CDW(HL),得到NGWC=N£)MC,再根据平行证明

ZEGH=ZAMG^6Q°,即可求解；

21

(3)分两种情况讨论：AH=-AB=4^AH=-AB=2.

33

【详解】(1)解：由题意可得：CF^BC,

由翻折性质可得：CG=BC,

：.CF^-CG,

2

：.NCG尸=30。，

•・,EF//BC,

：.ZCGF=ZBCG=30°,

由翻折性质可得：ZHCG=ZBCH,

・.,ZHCG+ZBCH=/BCG,

：.ZBCH=15°,

：.ZCHB=90°-15°=75°；

(2)解：△MGN是等边三角形；

由题意可得：?B90?,

由翻折性质可得：NHGC=NB=96。,CG=BC,

：.ZCGM=90°,

・・•四边形ABC。是正方形，

：.CD=BC,

；・CG=CD,

•;CM=CM,

：.RUCGA12RtACDM(HL),

・・・ZGMC=ZDMC,

由(1)得：/CHB=75。，

：.NC〃G=75。，

・・・ZEHG=180°-75°-75°=30°,

：.ZEGH=90°-30°=60°,

：.ZMGN=6O°,

•・・EF//AD,

：.ZEGH=ZAMG=60°,

VZGMC=ZDMC,Z.GMC+ADMC=120°,

・・・ZGMC=60°,

・•・ZGNM=60°,

・・・△MGN是等边三角形；

(3)解：①连接MC,如图所示，

・・•正方形ABCD的边长为6cm,点H是边的三等分点,

JAH=2A3=4,BH=-AB=2,ZB=ZD=9O°,

33

由翻折性质可得：CG=BC,ZB=ZHGC=90°fHG=BH=2,

ACG=DC,ZMGC=9Q°,

CM=MC,

：.Rt^CGM在RtACDM(HL),

MG=MD=xcm,则AM=(6-x)cm,HM=(2+x)cm

由勾股定理得：AM2+AH2=HM2,

解得：x=3cm,

即AM=3cm；

②如图所示，

:正方形ABC。的边长为6cm,点H是边A3的三等分点，

12

AH=-AB=2,BH=—AB=4,ZB=ZD=90°,

33

由翻折性质可得：CG=BC,NB=NHGC=90。,HG=BH=4,

：.CG=DC,ZMGC=90°,

,/CM=MC,：.RIACGM空RtCDM(HL),

MG-MD=xcm,则AM=(6-x)cm,HM=(4+x)cm

由勾股定理得：AM2+AH2=HM2,解得：x=4.8cm,即W=4.8cm；

【点睛】本题考查了几何问题，涉及到正方形的性质和翻折的性质、全等三角形的判定和性

质，难度较大，正确理解题意和灵活运用所学的知识是解题的关键.

【变式训练3】综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

图1图2图3

(1)操作判断

操作一：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕£71把纸片展平，连接AM；

操作二：在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点〃处，把纸片展平，连接

PM,BM.

根据以上操作，请判断图1中A/回!是什么特殊三角形？答：.

(2)迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长尸河交C£＞于点Q,连接BQ.

①如图2,当点M在E尸上时，NMBQ=。，/CBQ=。；

②改变点P在此＞上的位置(点尸不与点A,。重合)，如图3,判断与/C3Q的数

量关系，并说明理由.

⑶拓展应用

在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当尸。=1cm时，直接写出”的

长.

【答案】(DAABM是等边三角形

⑵①15,15；②ZMBQ=2CBQ,理由见解析

~40324

(3)——cm或一cm

1113

【分析】(1)由折叠的性质可得AB=VB，=,进而可得==可知AABM

是等边三角形；

(2)①由“HL”可证RLBCQ丝RtARWQ,可得NCBQ=NMBQ=15°；②由“HL”可证

Rt^BCQ^Rt^BMQ,可得NCBQ=NMBQ；

(3)分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解.

