2024学年达州市高二数学上学期11月期中考试卷（附答案解析）

2024学年达州市高二数学上学期11月期中考试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.下列表达式化简结果与丽相等的是（）

UL1HUL1___.____

A.AB+BPB.PB+BA

C.BC+CA-PAD.PB+PC

2.已知向量商=（2,-1,1）,9=（-6,x,y）.若商〃石，则孙的值为（）

A.-1B.-6C.-9D.9

3.在空间中，设机，”为两条不同的直线，a,夕为两个不同的平面.已知根//e,mu/3,aCP=n,

则（）

A.mHnB.ml.nC.aL（3D.alI/3

4.已知平面a的法向量为海=”,1J+1）.若V/eR,直线〃/平面a,则直线/的方向向量的坐标可

以是（）

A.（1,-1,1）B.（-1,1,-1）

C.（-1,1,1）D.（1,1,-1）

5.已知某圆台的上、下底面半径分别为2和5,母线长为5,则该圆台的体积为（）

A.6371B.39兀C.52KD.42几

2兀

6.已知空间单位向量方，石的夹角为彳，向量乙=a-4B,则向量1在8方向上的投影向量为（）

A.4aB.3aC.-3D."力

7.已知点“（0,1,3）,N（3,0,l）,Q（4,2,3）,则点M到直线NQ的距离为（）

A.2713B.V13C.1D.史

13

8.已知甲、乙两组数据的统计结果如下表.若将这两组数据混合后得到丙组数据，则丙组数据的

方差为（）

样本容量平均数方差

甲组20101

乙组30156

A.10B.y/10C.9D.3

二、多选题（本大题共3小题）

9.小伟10月份屋10日每天运动时长的折线图如下图所示，则(

A.小伟1~10日每天运动时长的极差为39分钟

B.小伟晨10日每天运动时长的中位数为33分钟

C.小伟晨10日每天运动时长的众数为31分钟

D.小伟1~10日每天运动时长的第80百分位数为50分钟

10.在棱长2的正方体ABCD-ABGR中，M,N分别为4S，8月的中点，则()

A.初V//平面CDAG

B.直线"N与AQ是异面直线

C.平面MN?截正方体所得截面是五边形

9

D.平面截正方体所得截面的面积为万

11.若Ee平面7,be平面7,平面7,则称点F为点、£在平面7内的正投影，记为歹=5(E).

如图，在直四棱柱ABC。一ABIGA中，BC=2AD，AD±AB,P,N分别为他，CC】的中点，

玩=3西，AB=BC=9=6.记平面ABC为a,平面A8CD为夕，AH=2A^(0<2<1),

&=皿(肛.(=电⑻].()

C

A.若电=2项-2庭+〃福，贝！J〃=l

B.存在点H,使得H&//平面a

C.线段长度的最小值是竽

2

D.存在点H,使得“KJHK?

三、填空题（本大题共3小题）

12.点尸（2,-2,3）关于平面Oxz对称的点的坐标为,关于无轴对称的点的坐标

为.

13.四川的旅游资源丰富，不仅有众多著名的自然景观，还包括许多人文景点.其中，九寨沟以

奇幻的山水景观著称；峨眉山以秀丽闻名；青城山以幽静清雅著称；剑门关则以雄险著称.此外，

四川还有许多必去的旅游景点，如都江堰、乐山大佛、稻城亚丁、色达佛学院、黄龙景区和四

姑娘山等.这些景点既展示了四川的自然美景，还体现了其深厚的文化底蕴和历史价值.甲、乙两

人从九寨沟、峨眉山和青城山这三个景点中各选择其中一个景点进行游玩，已知甲、乙两人选

择三个景点游玩的概率分别是:，5和13，则甲、乙选择相同的景点游玩的概率

362442

为.

14.已知在三棱锥中，MA=6,AB=2』，&C=3,.当三棱锥M-ABC的体积

6

最大时，该三棱锥外接球的表面积为.

四、解答题（本大题共5小题）

15.如图，在平行六面体ABCO-AMGA中，底面为正方形，AB=AAt=4,

（1）用a,b,表示通;

（2）求AE的长度.

