中考数学总复习提升专项知识一次函数的图象与性质(练习)含答案及解析

第三章函数第10讲一次函数的图象与性质TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01一次函数的定义👉题型02判断一次函数的图像👉题型03正比例函数的性质👉题型04探究一次函数经过的象限与系数之间的关系👉题型05探究一次函数的增减性与系数之间的关系👉题型06求一次函数解析式👉题型07一次函数与坐标轴交点问题👉题型08比较一次函数的大小👉题型09与一次函数有关的规律探究问题👉题型10与一次函数有关的新定义问题👉题型11以开放性试题的形式考查一次函数👉题型12求两直线与坐标轴围成的图形面积👉题型13探究一次函数与方程、不等式的关系👉题型14一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判定👉题型15与一次函数有关的图形变化问题👉题型16与一次函数有关的动点问题👉题型01一次函数的定义1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）若函数y=m+1xmA．2 B．−2 C．±2 D．32．（2024·北京·三模）已知地面温度是20℃，如果从地面开始每升高1km，气温下降6℃，那么气温t(℃)与高度ℎ(A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数3．（2024·四川南充·三模）若y=m−1xm+2是y关于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在画一次函数的图象时列出了如下表格：x…−2−1012y…41−1−5−8…小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（

）A．1 B．−1 C．−5 D．−8👉题型02判断一次函数的图像5．（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，点A3,n，点B−3,n，点C4,n+2A． B． C． D．6．（2023·浙江丽水·一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表面刚好离开水面，停止计时．用x表示圆柱体运动时间，y表示水面的高度，则y与x之间函数关系的图象大致是（

）A．B．C．D．7．（2023·安徽滁州·一模）已知一次函数y=x+2的图象经过点Pa，b，其中a≠0，b≠0，则关于x的一次函数y=ax+b和y=bx+aA．B．C．D．8．（2022·广西钦州·一模）定义一种运算：a⊗b=a−ba≥2ba+b−6(a<2b)则函数y=A．B．C．D．👉题型03正比例函数的性质9．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，直线y=kxk≠0与双曲线y=6x交于Ax1,y10．（2023·江苏镇江·二模）正比例函数y=kxk<0，当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k=11．（2023·甘肃平凉·三模）已知正比例函数y=m2+112．（2023·浙江·三模）点P是正比例函数y=kx上一点，把点P向右平移2个单位，向下平移3个单位后的点仍在正比例函数y=kx的图象上，则k的值为．👉题型04探究一次函数经过的象限与系数之间的关系13．（2023·安徽合肥·二模）已知一次函数y=x+2的图象经过点Pa,b，则关于x的一次函数y=ax+b的图象一定经过第14．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线y=4x+1与直线y=−x+b的交点不可能在第象限．15．（2023·湖南永州·二模）已知一次函数y=m−2x+2m+6的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是16．（2023·贵州贵阳·二模）已知点A−2,3，B2,1，直线y=kx+k与线段AB相交，则k的取值范围是👉题型05探究一次函数的增减性与系数之间的关系17．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知点Mm,y1，N−1,y2在直线y=−x+1上，且A．m<−1 B．m>−1 C．m<1 D．m>118．（2023·安徽滁州·二模）已知(x1，y1)，(x2，y2)，(xA．若x1x2>0，则y1C．若x2x3<0，则y119．（2024·江苏苏州·一模）已知一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0），当1≤x≤4时，3≤y≤6，则bk的值为20．（2024·黑龙江大庆·二模）一次函数y=4x+b，当m≤x≤n时，函数值y的范围是c≤y≤d，那么代数式d−cm−n的值是👉题型06求一次函数解析式21．（2024·贵州黔东南·一模）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久，如图所示是某次对弈的残图的一部分，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点−2,−1的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为22．（2024·山东济南·模拟预测）2024年五一期间，小亮一家驾车前往青岛旅游，在行驶过程中，汽车离青岛崂山景区的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，那么小亮从家到青岛崂山景区一共用了小时．23．（2024·河北沧州·三模）在“探索一次函数y=kx+b的系数k,b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A0,2，B2,3，C3,1．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式AB:y1=k1x+b1，BC:y2=k224．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，A0，4，B−4，0，C为👉题型07一次函数与坐标轴交点问题25．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段AB上，PC⊥x轴于点C，则△PCO周长的最小值为．26．（2024·江苏镇江·二模）直线y=−33x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，点B绕点27．（2024·江苏泰州·二模）若点Pa,b在直线y=−2x+9上，点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为28．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=2x+1与y轴交于点A，直线l2与y轴，x轴交于点B，点C，l1与l2交于点D1,m(1)求点D的坐标及直线l2(2)求△AOD的面积；(3)若直线l2上有一点P使得△ADP的面积等于△ADO的面积，直接写出点P👉题型08比较一次函数的大小29．（2024·湖南株洲·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y=−3x+b的图象经过点A(−2,m)和点B(2,n)，则m、n的大小关系为mn（填“>”“=”或“<”）．30．（2024·四川成都·二模）若点A−1,y1，B3,y2都在函数y=a2+131．（2024·江苏南京·三模）已知一次函数y1=x+1与y2=−2x+b(b为常数），当x>2时，y132．（2024·江苏泰州·一模）已知一次函数y=ax+b(a、b是常数，且a≠0)，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…cc+1c+2…y…n−m…则mn．(填“>”、“=”或“<”)👉题型09与一次函数有关的规律探究问题33．（2024·吉林长春·模拟预测）设直线nx+(n+1)y=2(n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为Sn(n=1，2，…2000)，则…当n=2000，S2000则S1故答案为：200034．（2024·四川广安·模拟预测）在直角坐标系中，直线l:y=33x−33与x轴交于点B1，在直线n:y=3x上取点A1，使OA1=OB1，过点A1作A1B2∥x轴，交直线l于点B2，接着在直线35．（2024·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=33x+1与直线l2:y=3x交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B36．（2024·江苏盐城·二模）如图，一次函数y=2x+2的图象为直线l，菱形AOBA1，A1O1B1A2、A2O2B2A3，…按图中所示的方式放置，顶点A，A1，A37．（2024·山东临沂·一模）如图，已知直线a:y=x，直线b:y=−12x和点P(1,0)，过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x38．（2023·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1与x、y轴分别交于点A、B，在直线AB上截取BB1=AB，过点B1分别作y轴的垂线，垂足为点C1，得到△BB1C1；在直线AB上截取B1B2=BB1，过点B2分别作y轴的垂线，垂足为点C2，得到△BB2C2；在直线直线AB👉题型10与一次函数有关的新定义问题39．（2024·江苏徐州·二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点−1,1是函数y=x+2的图像的“平衡点”．在函数①y=2x−1，②y=3x，③y=−x2+2x+1，④y=x²+x+3，⑤y=−340．（2024·山东枣庄·二模）定义：在平面直角坐标系中，对于点Px1,y1，当点Qx2,y①点Q13,8,②若直线y=x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为2③抛物线y=x2−x+4上存在两个点是点P41．（2024·浙江湖州·二模）在平面直角坐标系中，当点Px,y不在坐标轴上时，我们定义P的影子点为P'xy,−xy．已知点Q的坐标为a,b，且a,b满足方程组13a+4+c−5=0b−1=3c−15（c为常数），若点42．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点A−52,0，B52,0，C−52,6．给出如下定义：若点Px0,y0先向上平移x0个单位（若x0<0，即向下平移x43．（2024·广东广州·二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．当⊙O的半径为2时，在点P112,0，P212,32中，⊙O的关联点是；点P在直线y=−x上，若👉题型11以开放性试题的形式考查一次函数44．（2024·广东·模拟预测）已知y是关于x的一次函数，点0,−4在该一次函数的图象上，且y随x的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数表达式：．45．（2024·江苏泰州·三模）若y是x的函数，其图象过点1,4、−2,−2，写出一个符合此条件的函数表达式：．46．（2024·河南开封·二模）请写出一个与直线y=x+1有公共点的函数解析式：．47．（2024·江苏南京·一模）一次函数y=kx+b图象经过点1,1，当x=2时，5<y<9，则k的值可以是．（写出一个即可）48．（2024·山东济宁·二模）已知ai≠0（i=1，2，…，2024），且满足条件a1a1+a2a2+👉题型12求两直线与坐标轴围成的图形面积49．（2024·黑龙江·二模）在平面直角坐标系中，直线y=kx+bk≠0与y轴交于点B，与x轴交于点C，线段OB,OCOB>OC的长是一元二次方程x2−9x+18=0的两个根，直线y=x交(1)求点A的坐标；(2)在平面直角坐标系中有一点P（6,m），求△AOP的面积S(3)M为直线BC上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线OA于点N，点Q在y轴上，是否存在点M，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．50．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，直线l1的解析式为y=−3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A4,0、B3,−32(1)求直线l2(2)求△ADC的面积；(3)试问：在直线l2上是否存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等？若存在，请直接写出点P51．（2024·山东潍坊·二模）如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2x在第一象限交于A(6,1)，B(2,m)两点，点C是(1)求一次函数的表达式；(2)若△ABC的面积为12，求点C的坐标．52．（2023·河北沧州·一模）如图，直线l1的表达式为y=−3x+5．且与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2经过点C3,0，且与直线l1交于点D(1)写出点D的坐标，并求出直线l2的表达式；(2)连接BC，求△BCD的面积；(3)直线l2上是否存在一点P，使得△APB的周长最小？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P53．（21-22八年级下·广西贵港·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+3与x轴交于点A，直线l2与x轴交于点B(3,0)，与直线l1交于点C(1,m)，动点M(1)求m的值及直线l2(2)若经过点M作y轴的平行线与直线l2相交于点N，当MN=AB时，求此时点M(3)在（2）的条件下，请直接给出以O，C，M，N为顶点的四边形的面积．👉题型13探究一次函数与方程、不等式的关系54．（2022·贵州贵阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n(a<m<0)的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y=mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组{y−ax=by−mx=n的解为③方程mx+n=0的解为x=2；④当x=0时，ax+b=−1．其中结论正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．455．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象与一次函数y=kx−k的图象的交点坐标为Am(1)求m的值和一次函数的解析式；(2)直接写出使函数y=kx−k的值大于函数y=x的值的自变量x的取值范围．56．（2023·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=x+4的图像分别与x轴，y轴交于A，B两点直线l2:y=mx+4的图像分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点，M(1,3)和

