高考数学江苏专用(文)二轮专题突破：专题六 第3讲 算法与复数

第3讲算法与复数【高考考情解读】1.高考题中对算法的流程图的考查主要以填空题的形式为主，试题难度中等偏易，试题主要以考查循环结构的流程图为主，且常常与其它数学知识融汇在一起考查，如算法与函数、算法和数列、算法和统计以及应用算法解决实际问题.2.复数的概念和运算主要考查复数的分类、共轭复数、复平面和复数的四则运算为主，试题侧重对基本运算的考查，试题难度较低易于得满分，主要分布在试卷的前3题位置．1．算法的三种基本逻辑结构(1)顺序结构：如图(1)所示．(2)选择结构：如图(2)和图(3)所示．(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．2．复数(1)复数的相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，b＝d.(2)共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．(3)运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i、(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i、(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－da,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(4)复数的模：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R).考点一流程图例1(1)(2013·安徽改编)如图所示，算法流程图的输出结果是________．(2)(2013·江苏)右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．答案(1)eq\f(11,12)(2)3解析(1)赋值S＝0，n＝2进入循环体：检验n＝2<8，S＝0＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，n＝2＋2＝4；检验n<8，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，n＝4＋2＝6；检验n<8，S＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12)，n＝6＋2＝8，检验n＝8，脱离循环体，输出S＝eq\f(11,12).(2)赋值n＝1，a＝2进入循环体，检验a＝2<20，a＝3×2＋2＝8，n＝2，检验a＝8<20，a＝3×8＋2＝26，n＝3，检验a＝26≥20，脱离循环体，输出n＝3.(1)高考中对于流程图的考查主要有“输出结果型”“完善流程图型”“确定循环变量取值型”“实际应用型”，具体问题中要能够根据题意准确求解．(2)关于流程图的考查主要以循环结构的流程图为主，求解流程图问题关键是能够应用算法思想列出每一次循环的结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系．(1)执行如图所示的流程图，如果输出的a＝341，那么判断框中的n＝________.(2)(2013·潍坊模拟)执行如图所示的流程图，输出的结果S的值为________．答案(1)6(2)－1解析(1)执行程序后，a1＝4a＋1＝1，k1＝k＋1＝2；a2＝4a1＋1＝5，k2＝k1＋1＝3；a3＝4a2＋1＝21，k3＝k2＋1＝4，a4＝4a3＋1＝85，k4＝k3＋1＝5；a5＝4a4＋1＝341，k5＝k4＋1＝6.要使输出的a＝341，判断框中应为“k(2)第一次运行：S＝0，n＝2；第二次运行：S＝－1，n＝3；第三次运行：S＝－1，n＝4；第四次运行：S＝0，n＝5.……可推出其循环周期为4，从而可知，第2011次运行时，S＝－1，n＝2012，此时2012<2012不成立，则输出S＝－1.考点二复数的基本概念例2(1)(2013·安徽改编)设i是虚数单位，若复数a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为________．(2)(2013·四川改编)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是________．答案(1)3(2)B解析(1)a－eq\f(10,3－i)＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，且a－eq\f(10,3－i)为纯虚数知a＝3.(2)表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示eq\x\to(z).复数的基本概念问题涉及复数的分类、共轭复数、复数相等条件、复平面等基本知识，解决复数基本概念问题关键是能够充分地掌握各个概念，其实质上就是对复数z＝a＋bi(a，b∈R)中实部和虚部的限制条件的应用或运算．(1)复数eq\f(1＋i,1－ai)(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．(2)(2012·课标全国改编)下面是关于复数z＝eq\f(2,－1＋i)的四个命题：p1：|z|＝2;p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i;p4：z的虚部为－1.其中真命题的个数为________．答案(1)1(2)2解析(1)eq\f(1＋i,1－ai)＝eq\f(1＋i1＋ai,1＋a2)＝eq\f(1－a＋1＋ai,1＋a2)，∴1－a＝0，a＝1.(2)∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq\r(－12＋－12)＝eq\r(2)，∴p1是假命题；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；∵eq\x\to(z)＝－1＋i，∴p3是假命题；∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．其中的真命题共有2个：p2，p4.考点三复数的运算例3(1)(2013·山东改编)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数eq\x\to(z)＝________.(2)(2012·江苏)设a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．答案(1)5－i(2)8解析(1)由(z－3)(2－i)＝5得，z－3＝eq\f(5,2－i)＝2＋i，∴z＝5＋i，∴eq\x\to(z)＝5－i.(2)∵eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(1,5)(25＋15i)＝5＋3i，∴a＝5，b＝3.∴a＋b＝5＋3＝8.(1)与复数z有关的复杂式子为纯虚数，可设为mi(m≠0)，利用复数相等去运算较简便．(2)在有关复数z的等式中，可设出z＝a＋bi(a，b∈R)，用待定系数法求解．(3)熟记一些常见的运算结果可提高运算速度：(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，设ω＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝eq\x\to(ω)，1＋ω＋ω2＝0.(1)已知复数z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z·eq\x\to(z)＝________.(2)(2013·安徽改编)设i是虚数单位，eq\x\to(z)是复数z的共轭复数．若z·eq\x\to(z)i＋2＝2z，则z＝________.