八年级上册《含30°角的直角三角形的性质》课件与同步练习

第十三章轴对称13.3等腰三角形13.3.2等边三角形第2课时含30°角的直角三角形的性质新课导入导入课题

将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起（较长直角边靠在一起且直角顶点重合），可拼成一个什么样的三角形？你能借助拼图找到直角尺的较短直角边与斜边之间的数量关系吗？

本节课我们再次学习与直角三角形相关的一个性质.学习目标（1）运用等边三角形能推导出30°角的直角三角形的性质.（2）能运用30°角的直角三角形的性质解决相关问题.推进新课知识点1直角三角形的性质探究

将两个全等的含30°角的直角三角尺摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？思考这个命题是真命题吗？请进行证明．问题请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.猜想在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD证明：在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，

∴∠B=60°．延长BC到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD是等边三角形．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．ABCD∴BC=BD=AB．由等边三角形的性质可知，AC也是BD边上的中线，你还能用其他方法证明吗？另证：作∠BCE=60°，交AB于E，连接CE，

则∠ACE=90°-60°=30°．在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°．在△BCE中，∵∠BCE=60°，∠B=60°，∴△BCE是等边三角形．∴

BC=BE=CE．EABC在△ACE中，∵∠A=30°，∠ACE=30°，∴△AEC是等腰三角形．∴

CE=AE．∴

BC=BE=CE=AE．EABC∴BC=BE=AE=AB．符号语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABC∴

BC=AB．

巩固练习

练习1如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC的长为

．ABC5

练习2如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=

.1ABCD知识点2直角三角形性质的运用

例如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE要多长.ABCDEABCDE解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，∴

BC=AB，DE=AD．又AD=AB，∴

DE=AD=1.85（m）

．∴

BC=3.7（m）．答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．巩固练习

练习3

Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？

证明：∵∠B+∠A=180°-∠C=90°，

∠B=2∠A，

∴∠B=60°，∠A=30°.

∴

AB=2BC.【课本P81练习】随堂演练基础巩固1.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（

）A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm2.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为（

）A.30°B.60°C.150°D.30°或150°CD3.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：DC=2AD.证明：∵∠A=90°，∠ABC=2∠C,

∴∠C=30°，∠ABC=60°.

又BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°.

∴∠DBC=∠C，∴BD=DC.

在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，

∴AD=BD=DC，即DC=2AD.综合应用4.如图所示，

在△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BD至E，使DE=BD，DB⊥BC于B，∠ABC=120°，

求证:AB=2BC.证明：∵BD是AC的中线，∴AD=CD.在△ADE和△CDB中，AD=CD，

∠ADE=∠CDB，DE=DB，∴△ADE≌△CDB(SAS).∴∠E=∠CBD=90°，AE=BC.又∠ABC=120°，∴∠ABE=30°.∴在Rt△ABE中，AB=2AE，∴AB=2BC.证明：∵∠ACB=90°，CD⊥BA，∠A=30°，∴∠ACD=60°，∠BCD=30°，∠CDB=∠CDA=90°.∴BD=BC，BC=AB，∴BD=AB.拓展延伸5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=AB．课堂小结符号语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABC∴

BC=AB．

课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。1．若直角三角形的一个锐角为30°，且斜边与较短边之和为24，则斜边的长为(

)A．4 B．8C．12 D．162．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，则BC的长为(

)A．4 B．5C．6 D．8DC3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC分别交边BC，AC于点D，E.若DE＝2cm，则BC的长是(

)A．6cm

B．8cm

C．10cm

D．12cmD4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交边BC于点D.若∠B＝30°，BD＝6，则CD的长是______.35．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是______m.46．如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20m，到达D处，测得∠ADB＝30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°，∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝30°－15°＝15°，∴∠ACB＝∠CAD，∴AD＝CD＝20.∴树的高度为10m.第十三章轴对称13.3等腰三角形13.3.2等边三角形《第2课时含30°角的直角三角形》同步练习1含30°角的直角三角形的性质1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2，则AB的长为(

)A．1 B．2C．3 D．42．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12cm，则AB的长为(

)A．6cm B．7cmC．8cm D．9cmDC3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是中线，且AD＝3cm，则AB的长是______cm.64．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点．试写出线段BD和DC的数量关系，并给出证明．解：DC＝2BD，证明如下：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°.∵∠B＝90°，∴∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AD＝2BD，∴DC＝2BD.2含30°角的直角三角形的性质的应用5．如图，一棵树在一次强台风中于离地面6m处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵树在折断前的高度为(

)A．6m B．9mC．12m D．18mD6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．若∠A＝30°，AB＝8，则BD的长是(

)A．2

B．3

C．4 D．6A7．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起．若AB＝

4cm，则阴影部分的面积是______cm2.28．如图是屋架设计图的一部分，其中BC⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A＝30°，AB＝7m，则BC＝__________m，DE＝____________m.3.51.759．新情境

5月26日，“2024中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是(

)A．4m B．6mC．10m D．12mB10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，边AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，边AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，若MN＝2，则NF的长是(

)C．2 D．4B11．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，BP＝4cm，点Q为射线边BC上一点．当CQ的长为______________时，△PBQ是直角三角形．4cm或2cm12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交边AB于点M，过点M作MN∥BC交边AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为______.613．如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以每小时航行