(1)求直线l2(2)将线段MN向左平移n个单位，若与直线l1，l2同时有公共点，求(3)直线y=a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF=1时，求57．（2023·河北衡水·二模）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A1(1)求AB所在直线的解析式；(2)某同学设计了一个动画；在函数y=−2x+b中，输入b的值，得到直线CD，其中点D在x轴上，点C在y轴上．①在输入过程中，若△ABD的面积为5，直线CD就会发蓝光，求此时输入的b值；②若直线CD与线段AB有交点，且交点的横坐标不大于纵坐标时，直线CD就会发红光，直接写出此时输入的b的取值范围．58．（2023·河北石家庄·三模）如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于点A，C，直线BC与直线AC关于y轴对称．

(1)求直线BC的解析式．(2)若点Pm,2在△ABC的内部，求m(3)若过点O的直线L将△ABC分成的两部分的面积比为1:3，直接写出

👉题型14一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判定59．（21-22九年级上·广西柳州·期中）一次函数y=ax+b的图像如图所示，则二次函数y=ax2+bxA．B．C．D．60．（21-22九年级上·山东泰安·期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx（cA．B．C．D．61．（2024·山东德州·二模）二次函数．y=ax²+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax−b的图象大致是（

）A．B．C．D．62．（2024·安徽蚌埠·三模）在同一坐标系中，一次函数y=ax+a与二次函数y=ax2−aA．B．C． D．👉题型15与一次函数有关的图形变化问题63．（2024·北京·模拟预测）如图，(1)【提出问题】将一次函数y=−2x+4的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______；(2)【初步思考】将一次函数y=−2x+4的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点A(0，4)，B(2，0)，将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点A'，B(3)【深度思考】已知一次函数y=−2x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．①将一次函数y=−2x+4的图象关于x轴对称，求所得图象对应的函数表达式；②如图①，将直线y=−2x+4绕点A逆时针旋转60∘③如图②，将直线y=−2x+4绕点A逆时针旋转45°，求所得图象对应的函数表达式．64．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A6,0，B0,8，连接AB，把△AOB沿着过点A的某条直线折叠，使点B落在x轴负半轴上的点D处，折痕与y轴交于点(1)求直线AB的解析式；(2)求点C的坐标．65．（2024·山西大同·三模）阅读与思考下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务．应用所学知识证明直线对称问题如图1，在平面直角坐标系中画出函数y=2x−5和y=−2x+7的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线x=3对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法：设直线y=2x−5和直线y=−2x+7交于点A，点B是直线y=2x−5上除点A外的任意一点，设点B的坐标为a,2a−5．方法一：在图1中作点B关于直线x=3对称的点B'，连接BB'交直线x=3于点C，则AC⊥B∴点B'的纵坐标为2a−5设点B'的横坐标为x∴a−3=3−x．∴x=6−a．∴B将x=6−a代入y=−2x+7，得y=−26−a∴点B'在直线y=−2x+7∴直线y=2x−5和直线y=−2x+7关于直线x=3对称．