答案(1)eq\f(1,4)(2)1＋i解析(1)∵z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(\r(3)＋i,－2－2\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i,－21＋\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i1－\r(3)i,－21＋\r(3)i1－\r(3)i)＝eq\f(2\r(3)－2i,－8)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,4)i，故eq\x\to(z)＝－eq\f(\r(3),4)－eq\f(1,4)i，∴z·eq\x\to(z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)＋\f(1,4)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)－\f(1,4)i))＝eq\f(3,16)＋eq\f(1,16)＝eq\f(1,4).(2)设z＝a＋bi，a，b∈R，代入z·eq\x\to(z)i＋2＝2z，整理得：(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2,a2＋b2＝2b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝1，))因此z＝1＋i.1．算法(1)解答有关流程图问题，首先要读懂流程图，要熟练掌握流程图的三个基本结构．(2)循环结构常常用在一些有规律的科学计算中，如累加求和，累乘求积，多次输入等．利用循环结构表示算法，第一要选择准确地表示累计的变量，第二要注意在哪一步结束循环．解答循环结构的流程图题，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行不彻底，造成错误．2．复数(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解．(2)与复数z的模|z|和共轭复数eq\x\to(z)有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决．(3)复数运算中常用的结论①(1±i)2＝±2i；②eq\f(1＋i,1－i)＝i；③eq\f(1－i,1＋i)＝－i；④－b＋ai＝i(a＋bi)；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N.1．已知m∈R，复数1－eq\f(m,i)在复平面内对应的点在直线x－y＝0上，则实数m的值是________．答案1解析1－eq\f(m,i)＝1＋mi，该复数对应的点为(1，m)，即1－m＝0，m＝1.2．执行如图所示的流程图，输出的M的值为________．答案161解析由流程图可得：M＝1，k＝0；k＝1，M＝3×1＋2＝5；k＝2，M＝3×5＋2＝17；k＝3，M＝3×17＋2＝53；k＝4，M＝3×53＋2＝161；不满足循环条件，跳出循环，输出M＝161.3．已知z是纯虚数，eq\f(z＋2,1－i)是实数，那么z＝________.答案－2i解析由题意设z＝ai(a∈R且a≠0)，∴eq\f(z＋2,1－i)＝eq\f(2＋ai1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2－a＋a＋2i,2)，则a＋2＝0，∴a＝－2，即z＝－2i.(推荐时间：40分钟)1．(2013·北京改编)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于第________象限．答案四解析(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，∴对应点坐标为(3，－4)，位于第四象限．2．(2012·陕西改编)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋eq\f(b,i)为纯虚数”的________条件．答案必要不充分解析直接法．∵a＋eq\f(b,i)＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，而ab＝0时有a＝0或b＝0，∴由a＝0，b≠0⇒ab＝0，反之不成立．∴“ab＝0”是“复数a＋eq\f(b,i)为纯虚数”的必要不充分条件．3．设复数z满足z(1＋2i)＝4－2i(i为虚数单位)，则|z|等于________．答案2解析由题知z＝eq\f(4－2i,1＋2i)，∴|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4－2i,1＋2i)))＝eq\f(|4－2i|,|1＋2i|)＝eq\f(\r(20),\r(5))＝2.4．(2013·课标全国Ⅰ改编)执行右面的流程图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s的范围为________．答案[－3,4]解析由流程图知：s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3tt<1,4t－t2t≥1))，①当－1≤t<1时，－3≤s<3；②当1≤t≤3时，s＝－(t－2)2＋4∈[3,4]，由①②知，s∈[－3,4]．5．如图所示的流程图中，若输入值分别为a＝20.9，b＝(－0.9)2，c＝log0.91.3，则输出的数为________．答案a解析由此流程图可知输出的数是a，b，c三者当中最大的，∵a＝20.9>1，b＝(－0.9)2∈(0,1)，c＝log0.91.3<0，∴a最大．∴输出的数是a.6．已知i是虚数单位，复数z＝eq\f(－1＋2i,2＋i)＋eq\f(2,1－i)，则|z|＝________.答案eq\r(5)解析z＝eq\f(5i,5)＋eq\f(21＋i,2)＝1＋2i⇒|z|＝eq\r(5).7．(2013·陕西改编)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是________．(填序号)①若|z1－z2|＝0，则eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)；②若z1＝eq\x\to(z2)，则eq\x\to(z1)＝z2；③若|z1|＝|z2|，则z1·eq\x\to(z1)＝z2·eq\x\to(z2)；④若|z1|＝|z2|，则zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2).答案④解析由|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，∴z1＝z2，所以eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)，故①为真命题；由于z1＝eq\x\to(z2)，则eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)＝z2，故②为真命题；由|z1|＝|z2|，得|z1|2＝|z2|2，则有z1·eq\x\to(z1)＝z2·eq\x\to(z2)，故③为真命题，④为假命题，如z1＝1，z2＝i.8．执行如图的流程图，输出的A为________．答案2047解析该流程图的功能是求数列{an}的第11项，而数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋1.∵an＋1＝2an－1＋2＝2(an－1＋1)，∴{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．∴an＝2n－1，∴a11＝211－1＝2047.9．根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m值为________．答案3解析∵a＝2，b＝3，∴a＜b，应把b值赋给m，∴m的值为3.10．(2013·重庆改编)执行如图所示的流程图，如果输出s＝3，那么判断框内的n应为_______．答案7解析当k＝2时，s＝log23，当k＝3时，s＝log23·log34，当k＝4时，s＝log23·log34·log45.由s＝3，得eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg4,lg3)×eq\f(lg5,lg4)×…×eq\f(lgk＋1,lgk)＝3，即lg(k＋1)＝3lg2，所以k＝7.再循环