【详解】(1)解：由折叠的性质可得=AM=BM,

：.AB=MB=AM,

/^ABM是等边三角形，

故答案为：等边三角形；

(2)解:①•..四边形ABC。是正方形，

AAB=BC,/fiAD=NC=90。，

由折叠可得：AB=BM,ZBAD=ZBMP=90。,

：.BM=BC,ZBMQ=ZC=90°,

又BQ=BQ,

：.RtABCQ^Rt△BMg(HL),

ZCBQ=ZMBQ,

同（1）可证△ABM是等边三角形,

ZABM=60°,

：.NCBM=90°-ZABM=30°,

ZCBQ=ZMBQ=g/CBM=15°,

故答案为:15,15；

@ZMBQ=ZCBQ,理由如下：

1•四边形ABCD是正方形，

AAB=BC,/BAD=NC=90。，

由折叠可得：AB=BM,/BAD=/BMP=90。,

：.BM=BC,ZBMQ=ZC=90°,

又•；BQ=BQ,

Rt^BCQ^Rt^BMQ,

：.ZCBQ=ZMBQ；

（3）解：由折叠的性质可得OP=CF=4cm,AP=PM,

,：Rt^BCQ^Rt^BMQ,

：.CQ=MQ,

*.*FQ=1cm,MQ=CQ=3cm,DQ=5cm,

PQ2=PD2+DQ2,（AP+3）2=（8-AP）2+52,Z.AP=^cm,

如图，当点。在线段D尸上时，

FQ=1cm,/.MQ=CQ=5cm,DQ=3cm,

•?PQ2=PD2+DQ2,/.（AP+5）2=（8-AP）2+32,/.AP=—cm,

综上所述：AP的长为,4c0m或1241cm.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角

形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

类型二、旋转问题

例1.（线段旋转）【课本再现】把两个全等的矩形和矩形CEFG拼成如图1的图案,

贝I]ZACF=°.

【迁移应用】如图2,在正方形MCD中，E是8边上一点（不与点C,。重合），连接BE,

将BE绕点E顺时针旋转90。至压，作射线阳交3c的延长线于点G,求证：CG=BC.

【拓展延伸】在菱形中，NA=120。，E是8边上一点（不与点C,D重合），连接

BE,将BE绕点E顺时针旋转120。至EE,作射线ED交BC的延长线于点G.

①线段CG与BC的数量关系是.

②若钻=6,E是。的三等分点，则ACEG的面积为.

【答案】【课本再现】90；【迁移应用】见解析；【拓展延伸】①CG=g12C；②:a百l或3g/-

【分析】（1）【课本再现】先证明RtAADC丝RtACGF,可得NACD=/GEC,从而得到

ZACD+ZGCF=90°,即可；

【迁移应用】过点/作FHLCD交C。于点打，结合正方形的性质和旋转的性质证明

△BEC%EFH,可得FH=CE,EH=BC,从而得到=进而得到△DCG是等腰直

角三角形，即可；

【拓展延伸】①过点F作Z.EFH=ZBEC,与ED的延长线交于点H,可证得ABEC对EFH,

从而得到收=CE,£H=BC,ZH=/BCD=120。,进而得到77/=。”，

NCDG=NFDH=30°,继而得到CG=gc£>=：BC；②分两种情况讨论，即可.

【详解】•••矩形ABCD和矩形CEFG是全等矩形,

/.AC=CF,AD=CG,ZADC=NCGF=90°,

在Rt^AOC和RtACGF中,

[AC=FC

[AD=CG"