方法二：如图2，过点B作直线x=3的垂线，垂足为D，交直线y=−2x+7于点B″．∴点B″的纵坐标为2a−5将y=2a−5代入y=−2x+7，得2a−5=−2x+7．∴x=6−a．∴B∴B∴点B和点B″关于直线x=3∴直线y=2x−5和直线y=−2x+7关于直线x=3对称．任务：(1)小悦周记中得到AC⊥BB'，(2)小悦所用方法主要运用的数学思想是______；A．公理化思想

B．数形结合思想

C．分类讨论思想(3)请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线y=2x−5和直线y=−2x+7关于直线y=1对称．👉题型16与一次函数有关的动点问题66．（2024·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+8与坐标轴分别交于A，B两点．点P为直线AB上一动点，连接OP．将线段OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，以OB，OQ为一组邻边构造平行四边形BOQH．连接OH，则线段OH的最小值为．67．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点F为BC边上的三等分点(CF<BF)，动点P从点A出发，沿折线A→D→C方向运动，到点C停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF的面积为y．(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出y≤6时x的取值范围．68．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC=35，BC=12，AD⊥BC于点D，动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发沿折线B→A→C方向运动，到点C运动停止，过点P作PQ⊥BC于点Q，设运动时间为t秒，点Q(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，当正比例函数y=ktk≠0的图象与该函数图象有两个交点时，请直接写出k

69．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+bk≠0与x轴，y轴分别相交于点A4，0，点B0，3，点C是线段OB的中点，动点P从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿路线B→A(1)求直线AB的函数解析式．(2)请直接写出点P的坐标________________．（用含t的代数式表示）(3)①当S△BCP∶S②将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B'，当PB'平行于坐标轴时，请直接写出1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y=34x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB2．（2023·江苏镇江·中考真题）已知一次函数y=kx+2的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作⊙O．若对于符合条件的任意实数k，一次函数y=kx+2的图像与⊙O总有两个公共点，则r的最小值为．3．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l1:y=33x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB=22，顶点C在直线l2:y=3x上，BC⊥l2；过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于B1，过点B1作A1B1垂直x轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点4．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）上有一点A−3,m，且与直线y=−2x+4

(1)求k与m的值；(2)过点A作直线l∥x轴与直线y=−2x+4交于点C，求5．（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读]用数形结合的方法，可以探究q+q2+例求12方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知12即12方法2：借助函数y=12x+1212+122+123+⋯+12即两个函数图象的交点到x轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x轴的距为1，所以，12

【实践应用】任务一

完善23

方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知23+方法2：借助函数y=23x+23因为两个函数图象的交点的坐标为______，所以，23+任务二

参照上面的过程，选择合适的方法，求34任务三

用方法2，求q+q2+【迁移拓展】长宽之比为5+1观察图⑤，直接写出5−1

1．（2022·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象不经过的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2（其中k1k2≠0，A．b1+b2>0 B．b1b23．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数y=2x−3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（

）A．−32,0 B．32,0 C．4．（2022·江苏连云港·二模）一次函数y=kx−1k≠0，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数y1=ax(a≠0)和y2=12x+1，当x≤1时，函数6．（2024·甘肃·中考真题）已知一次函数y=−2x+4，当自变量x>2时，函数y的值可以是（写出一个合理的值即可）．7．（2024·江苏苏州·中考真题）直线l1:y=x−1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时针旋转15°，得到直线l2，则直线8．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+bk≠0的图象与x轴、y轴分别交于A(1)求一次函数的解析式；(2)已知变量x,yx…−4−3−2−1−11234…y…−1−−2−4−884241…写出y2与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数y(3)一次函数y1的图象与函数y2的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数y2图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接PC，PE，CE．若△PCE的面积为159．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A8,0，交y轴于点B．直线y=12x−32与y轴交于点D，与直线AB交于点C6,a．点M是线段BC上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x

(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)以线段MN，MC为邻边作▱MNQC，直线QC与x轴交于点E．①当0≤m<245时，设线段EQ的长度为l，求l与②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．10．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数y1=12x(1)求反比例函数的解析式；(2)把直线y1=12x向上平移3个单位长度与y2=11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+b与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形ABCD是平行四边形，线段OA的长是一元二次方程x2(1)求点D的坐标；(2)若线段BC的垂直平分线交直线AD于点E，交x轴于点F，交BC于点G，点E在第一象限，AE=32，连接BE，求tan(3)在（2）的条件下，点M在直线DE上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1∶2的直角三角形？若存在，请直接写出△EMN的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．

第三章函数第10讲一次函数的图象与性质TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01一次函数的定义👉题型02判断一次函数的图像👉题型03正比例函数的性质👉题型04探究一次函数经过的象限与系数之间的关系👉题型05探究一次函数的增减性与系数之间的关系👉题型06求一次函数解析式👉题型07一次函数与坐标轴交点问题👉题型08比较一次函数的大小👉题型09与一次函数有关的规律探究问题👉题型10与一次函数有关的新定义问题👉题型11以开放性试题的形式考查一次函数👉题型12求两直线与坐标轴围成的图形面积👉题型13探究一次函数与方程、不等式的关系👉题型14一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判定👉题型15与一次函数有关的图形变化问题👉题型16与一次函数有关的动点问题👉题型01一次函数的定义1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）若函数y=m+1xmA．2 B．−2 C．±2 D．3【答案】A【分析】本题考查正比例函数的定义和性质，根据形如y=kxk≠0的函数是正比例函数，以及当k>0【详解】解：∵函数y=m+1∴m+1>0，且m2解得m>−1，且m=±2，∴m=2，故选：A．2．（2024·北京·三模）已知地面温度是20℃，如果从地面开始每升高1km，气温下降6℃，那么气温t(℃)与高度ℎ(A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数【答案】D【分析】本题考查了所学四种函数的识别，掌握各函数的特征是解题的关键，求出函数解析式，根据各函数概念进行判断即可．【详解】解：由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气温t(℃)与高度ℎ(km)的函数关系是故选：D．3．（2024·四川南充·三模）若y=m−1xm+2是y关于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】本题考查根据一次函数的定义求参数，判断直线经过的象限，根据y=m−1xm+2是y关于x的一次函数，得到【详解】解：由题意，得：m−1≠0,m解得：m=−1，∴直线解析式为：y=−2x+2，∴直线经过一、二、四象限，不经过第三象限；故选C．4．（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在画一次函数的图象时列出了如下表格：x…−2−1012y…41−1−5−8…小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（