16.如图，在棱长为2的正方体A8CD-44GA中，E,F,G分别是A3,BC,G2的中点.

3

(1)证明：EG〃平面ADD|A.

(2)求点与到平面EKG的距离.

17.在三棱锥尸-ABC中，平面R4C，平面ABC,AB±BC,AB=BC=PA=PC=30O,。分

别为棱AC,BC的中点，E为尸。上靠近点。的三等分点.

(1)证明：OE_L平面P8C.

(2)求二面角。-9-C的余弦值.

JTJT

18.如图，在四棱锥尸—ABCD中，AB=3DC,AB±AD,ZABC=-,ZPAE=-,PA=4,CD=2,

43

平面BAD_L平面ABC。，E为AD的中点.

(2)试问在线段PE上是否存在点M,使得直线CM与平面P8C所成角的正弦值为毛黄？若存在,

求出F署M的值；若不存在，请说明理由.

EP

19.如图，在几何体A2CDE尸中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，£A_L平面ABC。，

(1)求异面直线EB与DF所成角的余弦值

(2)证明：平面平面2。足

(3)若M是几何体ABCOEF内的一个动点，且赤=«荏+莅)+(1-2/)近(0</<1),点N满

^,CN+(A+JU)CF=ACB+/JCD+CF,MN=2,求湎•欢的最小值.

4

参考答案

1.【答案】B

【详解】对于A,旗+丽=丽,不满足题意；

对于B,而+丽=夙，满足题意；

对于C,反+瓦-丽=丽-丽=丽+丽=乔，不满足题意；

对于D,而+无具体不知.

故选：B.

2.【答案】C

2-11

【详解】«=(2-1,1),方=(-6,x,y).若a〃5，则与=工=7,解得x=3,丁=一3.

则肛的值为-9.

故选：C.

3.【答案】A

【详解】如图正三棱柱A8C-A再G，面四耳B为a,面BCG瓦为夕，a^(3=n=BBx,

则〃?=CCJ/a,运用线面平行性质知道相〃〃，A正确，B错误,

由图可知心尸相交，没有垂直和平行.

故选：A.

【详解】直线"/平面”，设/方向向量为为=(x,y,z),则诩_L万，即正为=0.

对于A,沆万=f-l+/+l=2r,不满足题意；

对于B,inn=—t+1-f-1=—2t,不，两足题意；

对于C,市法=-/+1+/+1=2,不满足题意；

对于D,而为=f+1-/-1=0,满足题意；

故选：D.

5.【答案】C

【详解】设圆台的高为/z,根据圆台的母线长/、高/I和上下底面半径之差亿-々)构成直角三角

形，由勾股定理可得人=五五二5T.

5

已知4=2,r2=5,1=5,则/z=,5?—(5—2了=V16^=4-

代入圆台体积公式V=!兀/7化2+住+1),

144

22

p］-^V=-nx4x(2+2x5+5)=-KX(4+10+25)=-7ix39=52TI.

6.【答案】B

［详解］~VT=(4-4历=a-4a-&=l-4xlxlxcos—=3

H31

所以向量1在2方向上的投影向量为3〉,

故选：B.

7.【答案】B

【详解】而=。,2,2）,汨=（4,1,0）,

故点M到直线NQ的距离为

故选：B

8.【答案】A

【详解】根据题意，得到项,=10,x乙=5,s看=1,s；=6.

20x10+30x15

那么丙组数据的平均数焉==13,

50

根据方差公式得到s£+（豆-4）1+|^s1+（福-石

瑞=|^[1+（13-1。）[+2[6+（13一15）1=10.

则丙组数据的方差为10.

故选：A.

9.【答案】ACD

【详解】将这10个数据从小到大排序：16,17,31,31,33,36,42,49,51,55,

故极差为55-16=39,A正确，

中位数为生詈=34.5,故B错误；

众数为31,C正确，

49+51

10x80%=8,故该组数据的第80百分位数为一二一二50,故D正确;

2

6

故选：ACD.

10.【答案】ABD

【详解】对于A,如图，正方体A8CZ)-A4GR中，分别为A4，的中点，取P,。分别

为CQ,CG的中点.连接PQ.RG.由正方体性质，知道，MN//PQ,MNU平面CD2G，P0U平

面CDD.C,,则MN//平面CDD£.故A正确.