：.RtAADC^RtACGF(HL),

JZACD=ZGFC,

:/GFC+NGCF=90。,

：.ZACD+ZGCF=90°,

JZACF=90°；

故答案为：90

【迁移应用】如图，过点尸作切，8交8于点H,

・・•四边形ABC。是正方形，

CB=CD,NBCD=9。。,

：.ZH=ZBCD=90°,

由旋转的性质得：ZBEF=90°,EF=BE,

・.•/BEC+NCBE=ZBEC+/FEH=90。,

:.ZCBE=ZFEH,

在△3EC和△瓦H中，

ZCBE=ZFEH

<BE=EF,

/BCE=/H

：・小BEC'EFH,

・・.FH=CE,EH=BC,

：.EH=CD,

：.CE+DE=DE+DH,

：.CE=DH,

JFH=DH,

：.NFDH=45。,

：.NCDG=45。,

'：ZDCG=90°f

・・・△OCG是等腰直角三角形，

：.CG=CD=BC；

【拓展延伸】①过点/作ZEFH=N5EC,与£。的延长线交于点H,

由旋转的性质得：/BEF=12。。,BE=EF,

：./BEC+/FED=60。,

・・•四边形ABC。是菱形，

：.ZA=ZBCD=120°f

：.Z£BC+ZBEC=60°,

J/FED=/EBC,

在△BEC和△EFH中,

ZCBE=/FED

<BE=EF,

/BEC=/EFH

：.^BEC^EFH,

:・FH=CE,EH=BC,ZH=NBCD=120。,

・・・EH=BC=CD,

：.CE+DE=DE+DH,

：.CE=DH,

・•・FH=DH,

：.4CDG=/FDH=30。,

ZDCG=180°-ZBCD=60°,

・•・NG=90。，

CG=-CD=-BC；

22

故答案为：CG^BC

②当CE=gc£>时，有

CE=-x6=2,

3

由①得：CG=；CO=3,

DG=ylCD2-CG2=373,

VACEGACDG的底边CE,CD上的高相等，

[113

SCFC=—^CDC=—X—X3y/3=—>/3；

3322、、

19

当。£=]CQ时，^CE=-CD,

；・S«cEG=ISc。G=§*$*36=3出

综上所述，ACEG的面积为|G或36.

故答案为：（币或3#I

【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等

知识，熟练掌握相关知识点，并利用类比思想解答是解题的关键.

例2.（图形旋转）（1）如图1,正方形A3CZ）的对角线相交于点。，点。又是正方形

的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1,四边形为两个正方形重叠部分.正方

形A/C0可绕点°转动.则下列结论正确的是（填序号即可）.

①AAEO四△BFO；®OE=OF-③四边形OEB尸的面积总等于;S正方琢口；④连接收，总

AE2+CF2=EF2.

【类比迁移】

（2）如图2,矩形ABCD的中心。是矩形4月G。的一个顶点，4。与边A2相交于点E,G。

与边CB相交于点尸，连接所，矩形ABC。可绕着点。旋转，猜想AE,C「,E尸之间的数

量关系，并进行证明；

【拓展应用】

（3）如图3,在RtAu4CB中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,直角/EDF的顶点。在边

AB的中点处，它的两条边DE和。尸分别与直线AC,BC相交于点耳尸，/EZ卯可绕着点

。旋转，当AE=2cm时，求线段E户的长度.

【答案】（1）①②③④；（2）AE2+CF2=EF2,理由见解析；⑶生叵cm或士叵cm

88

【分析】（1）先证明A4EO四△3FO,再根据全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定

理，逐项判断即可求解；

（2）连接AC,延长E0交。于点G,连接FG,根据矩形的性质可得点。是AC的中点,

再证明AAEgACGO，可得AE=CG,OE=OG,再由线段垂直平分线的性质可得EF=FG,

在Rt^RCG中，根据勾股定理，即可求解；

（3）设CF=xcm.分两种情况讨论：①当点E在线段AC上时，②当点E在C4延长线上

时，结合勾股定理，即可求解.

【详解】解：（1）在正方形和正方形A与G。中，

AB=BC,OA=OB,ZOAB=ZOBC=45°,NAOB==90°,

ZAOE=ZBOF,

：.,故①正确；

：,OE=OF,S“AEO=S.BFO,故②正确；

・••四边形OEBF的面积=S&BOE+S^BOF=S&BOE+=S^AQB=-S正方形钻8，

四边形o丽的面积总等于;s正方形的3,故③正确；

如图，

AAEO^ABFO,

・•・AE=BF,

,:AB=BC,

：.BE=CF,

'：NA5C=90。，

BF2+BE2^EF2,

：.AE2+CF2=EF-,故④正确；

故答案为：①②③④

(2)AE2+CF2=EF2,理由如下：

连接AC,延长E。交8于点G,连接尸G,

是矩形A3CD的中心，

.•.点。是AC的中点.

AO=CO,

•・•在矩形ABC。中，/BCD=90。,AB//CD,

：.ZBAO=NDCO,ZAEO=ZCGO,

^AEO^CGO,

：.AE=CG,OE=OG,

在矩形AMG。中，N4OG=90。，

:.EF=FG,

在RtAbCG中，CG1+CF1=GF-

：.AE2+CF2=EF-

(3)设CF=xcm.

①当点E在线段AC上时，

AE=2cm,

CE=1cm

:在Rt^PCE中，ZC=90°,

CE2+CF2=EF2,

/.l2+x2=EF2,

又由(2)得：EF2=AE2+BF2,

EF2=22+BF2

A12+X2=22+（4-X）\

£F2=22+（4+X）2,

又在Rt^FCE中，EF2=X2+（3+2）2.