）A．1 B．−1 C．−5 D．−8【答案】B【分析】本题考查了待定系数法求出一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标（任取两个），利用待定系数法求出一次函数解析式，再逐一验证其它三点坐标即可得出结论．【详解】解：设该一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），将−2,4，−1,1代入y=kx+b得，−2k+b=4−k+b=1解得：k=−3b=−2∴一次函数的解析式为y=−3x−2．当x=0时，y=−3x−2=−2≠−1；当x=1时，y=−3x−2=−5；当x=2时，y=−3x−2=−8．故选：B．👉题型02判断一次函数的图像5．（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，点A3,n，点B−3,n，点C4,n+2A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了函数的图象．由点A(3,n)，点B(−3,n)，点C(4,n+2)在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称；当x>0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．【详解】解：∵A(3,n)，点B(−3,n)，∴A与B关于y轴对称，即这个函数图象关于y轴对称，故选项A不符合题意；∵A(3,n)，点C(4,n+2)，∴当x<0时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意．故选：B．6．（2023·浙江丽水·一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表面刚好离开水面，停止计时．用x表示圆柱体运动时间，y表示水面的高度，则y与x之间函数关系的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设刚开始时水高为ℎ，大水桶底面积为S1，圆柱体底面积为S2，速度为v，当圆柱体上表面未离开水面时，体积不变，水高不变，y=ℎ，当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，S1【详解】解：设刚开始时水高为ℎ，大水桶底面积为S1，圆柱体底面积为S2，速度为当圆柱体上表面未离开水面时，体积不变，水高不变，y=ℎ，当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，S1y=S∵−S∴y随x的增大而减小，∴可知y与x之间函数关系的图象大致为y先保持不变，然后y随x的增大而减小，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图象．解题的关键在于正确的表示数量关系．7．（2023·安徽滁州·一模）已知一次函数y=x+2的图象经过点Pa，b，其中a≠0，b≠0，则关于x的一次函数y=ax+b和y=bx+aA． B．C． D．【答案】B【分析】先根据一次函数y=x+2的图象经过点Pa，b，b=a+2，进而推出一次函数y=ax+b的图象经过定点−1，2，则一次函数y=ax+b一定经过第二象限，同理得到一次函数y=bx+a的图象经过定点−1，−2，则一次函数y=bx+a必定经过第三象限，再由a≠b【详解】解：∵一次函数y=x+2的图象经过点Pa∴b=a+2，∴在一次函数y=ax+b中，y=ax+a+2，即y=ax+1+2，对于任意实数a，恒有当x=∴一次函数y=ax+b的图象经过定点−1，∴一次函数y=ax+b一定经过第二象限，当b=a+2时，即a=b−2，在一次函数y=bx+a中，y=bx+b−2，即y=bx+1−b，对于任意实数，恒有当x=∴一次函数y=bx+a的图象经过定点−1，∴一次函数y=bx+a必定经过第三象限，又∵a≠b，∴一次函数y=bx+a与一次函数y=ax+b与y轴的交点坐标不相同，∴四个选项中只有B选项符合题意，故选B．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，正确判断出两个一次函数分别要经过第二象限，第三象限是解题的关键．8．（2022·广西钦州·一模）定义一种运算：a⊗b=a−ba≥2ba+b−6(a<2b)则函数y=A． B．C． D．【答案】A【分析】根据a⊗b=a−ba≥2ba+b−6(a<2b)，分两种情况：当x【详解】解：∵当x+2≥2（x-1）时，即x≤4，∴当x≤4时，（x+2）⊗（x-1）=（x+2）-（x-1）=x+2-x+1=3，即：y=3，当x+2<2（x-1）时，即x＞4时，（x+2）⊗（x-1）=（x+2）+（x-1）-6=x+2+x-1-6=2x-5，即：y=2x-5，∵k=2＞0，∴当x＞4时，y=2x-5，函数图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大，综上所述，只A选项符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键．👉题型03正比例函数的性质9．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，直线y=kxk≠0与双曲线y=6x交于Ax1,y【答案】−12【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的性质，根据题意求得k的范围，结合交点即可求得x，代入正比例函数即可求得对应y值，即可求得答案．【详解】解：∵双曲线y=6x位于一、三象限，直线y=kxk≠0∴k>0，∵直线y=kxk≠0与双曲线y=6x交于A∴Ax1,y1和B若x1=6k，则y1∴x1故答案为：−12．10．（2023·江苏镇江·二模）正比例函数y=kxk<0，当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k=【答案】−2【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解题的关键．先根据k<0判断出函数的增减性，再把x=1与x=3代入一次函数，由函数y的最大值和最小值之差为4求出k的值即可．【详解】解：∵正比例函数y=kxk<0∴y随x的增大而减小，∵当x=1时，y=k，当x=3时，y=3k，∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，∴k−3k=4，解得k=−2．故答案为：−2．11．（2023·甘肃平凉·三模）已知正比例函数y=m2+1【答案】第一和第三【分析】由m2【详解】解：y=m∵m2∴正比例函数的图象经过第一和第三象限，故答案为：第一和第三．【点睛】本题考查了正比例函数的图象．解题的关键在于对知识的熟练掌握．12．（2023·浙江·三模）点P是正比例函数y=kx上一点，把点P向右平移2个单位，向下平移3个单位后的点仍在正比例函数y=kx的图象上，则k的值为．【答案】−【分析】设Pm,mk，把点P向右平移2个单位，向下平移3个单位后的点的坐标为m+2,mk−3，代入y=kx【详解】解：设Pm,mk，把点P向右平移2个单位，向下平移3个单位后的点的坐标为m+2,mk−3∵m+2,mk−3在正比例函数y=kx的图象上，∴mk−3=k解得：k=−3故答案为：−3【点睛】本题考查了点的平移，正比例函数的性质，根据题意得出平移后的坐标m+2,mk−3是解题的关键．👉题型04探究一次函数经过的象限与系数之间的关系13．（2023·安徽合肥·二模）已知一次函数y=x+2的图象经过点Pa,b，则关于x的一次函数y=ax+b的图象一定经过第【答案】二【分析】根据一次函数y=x+2的图象经过点Pa,b，得到b=a+2，进而得到y=ax+b=ax+a+2，即y=ax+1+2【详解】解：∵一次函数y=x+2的图象经过点Pa,b∴b=a+2，∴y=ax+b=ax+a+2，即y=ax+1∴一次函数y=ax+b的图象必过点−1,2，∵点−1,2在第二象限，∴关于x的一次函数y=ax+b的图象一定经过第二象限．故答案为：二．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．解题的关键是确定出一次函数的图象必过点−1,2．14．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线y=4x+1与直线y=−x+b的交点不可能在第象限．【答案】四【分析】根据一次函数的性质确定两条直线所经过的象限可得结果．【详解】解：直线y=4x+1过第一、二、三象限；当b>0时，直线两直线交点可能在第一或第二象限；当b<0时，直线y=−x+b过第二、三、四象限，两直线交点可能在第二或第三象限；综上所述，直线y=4x+1与直线y=−x+b的交点不可能在第四象限，故答案为：四．【点睛】本题主要考查了两直线相交问题，熟记一次函数图象与系数的关系是解答此题的关键．15．（2023·湖南永州·二模）已知一次函数y=m−2x+2m+6的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是【答案】−3<m<2【分析】根据一次函数y=m−2x+2m+6的图象经过第一、二、四象限，得到关于【详解】解：∵一次函数y=m−2∴m−2<02m+6>0，解得−3<m<2故答案为：−3<m<2．【点睛】本题考查一次函数图象的性质，对于一次函数y=kx+b(k≠0，k，b为常数），当k>0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k<0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b>0，图象与y轴的交点在x轴的上方；当b=0，图象过坐标原点；当b<0，图象与y轴的交点在x轴的下方．16．（2023·贵州贵阳·二模）已知点A−2,3，B2,1，直线y=kx+k与线段AB相交，则k的取值范围是【答案】k≥13【分析】将点A−2,3，B2,1分别代入直线的解析式求出【详解】解：在y=kx+k中，当x=−1时，y=0，则直线y=kx+k恒过定点−1,0，将点A−2,3代入y=kx+k得：−2k+k=3，解得k=−3将点B2,1代入y=kx+k得：2k+k=1，解得k=如图，要使直线y=kx+k与线段AB相交，