对于B,点A不在上，由异面直线定义可知，直线MN与AQ是异面直线，故B正确.

对于C和D,由前面知道MN//PQ,CDJIPQ,则等腰梯形MNCR是所求截面,

如图，棱长是2的正方体，可求得CR=2也，MN=PQ=也,

CN=RM=正转=5DM：2垃;近二4,

作MM1CD{,NN11CD{,则MMX="”“所

则等腰梯形的面积为：%叶苧2%=£="|.故c错误，D正确.

MN

11.【答案】ABC

【详解】对于A：因为为直四棱柱，ADJ.AB,所以以A为坐标原点，AD,AB,

AA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接P。，BN.

贝UA（0Q，6），2（3,0,11,巩0,6,0）,N（6,6,3）,P（0,0,3）,

7

故而=〔3,0,I）,丽=（6,0,3）,

所以丽=2演，即。，B,N,P四点共面，

若即7=2而—2耳？+〃书，则2-2+〃=1,解得〃=1,A正确；

对于B：过点反作交4出于点G,过点G作AB的垂线，垂足即K.

过点A作的垂线，垂足即K”连接H3,HK2,由题意可得AH=6〃O<2<1）,

则”（O,O,6X）,G（O,3-3%3+3X）,X,（0,3-32,0）,（（0,3,3）,

故式=（0,3,3）,西=（0,3-3九-62）,酝=（0,3,3-64）,平=（0,6,-6）,

易得代是平面a的一个法向量，若H&//平面a,

则西・福'=（）,即3（3—34）+3（-6几）=0,解得2=ge（0,l）,符合题意，

所以存在点”，使得HK"/平面a,B正确，

对于C：|HK[\=7（3-32）2+（-62）2=345%-2彳+1=3^5（2-1）2+1,

当彳=：时，|西|取得最小值，最小值为竽，C正确.

对于D：若HK]_L"2，贝1J函•砒=3（3-32）-62（3-62）=0,

得4万-32+1=0，无解，所以不存在点儿使得HKJHK"D错误.

故选：ABC

12.【答案】（2,2,3）（2,2,-3）

【详解】点P（2,-2,3）关于平面Oxz对称的点的坐标为（2,2,3）,关于了轴对称的点的坐标为

（2,2-3）.

故答案为：（2,2,3）；（2,2,-3）.

3

13.【答案】f

O

【详解】由题意知甲，乙两人选择景点游玩相互独立，所以甲、乙两人选择相同的景点游玩的

,^1111113

概nT率为一X—十—X—+—X—=一

3464228

14.【答案】48TI

8

【详解】在VA3c中，由=可得COS4AC=3,

62

由余弦定理可得BC?=（26）2+3?-2x2«x3x#=3,所以3c=右，

所以AB，=4。2+8。2,所以AC_L3C,

如图所示，当M4L平面ABC时，三棱锥M-ABC的体积最大，

把三棱锥M-ABC放置在长方体中，

可知三棱锥的外接球的直径（7为：＜y2=AC2+BC2+AM2=32+（V3）2+62=48,

所以三棱锥的外接球的表面积为5=兀丁=兀*48=48兀.

故答案为：487t.

15.【答案】（1）2+5+Q}

（2）2万

【详解】（1）设AB=M,A£）=及的=乙因为元（=通+^5=斤+5.

—.1___.1.1

又因为荏=蔗+屈，且CE=］CG=Ie=5己

所以通=/+屈=0+B）+；］=M+5+:*.

（2）由（1）知通=4+石+；乙首先计算通2=（五+5+；］）2.

根据向量运算法则（万+5+工C）2=万2+52+工］2+2万.5+万.1+5・乙

24

因为底面ABCD为正方形，AB=4,所以。2=|题『=16,p=|AP|2=16.

又A4,=4,所以于=|函T=16.

兀1

由于Z.BAAi=ADAA1=—,且五1二|M||5|cosN3AAi=4x4x—=8,

一一1

b-c=\b\\c\cosZDAAj=4x4x—=8.

