北京大学离散数学试卷

北京大学离散数学试卷一、选择题

1.在离散数学中，下列哪个概念表示集合中元素的个数？

A.子集

B.空集

C.交集

D.元素个数

2.在集合论中，集合的笛卡尔积是指什么？

A.集合中的元素

B.两个集合的交集

C.两个集合的并集

D.两个集合中所有可能的有序对组成的集合

3.一个无向图G的度数序列是1,2,2,3，则G至少有多少个顶点？

A.3

B.4

C.5

D.6

4.在图论中，下列哪个概念表示图中任意两个顶点之间都存在一条路径？

A.连通图

B.完美匹配

C.欧拉图

D.谐波图

5.一个二叉树的深度为h，则该二叉树最多有多少个叶子节点？

A.2^h

B.2^(h-1)

C.h+1

D.h^2

6.在逻辑代数中，下列哪个公式表示与运算？

A.A+B

B.A*B

C.A/B

D.A-B

7.在集合论中，下列哪个概念表示一个集合的所有子集的集合？

A.基本集

B.补集

C.powerset

D.子集

8.在图论中，下列哪个概念表示图中任意两个顶点之间都存在一条边？

A.连通图

B.完美匹配

C.欧拉图

D.谐波图

9.在逻辑代数中，下列哪个公式表示或运算？

A.A+B

B.A*B

C.A/B

D.A-B

10.在集合论中，下列哪个概念表示一个集合的所有真子集的集合？

A.基本集

B.补集

C.powerset

D.子集

二、判断题

1.在图论中，每个顶点的度数都是偶数的是偶图。（）

2.在二叉树中，任何一棵满二叉树的叶子节点数量总是等于非叶子节点的数量加一。（）

3.在逻辑代数中，德摩根定律是恒等式，即(A+B)'=A'*B'。（）

4.在集合论中，一个集合的补集是它本身，如果它是空集的话。（）

5.在图论中，如果一张图的邻接矩阵是对称的，那么这张图一定是无向图。（）

三、填空题

1.在图论中，如果一条边在图中存在，那么它的两个端点在图中也一定存在，这种现象称为______。

2.在集合论中，一个集合的基数是指该集合的______。

3.在离散数学中，一个递归定义通常包含______和______两个部分。

4.在二叉树的遍历中，______遍历是一种先访问左子树，然后访问右子树，最后访问根节点的遍历方法。

5.在逻辑代数中，______是表示布尔函数的一种标准方法，它将布尔函数的真值与二进制数相对应。

四、简答题

1.简述集合的并集、交集和补集的定义及其性质。

2.解释递归函数的概念，并举例说明递归函数在解决实际问题中的应用。

3.描述图论中广度优先搜索和深度优先搜索的基本算法步骤，并比较它们的区别。

4.简要介绍逻辑代数中的真值表，并说明如何使用真值表来验证逻辑表达式的正确性。

5.讨论二叉树在计算机科学中的应用，并列举至少两种常见的二叉树及其特点。

五、计算题

1.计算下列集合的并集、交集和补集：

A={1,2,3,4}

B={3,4,5,6}

C={5,6,7,8}

2.设递归函数f(n)定义如下：

f(0)=1

f(n)=f(n-1)+f(n-2)对所有n≥2

计算f(5)的值。

3.对于图G，其邻接矩阵如下：

0110

1001

1001

0110

请使用深度优先搜索算法遍历图G。

4.设计一个逻辑表达式，该表达式表示在逻辑变量A和B中，至少有一个为真的情况。

5.给定一个二叉树的前序遍历序列为：ABDCEGFK，中序遍历序列为：DBACEFGK，请构建这棵二叉树，并输出其后序遍历序列。

六、案例分析题

1.案例分析：社交网络中的好友推荐系统

背景：

一个社交网络平台需要设计一个好友推荐系统，该系统旨在帮助新用户发现潜在的好友。平台已经收集了用户的基本信息、兴趣爱好以及社交网络中的好友关系。

问题：

（1）如何使用集合论中的概念来描述用户的好友关系？

（2）设计一个算法，利用用户的兴趣爱好和社交网络来推荐潜在的好友。请简述算法的步骤和可能用到的数据结构。

2.案例分析：在线教育平台的课程推荐算法

背景：

一个在线教育平台需要为其用户提供个性化的课程推荐。平台收集了用户的学习历史、课程评价以及用户之间的互动数据。

问题：

（1）如何使用图论中的概念来描述用户之间的互动和学习路径？

（2）设计一个算法，根据用户的学习历史和课程评价来推荐适合用户的课程。请简述算法的步骤和可能用到的算法模型。

七、应用题

1.应用题：编码与解码问题

问题描述：

一个简单的编码问题涉及将字符映射到一个唯一的数字。例如，'A'可以映射到1，'B'到2，以此类推。现在给定一个编码表，需要编写一个函数来实现编码和解码的过程。

编码函数应该接受一个字符串，并返回一个包含每个字符对应数字的列表。解码函数应该接受一个数字列表，并返回原始字符串。

编码函数的示例输入输出：

```

encode("Hello")->[8,5,12,12,15,3,15]