则k≥13或故答案为：k≥13或【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键．👉题型05探究一次函数的增减性与系数之间的关系17．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知点Mm,y1，N−1,y2在直线y=−x+1上，且A．m<−1 B．m>−1 C．m<1 D．m>1【答案】A【分析】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数y=kx+bk≠0来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据直线y=−x+1中，k=−1<0得到y随x的增大而减小，由y1>【详解】解：对于直线y=−x+1来说，∵k=−1<0，∴y随x的增大而减小．∵y1∴m<−1．故选：A18．（2023·安徽滁州·二模）已知(x1，y1)，(x2，y2)，(xA．若x1x2>0，则y1C．若x2x3<0，则y1【答案】C【分析】先分析出一次函数的增减性，再根据不同情况进行分类讨论．【详解】解：直线y=−3x+6是一次函数，∵k=−3是小于0的，∴y随x的增大而减小．∵x∴y若x1x2>0，则但不能确定y1、y若x1x3<0，则但不能确定y1、y若x2x3<0，则x2与x故y1、y2同时为正，故若x2x3>0，则但不能确定y1、y故选：C．【点睛】此题考查一次函数图象和性质，掌握一次函数的增减性性质是解题关键．19．（2024·江苏苏州·一模）已知一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0），当1≤x≤4时，3≤y≤6，则bk的值为【答案】2或−7/−7或2【分析】由x与y的范围，确定出点坐标，代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出所求．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【详解】解：当k>0时，y随x的增大而增大，∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，∴一次函数图象上的点坐标为(1,3)和(4,6)，代入得：k+b=3①②−①得：3k=3，解得：k=1，把k=1代入①得：b=2，此时bk当k<0时，y随x的增大而减小，∴一次函数图象上的点坐标为(1,6)和(4,3)，代入得：k+b=64k+b=3解得：k=−1b=7此时bk故答案为：2或−7．20．（2024·黑龙江大庆·二模）一次函数y=4x+b，当m≤x≤n时，函数值y的范围是c≤y≤d，那么代数式d−cm−n的值是【答案】−4【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，根据k=4，确定函数值随自变量的增大而增大，从而当x=m时，y=c；当x=n时，y=d，从而可得d−c，最后求得结果值．【详解】解：∵k=4>0，∴函数y=4x+b的函数值随自变量的增大而增大，∴当x=m时，y=c；当x=n时，y=d，即c=4m+b，∴d−c=4(n−m)=−4(m−n)，∴d−c故答案为：−4．👉题型06求一次函数解析式21．（2024·贵州黔东南·一模）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久，如图所示是某次对弈的残图的一部分，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点−2,−1的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为【答案】y=x+1【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键．利用待定系数法求解一次函数即可得解．【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得棋子“马”所在的点的坐标为1,2，设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为y=kx+b(k≠0)，∴2=k+b解得k=1b=1∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为y=x+1．故答案为：y=x+122．（2024·山东济南·模拟预测）2024年五一期间，小亮一家驾车前往青岛旅游，在行驶过程中，汽车离青岛崂山景区的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，那么小亮从家到青岛崂山景区一共用了小时．【答案】3【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及求一次函数自变量，根据函数图像设CE的解析式为：y=kx+b，用待定系数法求出函数解析式，再求出当y=0时，x的值即可．【详解】解：根据函数图像可知，CE为一次函数，且过点C1,150，D设CE的解析式为：y=kx+b，则k+b=1502k+b=75解得：k=−75b=225∴CE的解析式为：y=−75x+225，当y=0时，则−75x+225=0，解得：x=3，∴小亮从家到青岛崂山景区一共用了3个小时．故答案为：3．23．（2024·河北沧州·三模）在“探索一次函数y=kx+b的系数k,b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A0,2，B2,3，C3,1．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式AB:y1=k1x+b1，BC:y2=k2【答案】52【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是关键．分别求出三条直线的解析式即可．【详解】解：∵直线AB解析式为y1=ky1=k1k1∴k∵直线BC解析式为y22k2+∴直线BC解析式为y=−2x+7，∴k设直线AC解析式为y3=k3x+3k解得：3k3∴k∴k2故答案为：52，>24．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，A0，4，B−4，0，C为【答案】−43【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数解析式．由题意知，C−2，2，如图，作C关于x轴的对称点C'，连接PC'，C'A，则C'−2，−2，PC'=PC，由△ACP的周长为AC+PC+AP=AC+PC'+AP，可知当A、P、C【详解】解：由题意知，C−2如图，作C关于x轴的对称点C'，连接PC'∴C'−2，△ACP的周长为AC+PC+AP=AC+PC∴当A、P、C'三点共线时，△ACP的周长最小，直线AC'与设直线AC'的解析式为将A0，4，C解得，b=4k=3∴直线AC'的解析式为当y=0时，0=3x+4，解得，x=−4∴点P的横坐标为−4故答案为：−4👉题型07一次函数与坐标轴交点问题25．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段AB上，PC⊥x轴于点C，则△PCO周长的最小值为．