Z.X2+（3+2）2=22+（4+X）2

故EF的长度为cm或cm.

88

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，

熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用类比思想

解答是解题的关键.

类型三、平移问题

例1.（线段的平移）已知正方形ABC。，点E，尸分别在射线3C,射线8上，BE=CF,

AE马BF交于点、H.

(1)如图1,当点E,b分别在线段BC,8上时，求证：AE=BF,且AE_L加'；

(2)如图2,当点E在线段BC延长线上时，将线段BE沿B尸平移至FG,连接AG.

①依题意将图2补全；

②用等式表示线段AG,PG和AD之间的数量关系，并证明.

【答案】(1)见解析

(2)①见解析；②AG?=24加+2打?2,证明见解析

【分析】(1)根据正方形性质可得AB=3C,ZABE=ZBCF=90°,进而可证明

AABE=ABCF(SAS),依据全等三角形性质即可证得结论；

(2)①按题目要求补全图形即可；

②连接EG,根据平移性质即可得出四边形BEGF是平行四边形，根据平行四边形性质得

EG=BF,EG//BF,再由AABE=ABCF(SAS),可得非二5/，NBFC=ZAEB,进而可得

出EG=AE,ZAEG=90°,由勾股定理即可得出结论.

【详解】(1)解：如图1,

四边形ABCD是正方形，

:.AB=BC,ZABE=/BCF=90。,

BE=CF

在AASE和ABC尸中，＜ZABE=ZBCF,/^ABE=ABCF(SAS),

AB=BC

:.AE=BF,NBAE=ZCBF,

ZCBF+ZABH=90°,ZBAE+ZABH=90°,

:.ZAHB=90°,.\AE_LBF,故AE=5产，且AE_LAF；

(2)解：①补全图如图2所示；

图3

・••线段BE沿BF平移至FG,

一.四边形3EG厂是平行四边形,

:.EG=BFfEG//BF,

在和ABCF中，

BE=CF

<ZABE=ZBCF,

AB=BC

:.AABE=ABCF(SAS),

:.AE=BF,ZBFC=ZAEB,

-,EG=BF=AE,

ZBFC+ZCBF=90°,

:.ZAEB+ZCBF=90°f

:.NBHE=90°,

•:EGIIBF,

ZAEG=ZBHE=90°,

AG2=AE2+EG2=2AE2,

AE2=AB2+BE2=AD2+FG2,

AG2=2AD2+2FG2.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平移的性质、勾股定理的应

用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理.

例2.(图形的平移)平行四边形43CZ)中，AEIBC^E,且=

(1)如图1,若DE=3近,求平行四边形ABCD的面积.

(2)如图2,连接OE,过A作AFLAB交ED于歹，在A3上截取AG=AF,连接OG,点H

为G。中点，连接AH,求证：4AH2+DF2=2AF2-

图2

(3)如图3,连接把沿直线3D方向平移，得到△AMD,若CZ)=W，EC=2,

请直接写出平移过程中A'C+B'C的最小值.

【答案】⑴5.88=9

(2)见解析

⑶AC+3'C的最小值为^

【分析】(1)根据平行线的性质得出AD〃3C,证明NZME=/A£B=90。，利用勾股定理

求出AD=3,利用平行四边形面积公式即可得出结果；

(2)延长AH交CD于T,连接石G,GF,证明NG£F=90。，EG=DF,EF=AT=2AH

即可解决问题；

(3)由题意可知四边形AZ'CD是平行四边形，推出推出AC+9C的最小值

=AC+AZ>的最小值，点4在过点A且平行于3。的定直线上，作点。关于定直线的对称

点、E,AC^B,C=A!C+A!D=A!C+A!E,>CE,,则CE'的长度即为A'C+9。的最小值，

求出CE'的最小值，可得结论.