```

解码函数的示例输入输出：

```

decode([8,5,12,12,15,3,15])->"Hello"

```

请描述编码和解码函数的实现思路，并给出伪代码。

2.应用题：图的最短路径问题

问题描述：

给定一个加权无向图，图中的每条边都有一个正整数的权重。需要找到图中任意两个顶点之间最短路径的算法。

算法要求：

-使用Dijkstra算法找到图中的最短路径。

-输出路径的长度和路径上的顶点序列。

图示例：

```

A--2--B--3--C

|||

514

|||

D--1--E--2--F

```

请描述Dijkstra算法的步骤，并给出计算顶点A到顶点F的最短路径的详细过程。

3.应用题：二叉树的遍历与搜索

问题描述：

给定一棵二叉树，需要实现以下功能：

-使用中序遍历输出二叉树的所有节点值。

-实现一个搜索算法，检查给定的值是否存在于二叉树中。

二叉树示例：

```

1

/\

23

//\

456

```

请给出实现中序遍历的伪代码，并描述如何修改算法以实现值的搜索。

4.应用题：逻辑表达式简化

问题描述：

给定一个逻辑表达式，需要简化这个表达式以减少逻辑门的数量，从而降低电路的复杂性。

逻辑表达式示例：

```

(A+B)*(A'+C)+(B'+C)*(A+B)

```

请使用布尔代数的基本定理和规则来简化这个表达式，并给出简化的结果。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.D

2.D

3.B

4.A

5.A

6.B

7.C

8.A

9.A

10.B

二、判断题答案

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

三、填空题答案

1.边的连通性

2.基数

3.初始条件，递归关系

4.中序

5.真值表

四、简答题答案

1.集合的并集是指包含所有属于至少一个集合的元素的新集合。交集是指包含所有同时属于两个集合的元素的新集合。补集是指包含所有不属于给定集合的元素的新集合。它们的性质包括：交换律、结合律、分配律、恒等律、逆元素存在等。

2.递归函数是通过递归调用来定义的函数，它包含一个或多个递归调用自身来解决问题。递归关系描述了函数的输入和输出之间的关系。在解决实际问题中，递归函数可以用于计算阶乘、解决斐波那契数列问题、实现树和图的遍历等。

3.广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）是两种基本的图遍历算法。BFS从起始节点开始，按照层次遍历所有相邻的节点，直到找到目标节点。DFS从起始节点开始，沿着一条路径一直走到头，然后再回溯寻找其他路径。

4.逻辑代数中的真值表是一种表格，用于展示逻辑表达式在所有可能输入值下的输出值。通过真值表，可以验证逻辑表达式的正确性，也可以用于简化逻辑表达式。

5.二叉树在计算机科学中的应用包括排序、搜索、表达式求值、表示语法树等。常见的二叉树包括二叉搜索树、平衡二叉树（AVL树）、堆等。

五、计算题答案

1.并集：{1,2,3,4,5,6,7,8}

交集：{3,4}

补集：A的补集是B和C的并集，即{5,6,7,8}。

2.f(5)=f(4)+f(3)=(f(3)+f(2))+(f(2)+f(1))=2f(3)+2=2(2f(2)+f(1))+2=4f(2)+4=4(2f(1)+f(0))+4=8f(1)+8=8(1+1)+8=16。

3.使用深度优先搜索算法遍历图G的步骤如下：

-从顶点A开始，标记A为已访问。

-访问A的邻接顶点B，标记B为已访问。

-访问B的邻接顶点C，标记C为已访问。

-回溯到A，访问A的下一个未访问的邻接顶点D，标记D为已访问。

-访问D的邻接顶点E，标记E为已访问。

-回溯到D，访问D的下一个未访问的邻接顶点F，标记F为已访问。

遍历序列为：A->B->C->D->E->F。

4.逻辑表达式简化为：(A+C)+(B+C)。

5.二叉树的中序遍历伪代码：

```

functioninorder(node):

ifnodeisnotnull:

inorder(node.left)

print(node.value)

inorder(node.right)

```

搜索算法的伪代码：

```

functionsearch(node,value):

ifnodeisnull:

returnfalse

ifnode.value==value:

returntrue

ifvalue<node.value:

returnsearch(node.left,value)

returnsearch(node.right,value)

```

知识点总结：

本试卷涵盖了离散数学中的集合论、图论、逻辑代数、递归、树和图遍历等基础知识。以下是对各知识点的详细解释及示例：

1.集合论：包括集合的并集、交集、补集、基数等概念，以及它们的性质和应用。

2.图论：包括图的表示、图的遍历（广度优先搜索、深度优先搜索）、最短路径问题等概念，以及Dijkstra算法的应用。

3.逻辑代数：包括逻辑表达式、真值表、布尔代数的基本定理和规则等概念，以及逻辑表达式的简化方法。

4.递归：包括递归函数的定义、递归关系的描述，以及递归在解决问题中的应用。

5.树：包括二叉树的定义、遍历（前序、中序、后序）、搜索等概念，以及二叉树在计算机科学中的应用。

各题型所考察的知识点详解及示例：

1.选择题：考察对基本概念的理解和记忆，如集合、图、逻辑代数等。

2.判断