【答案】32+6【分析】本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，依据题意列出ΔPCO周长的式子，从而找到使其最小的点P位置是解题关键．先根据一次函数列出△PCO周长的式子，再根据垂线段最短找到使周长最小时点P【详解】解：由题意，可设点P的坐标为(a,a+6)(a<0)∴OC=−a,PC=a+6∴△PCO周长为OC+PC+OP=−a+a+6+OP=6+OP则求△PCO周长的最小值只要求出求OP的最小值即可，如图，过点O作OD⊥AB则OP的最小值为OD，即此时点P与点D重合，由直线y=x+6的解析式得，当x=0时，y=x+6=6，当y=0时，x+6=0，解得x=−6，∵一次函数y=x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A(−6,0),B(0,6)，则OA=OB=6∴△ABO是等腰直角三角形，∠BAO=45°∴△DAO是等腰直角三角形，OD=AD,O解得OD=32则△PCO周长的最小值为6+OP=6+OD=32故答案为：3226．（2024·江苏镇江·二模）直线y=−33x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，点B绕点【答案】−3或【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及坐标与图形变化−旋转．根据题意画出示意图，结合所画图形对顺时针旋转和逆时针旋转进行分类讨论即可解决问题．【详解】解：将x=0代入一次函数解析式得，y=3所以点B的坐标为0,3将y=0代入一次函数解析式得，−3解得x=3，所以点A的坐标为3,0．当点B绕点A逆时针旋转60°时，如图所示，因为点A的坐标为3,0，点B的坐标为0,3所以OA=3，OB=3在Rt△AOBtan∠BAO=所以∠BAO=30°，又因为∠BAM=60°，所以∠MAO=30°，又因为AB=AM，所以点M和点B关于x轴对称，所以点M的纵坐标为−3当点B绕点A顺时针旋转60°时，如图所示，在Rt△AOBAB=3由旋转可知，AN=AB=23，∠BAN=60°所以∠NAO=60°+30°=90°，即NA⊥x轴，所以点N的纵坐标为23综上所述，点B绕点A旋转60°后对应点的纵坐标是−3或2故答案为：−3或227．（2024·江苏泰州·二模）若点Pa,b在直线y=−2x+9上，点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为【答案】3或5【分析】本题考查的知识点为象限内的符号，应先判断出点P的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断具体坐标，熟知象限内的符号特征是解题的关键．【详解】解：根据题意可得直线y=−2x+9经过第一、二、四象限，Pa,−2a+9①当Pa,−2a+9可得a+−2a+9=6，解得−2a+9=3，符合前提条件；②当Pa,−2a+9可得−a+−2a+9=6，解得③当Pa,−2a+9可得a+2a−9=6，解得−2a+9=−1，符合前提条件，故a的值为3或5，故答案为：3或5．28．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=2x+1与y轴交于点A，直线l2与y轴，x轴交于点B，点C，l1与l2交于点D1,m(1)求点D的坐标及直线l2(2)求△AOD的面积；(3)若直线l2上有一点P使得△ADP的面积等于△ADO的面积，直接写出点P【答案】(1)D(1,3)；直线l2的解析式为(2)1(3)P23【分析】本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算．（1）把D1,m代入y=2x+1，即可求出坐标，再根据点D(1,3)和C(4,0)（2）先求出A(0,1)，再根据图象即可求解；（3）设P(m,−m+4)，根据S△ADP=S【详解】（1）解：∵y=2x+1，∴将点D1,m代入得y=2+1=3∴D(1,3)；∵OC的长为4，∴C(4,0)，设直线l2的解析式为y=kx+b将点D(1,3)和C(4,0)代入得：3=k+b0=4k+b解得：k=−1b=4故直线l2的解析式为y=−x+4（2）令x=0，得y=2x+1=1，∴A(0,1)，∴S△AOD（3）根据题意得：S△ADP设P(m,−m+4)，令x=0，得y=−x+4=4，∴B0,4如图：∴S△ADP解得：m=2或S△ADP解得：m=4故P23,👉题型08比较一次函数的大小29．（2024·湖南株洲·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y=−3x+b的图象经过点A(−2,m)和点B(2,n)，则m、n的大小关系为mn（填“>”“=”或“<”）．【答案】>【分析】本题考查一次函数的性质，根据k<0时，y随x增大而减小直接求解即可得到答案；【详解】解：∵y=−3x+b，−3<0，∴y随x增大而减小，∵−2<2，∴m>n，故答案为：>．30．（2024·四川成都·二模）若点A−1,y1，B3,y2都在函数y=a2+1【答案】<【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．先根据函数解析式判断出函数的增减性，进而可得出结论．【详解】解：∵函数y=a2+1∴y随x的增大而增大，∵−1<3，∴y故答案为：<．31．（2024·江苏南京·三模）已知一次函数y1=x+1与y2=−2x+b(b为常数），当x>2时，y1【答案】b≤7【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数的交点，以及一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合思想是解题的关键．联立两条直线的解析式求得交点坐标(b−13,b+23)，由当x>2时，【详解】解：联立两个解析式得y1解得x=b−1∴两条直线的交点坐标为(b−1∵当x>2时，y1>∴b−13解得b≤7．故答案为：b≤7．32．（2024·江苏泰州·一模）已知一次函数y=ax+b(a、b是常数，且a≠0)，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…cc+1c+2…y…n−m…则mn．(填“>”、“=”或“<”)【答案】<【分析】本题考查了一次函数的性质和因式分解的应用，根据一次函数的性质进行判断即可，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．【详解】当c<c+1时，n−−∴n>−n则有y随x的增大而减小，∴当c<c+2时，n>m，即m<n，故答案为：<．👉题型09与一次函数有关的规律探究问题33．（2024·吉林长春·模拟预测）设直线nx+(n+1)y=2(n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为Sn(n=1，2，…2000)，则【答案】2000【分析】先求出直线与坐标轴的两交点坐标分别为(2n，0)，(0,2n+1)；然后计算Sn=12⋅2【详解】解：令y=0，则x=2n；令x=0，则y=2n+1；所以直线与坐标轴的两交点坐标分别为(2所以Sn=1当n=1，S1当n=2，S2…当n=2000，S2000则S1故答案为：200034．