而日」B，所以日.方=o.

9

,-----,21

那么AE=16+16+-xl6+0+8+8=52.

4

根据向量的模长公式|衣上府7,所以网=卮=2a.

16.【答案】（1）答案见解析

⑵后

【详解】（1）如图，连接AQ,由于E,G分别是A3,GR的中点.

则RG//AE,QG=AE,则四边形ARGE为平行四边形，

ADJIGE,EGu平面ADD^,叫<z平面ADDlAi,

则EG//平面AORA.

(2)如图，可建空间直角坐标系。-盯z,则

4(2,0,0),£(2,1,0),F(l,2,0),G(0,l,2),Bx(2,2,2),

EF=(-1,1,0),EG=(-2,0,2),聒=(0,-l,-2),

设平面EFG法向量为m=（x,y,z）,则

x=l

m•EF=0一x+y=0

解得，y=i,故而=(1,1,1).

m-EG=0—2x+2z=0

z=1

根据点面距离公式，则点用到平面所G的距离d=产布=2=6.

\m\6

17.【答案】（1）证明见解析

10

。、-3而

11

【详解】（1）连接02,P0,

因为B4=PC,所以PO_LAC.

因为平面PAC_L平面ABC,平面PACPl平面？1BC=AC,所以PO_L平面ABC,

因为O3u平面ABC,进而尸O_LO3.因为AB=3C,所以BO_LAC.

以。为坐标原点，OB,OC,。尸所在直线分别为无，九z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则。（0,0,0）,尸（0,0,3）,3（3,0,0）,C（0,3,0）,£（1,1,1）,

所以丽=（3,0,-3）,BC=（-3,3,0）.

因为诙=（1,1,1）,所以虚.而=砺.前=0，则OE_LP3,OELBC,

又PBcBC=B,尸8,8Cu平面PBC,

所以OE_L平面PBC.

（2）由（1）得4（0,-3,0）,呜，训，^4=（0,-3,-3）,而=（|,|,-3

设平面上4£）的法向量为4=（x,y,z）,

4-PA=-3y-3z=0,

则___>33令z=l,则X=3,y=-1,

弭•PD=-x+—y-3z=0,

所以平面上4D的一个法向量为1=（3,-1,1）.

易得平面PAC的一个法向量为元=（1,0,0）.

________33旧

设二面角。-B4-C的大小为，,

，9+1+1xJ1+0+011

由图可知二面角。-上4-C为锐角，故二面角£>-上4-C的余弦值为尊.

18.【答案】（1）证明见解析

11

【详解】（1）因为平面PAD，平面ABC。，且相交于A£）,又且Mu平面ABCD,

故AB_L平面上4£>,又尸Eu平面B4Z）,故AB_LPE.

在A3上取产使得AT=2,连接CF,因为荏=3反可得四边形AFCD为矩形，且FB=4,

71

又NA3C=T，故VABC为等腰直角三角形，故AD=RS=4.

4

jr

因为£为A□的中点，故AE=2,又/尸=丛=4,

则PE=qPA1+AE2-2PA.AE=2陋,故AE?+PE?=AP2，故AE_LPE.

又ABJ_PE,AELPE,AEcPE=E,4瓦2£^平面48。£）,故尸EJ_平面ABCD

又3Cu平面ABCD,故PE_LBC,即得证.

（2）由（1）可得PEL平面ABCD,故以E为坐标原点建立如图空间直角坐标系.

则尸（0,0,2⑹,C（-2,2,0）,3（2,6,0）,设M（0,0㈤（0<a<2⑹,

则由（2,-2,°）,。=（4,4,0）,。=仅,-2,2@.

,、[n-CB=04x+4y=0

设平面PBC的法向量行=（x,y,z）,则<一即V

n-CP=02x-2y+2A/3Z=0

令冗=石有＞=-6，z=-2,故为=（6,-若，-2）.

CMnJ33'

故直线CM与平面尸5C所成角的正弦值为『^二三

\CM\-\n\55

„„2舟2s2a^30Rn273-a屈

V22+22+a2xV3+3+22556+4"

故（26-〃）_3,则=24+3/，化简可得2a2一1