【详解】(1)解：,・•四边形ABC。为平行四边形，

・•・AD//BC,

'：AELBC,

：.ZAEB=90°,

：.ZDAE=ZAEB=90°,

VAD=AE,DE=3底,

2AD2=DE2，

：.AD=3f

：.AE=3,

**•^aABCD=AD，AE=9•

(2)证明：如图，延长AH交。于T,连接EG,GF,

：.AB//CD,

：.ZAGH=/TDH,

VZAHG=ZTHDfHG=HD,

：.AAHG^ATW(ASA),

：・AH=TH,AG=DT,

VAELBC,AD//BC,

：.AE±AD,

VAF1AG,

：.ZEAD=ZGAF^90°,

：.ZGAE=ZFAD,

VAD=AE,AF=AG,

：.也△EW(SAS),

:・DF=GE,ZAEG=ZADE=45°f

'：ZAED=45°,

JZGEF=90°,

JEG1+EF2=FG2=2AF2,

VZ^AE+ZB=90°,ZBAE-^-ZEAF=90°,

I.ZB=NEAF,

,:ZB=ZADT,

：.ZEAF=ZADT,

VAG=AF,AG=DT,

：.AF=DT,

•・•AE=AD,

：.△E4F也△ADT(SAS),

・•・EF=AT=2AH,

A4AH2+DF2=2AF2-

(3)解：如图，

0r-a

5EHC

'：A'B'=CD,AB'//AB//CD,

•1•四边形AB,CD是平行四边形，

/.A!D=B'C,

：.AC+B'C的最小值=AC+AD的最小值，

•.•点A在过点A且平行于BD的直线上，

，作点。关于直线的对称点E',

：AC+B'C=AC+A'D=AC+AE'>CE',则CH的长度即为A'C+B'C的最小值，

过点£作后月，3c于巴交AZ）于J,过点A作AT,加于T,设DE'交A4'于K,过点C

作CR_L4?于R,

•/ZAEC=ZEAR=ZARC=90°,

四边形AEC7?是矩形，

:.AR=EC=2,T§1AE=AD=X,

在RtACRD中，贝I］有炉+（工一2）2=10,

解得x=3或-1（舍去），

AAD=AE=BC^3,BE=BC-EC=1,

过点8作BQ_LD4交ZM的延长线于。，则4。==1,DQ=AQ+=4,3Q=AE=3,

•1-BD=yjBQ2+DQ2=732+42=5，

'：S^D=^BDAT^ADBQ,

9

・・.AT=1,

•・•四边形ATOK是矩形，

9

・・・DK=AT=KEf=-,

5

117?

S.QE=—ADE'J=—DE'・AK,・・・E'J=——,

：.AJ=EH=AD-DJ=3--=—

2525f

2129

・・.CH=EC-EH=2——,

2525

72147

・.,EH=E'J+JH=—+3=——,

2525

在RtACE“中，CE=j+偿:="।,

AC+3'C的最小值为遮I.

5

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解

直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用

转化的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题.

【变式训练I】（1）如图I,正方形ABC。的对角线相交于点。，点。又是正方形A与G。的

一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1,四边形o师为两个正方形重叠部分.正方形

A四G。可绕点。转动.则下列结论正确的是（填序号即可）.

①AAEO/△BFO；®OE=OF-③四边形OE即的面积总等于;S设小四；④连接政，总

AE2+CF2=EF2.

【类比迁移】

（2）如图2,矩形ABCD的中心。是矩形AgCQ的一个顶点，4。与边A3相交于点E,G。

与边CB相交于点尸，连接收，矩形4月。。可绕着点。旋转，猜想A£,CF,M之间的数

量关系，并进行证明；

【拓展应用】

（3）如图3,在Rt^ACB中，ZC=90°,AC=3cm,3C=4cm,直角/瓦犷的顶点。在边

的中点处，它的两条边DE和OR分别与直线AC,BC相交于点区尸，/瓦庄可绕着点

D旋转，当A£=2cm时，求线段防的长度.

【答案】（1）①②③④；（2）AE2+CF2=EF2,理由见解析；（3）”7cm或上^cm

88

【分析】（1）先证明△AEO丝△BFO,再根据全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定

理，逐项判断即可求解；

（2）连接AC,延长E。交8于点G,连接尸G,根据矩形的性质可得点。是AC的中点,

再证明AAEg^CGO，可得4E=CG,OE=OG,再由线段垂直平分线的性质可得EF=FG,

在Rt△尸CG中，根据勾股定理，即可求解；

（3）设CF=xcm.分两种情况讨论：①当点E在线段AC上时，②当点E在C4延长线上

时，结合勾股定理，即可求解.