（2024·四川广安·模拟预测）在直角坐标系中，直线l:y=33x−33与x轴交于点B1，在直线n:y=3x上取点A1，使OA1=OB1，过点A1作A1B2∥x轴，交直线l于点B2，接着在直线【答案】2【分析】本题考查一次函数的图象和性质，等边三角形的性质，解直角三角形等．过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥【详解】解：如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，令y=0，则0=33x−33，解得x=1，则OB1=OA1=1，令x=0，则y=−33，即OD=33，∴tan∠OB1D=ODOB1=3即A1的横坐标为12=21∵∠OB1D=30°，A∴∠A1B∴∠A∴A1过A2作A2B⊥A1即A2的横坐标为12+1=22过A3作A3C⊥同理可得，A2B3即A3的横坐标为12+1+2=23同理可得，A4的纵坐标为1由此可得An的纵坐标为2∴点A2024的纵坐标是2故答案为：2202435．（2024·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=33x+1与直线l2:y=3x交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B【答案】3【分析】本题考查了坐标规律探究，两直线的交点，一次函数图象性质．总结归纳出点A纵坐标变化规律是解题的关键．联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x=32，y=32，故A132,32，依次求出：点【详解】解：联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x=32，则点B132,0，则直线将点B1坐标代入上式并解得：直线B1A将表达式y3与直线l1的表达式联立并解得：x=534，y=同理可得A3的纵坐标为27…An的纵坐标为按此规律，则点A2024的纵坐标为3故答案为：3236．（2024·江苏盐城·二模）如图，一次函数y=2x+2的图象为直线l，菱形AOBA1，A1O1B1A2、A2O2B2A3，…按图中所示的方式放置，顶点A，A1，A【答案】2【分析】本题考查了一次函数的图象，菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于推导一般性规律．根据菱形的性质，一次函数的性质，求出B12，1，B12，【详解】解：如图，当y=0，x=−1当x=0，y=2，则A1∵菱形AOBA1，菱形∴OA=AA∴∠AOA∵∠A1MO+∠M∴∠A∴AM=OA=AA∴A为A1M的中点，则∵菱形AOBA∴OA1平分AB，∴B12，当x=1，y=4，则A2同理可求B12，当x=2，y=6，则A3同理可求B25，∴Bn的纵坐标为2∴点B2024的纵坐标是2故答案为：2202437．（2024·山东临沂·一模）如图，已知直线a:y=x，直线b:y=−12x和点P(1,0)，过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x【答案】2【分析】点P(1,0)，P1在直线y=x上，得到P1(1,1)，求得P2的纵坐标=P1的纵坐标=1，得到P2(−2,1)，即P2的横坐标为−2=−21，同理，P3的横坐标为−2=−21，【详解】解：∵点P(1,0)，P1在直线y=x∴P∵P∴P2的纵坐标=P∵P2在直线∴1=−1∴x=−2，∴P2(−2,1)，即P同理，P3的横坐标为−2=−21，P4的横坐标为4=22，P5∴P∴P2020的横坐标为∴P2021的横坐标为∴P2022的横坐标为∴P2023的横坐标为∴点P2024的横坐标为故答案为：238．（2023·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1与x、y轴分别交于点A、B，在直线AB上截取BB1=AB，过点B1分别作y轴的垂线，垂足为点C1，得到△BB1C1；在直线AB上截取B1B2=BB1，过点B2分别作y轴的垂线，垂足为点C2，得到△BB2C2；在直线直线AB【答案】1【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．先求出A、B两点的坐标，再设设B1a,a+1，B2b,b+1，B3【详解】解：∵一次函数y=x+1与x、y轴分别交于点A、B，∴A−1,0，B∴AB设B1a,a+1，B2∵BB∴a解得∶a1=1，∴B同理可得，B22,∴S△BB1∴S故答案为：1👉题型10与一次函数有关的新定义问题39．（2024·江苏徐州·二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点−1,1是函数y=x+2的图像的“平衡点”．在函数①y=2x−1，②y=3x，③y=−x2+2x+1，④y=x²+x+3，⑤y=−3【答案】①③⑤【分析】本题考查函数图象上的点的特点．设平衡点的坐标为a,−a，将点分别代入到各个函数中，进行求解，判断即可．掌握“平衡点”的定义，是解题的关键．【详解】解：设平衡点的坐标为a,−a，把a,−a代入y=2x−1，得：−a=2a−1，解得：a=1∴y=2x−1的图象上存在“平衡点”；把a,−a代入y=3x，得：∴y=3把a,−a代入y=−x2+2x+1，得：−a=−∴y=−x把a,−a代入y=x²+x+3，得：−a=a∴y=x²+x+3的图象上不存在“平衡点”；把a,−a代入y=−3x，得：−a=−3经检验a=±3∴y=−3把a,−a代入y=−x+3，得：−a=−a+3，此方程无解，∴y=−x+3的图象上不存在“平衡点”；故答案为：①③⑤．40．（2024·山东枣庄·二模）定义：在平面直角坐标系中，对于点Px1,y1，当点Qx2,y①点Q13,8,②若直线y=x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为2③抛物线y=x2−x+4上存在两个点是点P【答案】2【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标、一次函数图象上的点的坐标，解题时要熟练掌握并理解．依据题意，由“倍增点”的意义进行计算进而判断①；设满足题意得“倍增点”A为(x,x+2)，从而可以求得A(0,2)，进而可以判断②；设抛物线上的“倍增点”为x,x2−x+4【详解】解：①依据题意，由“倍增点”的意义，∵21+3=8+0，∴点Q13,8，Q2−2,−2都是点②由题意，可设满足题意得“倍增点”A为x,x+2，∴2x+1∴x=0．∴A0，2③可设抛物线上的“倍增点”为x,x∴2x+1∴x=1或2．∴此时满足题意的“倍增点”有1，4，故答案为：2．41．（2024·浙江湖州·二模）在平面直角坐标系中，当点Px,y不在坐标轴上时，我们定义P的影子点为P'xy,−xy．已知点Q的坐标为a,b，且a,b满足方程组13a+4+c−5=0b−1=3c−15（c为常数），若点【答案】−12【分析】本题考查了非负数性质和新定义运算，待定系数法求函数解析式．由题意得a+4+b−1=0，继而求得a=−4，b=1，得点Q的坐标为−4,1，根据定义知点Q'的坐标为−4,4，再利用待定系数法即可求解．