【详解】解：（1）在正方形和正方形4800中，

AB=BC,OA=OB,ZOAB=ZOBC=45°,NAOB=NAQQ=90°,

：.ZAOE=NBOF,

：.AAEO^ABFO,故①正确；

：.OE=OF,S.AEO=S“BF。，故②正确；

，四边形OEB尸的面积=5,BOE+S^BOF-SOOE+sAAOE=^^AOB-WS正方形ABC。，

四边形OEB尸的面积总等于;S正方修88,故③正确；

如图，

G

AAEgABFO,

：.AE=BF,

AB=BC,

：.BE=CF,

'：ZABC=90°,

:•BF?+BE。=EF?，

：.AE2+CF2=EF2，故④正确；

故答案为：①②③④

(2)AE2+CF2=EF2,理由如下：

连接AC,延长E。交8于点G,连接尸G,

是矩形ABCD的中心，

.,.点。是AC的中点.：.AO=CO,

;在矩形ABC。中，ZBCD=90°,AB//CD,

：.ZBAO=ZDCO,ZAEO=ZCGO,

AAEO^ACGO,：.AE=CG,OE=OG,

90

在矩形AB|G。中，ZA°CI=°，：.EF=FG,

在R/bCG中，CG'CF?=GF?

AE2+CF2=EF2；

(3)设CF=xcm.

①当点E在线段AC上时，

A

CF\B

AE=2cm,CE=1cm

・・•在Rt△bCE中，ZC=90°,：.CE2^CF2=EF2,：.]2+x2=EF2,

又由（2）得：EF?=AE?+B产,

EF2=22+BF-»I2+x2=22+（4-x）2,解得x=£.所=5yfn

②当点E在C4延长线上时，同理可证稗2=4召2+5尸

G

：.EF2=22+（4+X）2,又在Rt△尸CE中，EF2=X2+（3+2）2.

.,.X2+（3+2）2=22+（4+X）2,解得x=）.二E尸=,52+（9）

故EF的长度为名叵cm或cm.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，

熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用类比思想

解答是解题的关键.

【变式训练2】已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,AE±BD,垂足是E.点尸

是点E关于的对称点，连接A尺所.

图①图②备用图

（1）求AF和班的长;

（2）若将沿着射线8。方向平移，设平移的距离为加（平移距离指点8沿8。方向所

经过的线段长度）.当点尸分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的加的值.

（3）如图②，将绕点8顺时针旋转一个角。（0°＜。＜180。），记旋转中AAB尸为

NA'BF',在旋转过程中，设A，尸所在的直线与直线AZ）交于点P,与直线3D交于点Q.是

否存在这样的P、Q两点，使VDP。为等腰三角形？若存在，求出此时。。的长；若不存在，

请说明理由.

129916

【答案】（1）AF=—,BF=~.（2）m=-^m=—；（3）存在4组符合条件的点P、点。，

使VDP。为等腰三角形；。。的长度分别为2或字或记-5或5-

o55

【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；

（2）依题意画出图形，如图①-1所示.利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求

出m的值；

（3）在旋转过程中，等腰ADPQ有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算

即可.

【详解】（1）•；四边形ABCD是矩形，

ZBAD=90°,

在RtAABD中，AB=3,AD=4,

由勾股定理得：BD=VAB2+AD2=V32+42=5-

•.*SAABD=|BD«AE=gAB・AD,

1/点F是点E关于AB的对称点,

.\AF=AE=y,BF=BE,

VAEXBD,

.•.ZAEB=90°,

在RtaABE中，AB=3,AE=y,

由勾股定理得：BE=JAB?一AE?=卜_[g=|；

(2)设平移中的三角形为AABF,如图①-1所示：

图①4

9

由对称点性质可知，Z1=Z2.BF=BE=-,

9

由平移性质可知，AB//AfB\Z4=Z1,BF=BF=g,

①当点F落在AB上时，

•・・AB〃AB,

AZ3=Z4,

根据平移的性质知：N1=N4,

AZ3=Z2,

99

・・・BB'=B'F'=—,即机=—；

55

②当点F落在AD上时，

・.,AB〃AE,AB±AD,

；.Z6=Z2,ABJ_AD,

VZ1=Z2,Z5=Z1,

・・・N5=N6,

又知AB」AD,

•••△BFD为等腰三角形，

9

・・.BD=BF=M，

BB，=BD-BD=5-,即m=史；

555

(3)存在.理由如下:

・・,四边形ABCD是矩形,

,ZBAD=90°,

VAEXBD,

.'.ZAEB=90°,

Z2+ZABD=90°,ZBAE+ZABD=90°,

AZ2=ZBAE,

・・•点F是点E关于A