解题关键是利用方程变形和非负数性质得出【详解】解：∵13a+4∴a+4+∴a+4=0，b−1=0，∴a=−4，b=1，∴点Q的坐标为−4,1，∴点Q的影子点Q'的坐标为−41,−−41将点Q'−4,4代入一次函数y=kx+2k≠0解得：k=−1故答案为：−142．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点A−52,0，B52,0，C−52,6．给出如下定义：若点Px0,y0先向上平移x0个单位（若x0<0，即向下平移x【答案】−92【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，设Pm,−m+3，得到Q【详解】∵A−52,0∴AB=5，OA=OB，设Pm,−m+3，则：Q∴点Q在直线y=3上，当△ABQ是等腰三角形，分两种情况：①当AQ=BQ时，过点Q作QE⊥AB，则：EA=EB，∵OA=OB，∴O,E两点重合，∴Q0,3∴m+3=0，∴m=−3，∴P−3,6②当BQ=AB=5时，过点Q作QD⊥AB，则：QD=3，∴BD=B∴OD=BD−OB=3∴Q(−3∴m+3=−3∴m=−9∴−故答案为：−92,43．（2024·广东广州·二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．当⊙O的半径为2时，在点P112,0，P212,32中，⊙O的关联点是；点P在直线y=−x上，若【答案】P2−3【分析】本题主要考查了一次函数的性质，两点间的距离公式，正确理解题目给出的定义是解答本题的关键．由题意得，只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由OP2的值可知P2为⊙O的关联点；设点P的坐标为Pa,−a，求出点P到【详解】①OP1=点P1与⊙O的最小距离为2−点P2与⊙O的最小距离为2−1=1∴⊙O的关联点为P2设点P的横坐标为a，∵点P在直线y=−x上，∴Pa,−aOP=a∵P为⊙O的关联点，∴1≤OP≤3，∴1≤2a2整理得：12当a2=92时，解得：当a2=12时，解得：如图：∴P横坐标范围是−322故答案为：P2，−32👉题型11以开放性试题的形式考查一次函数44．（2024·广东·模拟预测）已知y是关于x的一次函数，点0,−4在该一次函数的图象上，且y随x的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数表达式：．【答案】y=−x−4（答案不唯一）【分析】此题主要考查了一次函数的性质，开放性试题，答案不唯一，满足条件即可．设一次函数的表达式为y=kx+b，由y随x的增大而减小，则k<0，图像经过点0,−4，可得b的值，综合两者取值即可．【详解】解：设一次函数的表达式为y=kx+b，∵图像经过点0,−4，∴b=4，∵y随x的增大而减小，∴k<0，即k取负数，当k=−1时，函数解析式为y=−x+4．故答案为：y=−x+4．45．（2024·江苏泰州·三模）若y是x的函数，其图象过点1,4、−2,−2，写出一个符合此条件的函数表达式：．【答案】y=4【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式，利用待定系数法求解即可．【详解】解：当y是x的一次函数时，设函数解析式为y=kx+bk≠0得，k+b=4−2k+b=−2解得k=2b=2∴该函数解析式为y=2x+2，当y是x的反比例函数时，设函数解析式为y=k得，k=1×4=−2×−2∴该函数解析式为y=4当y是x的二次函数，且顶点为1,4时，设二次函数解析式为y=ax−1把−2,−2代入得，a−2−1解得a=−2∴该函数解析式为y=−2故答案为：y=4x或y=2x+2或46．（2024·河南开封·二模）请写出一个与直线y=x+1有公共点的函数解析式：．【答案】y=2x+1（答案不唯一）【分析】根据一次函数k值不等就有公共点，解答即可．本题考查了一次函数的相交，熟练掌握一次函数k值不相等的函数一定相交是解题的关键．【详解】根据题意，得y=2x+1．故答案为：y=2x+1．47．（2024·江苏南京·一模）一次函数y=kx+b图象经过点1,1，当x=2时，5<y<9，则k的值可以是．（写出一个即可）【答案】7（答案不唯一，满足4<k<8即可）【分析】本题考查一次函数的性质，将1,1代入y=kx+b得y=kx−k+1，可知当x=2时，y=k+1，由此可得5<k+1<9，求解即可，根据一次函数的性质得5<k+1<9是解决问题关键．【详解】解：将1,1代入y=kx+b得：k+b=1，即b=1−k，亦即：y=kx−k+1，当x=2时，y=2k−k+1=k+1，∵5<y<9，即5<k+1<9，∴4<k<8，故答案为：7（答案不唯一，满足4<k<8即可）．48．（2024·山东济宁·二模）已知ai≠0（i=1，2，…，2024），且满足条件a1a1+a2a2+【答案】1【分析】由题意知，aiai=1或aiai=−1，设aiai中有x个1，y个−1，依题意得，x+y=2024x−y=1012，可求x=1518y=506，即ai中有【详解】解：由题意知，aiai设aiai中有x个1，y依题意得，x+y=2024x−y=1012解得x=1518y=506∴ai中有1518个正数，506当ai<0时，直线y=aix+i∵5062024∴直线y=aix+i（i=1，2，…，2024故答案为：14【点睛】本题考查了化简绝对值，一元二次方程组的应用，一次函数的图象，简单的概率计算．熟练掌握化简绝对值，一元二次方程组的应用，一次函数的图象，简单的概率计算是解题的关键．👉题型12求两直线与坐标轴围成的图形面积49．（2024·黑龙江·二模）在平面直角坐标系中，直线y=kx+bk≠0与y轴交于点B，与x轴交于点C，线段OB,OCOB>OC的长是一元二次方程x2−9x+18=0的两个根，直线y=x交(1)求点A的坐标；(2)在平面直角坐标系中有一点P（6,m），求△AOP的面积S(3)M为直线BC上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线OA于点N，点Q在y轴上，是否存在点M，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A(2)S=(3)存在，M的坐标为65，185或6【分析】（1）通过解方程确定点C3,0,B0,6（2）分类讨论，当点P在点E下方时，即m<6，得到S=S△PEO−S△PEA；当点P在点E（3）分类讨论，若∠MQN=90°，MQ=NQ，则有MN=2xM=2t，得到3t−6=2t，若∠QMN=90°或【详解】（1）解：x2解得：x=3或x=6，∴C3,0将C3,0,B得：3k+b=0b=6解得：k=−2b=6∴直线表达式为y=−2x+6，∴联立得：y=−2x+6y=x解得x=2y=2∴点A2,2（2）解：由题意得点P在直线x=6上，设直线x=6与直线y=x交于点E，交x轴于点F，将x=6代入y=x得y=6，∴EF=OF=6，①当点P在点E下方时，即m<6，如图：S=S△PEO当点P在点E上方时，即m>6，如图：S=S△PEO综上所述：△AOP的面积S与m的函数关系式为：S=6−m,m<6（3）解：令直线AB为l1，直线AO为lM(t,−2t+6)，则N(t,t)，∴MN=−2t+6−t①如图1，若∠MQN=90°