矩阵理论第一章课后习题答案资料

按通常矩阵的加法及数与矩阵的乘法，下列数域F上方阵集合是否构成F上的线性空间：全体形如的二阶方阵的集合；（2）全体阶对称（或反对称、上三角）矩阵的集合；（3）（为给定的阶方阵）.解：（1）设①② ③存在零向量，使得对每个，④对每个，存在负向量,使得再令⑤⑥⑦⑧所以全体形如的二阶方阵的集合构成F上的线性空间。（2）设是一个非空集合，是数域.因为为全体阶对称矩阵，所以令，其中，又在中有向量的加法，使得对任意的向量，有和向量.对每个纯量及向量,有纯量积.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③存在零向量，使得对每个,=4\*GB3④对每个,存在负向量,使得=5\*GB3⑤令=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧所以，（全体阶对称矩阵的集合）是上的一个线性空间（或向量空间）.（3）设是一个非空集合，是数域.因为（为给定的阶方阵），所以令，其中，又在中有向量的加法，使得对任意的向量，有和向量.对每个纯量及向量,有纯量积.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③存在零向量，使得对每个,=4\*GB3④对每个,存在负向量,使得=5\*GB3⑤令=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧所以，（（为给定的阶方阵））是上的一个线性空间（或向量空间）.2、正实数集R+=aa>0,a∈R。对R+，规定加法运算a⊕b=ab,∀a,b∈R（1）证明：易得a⊕b=ab∈①a⊕b=ab=ba=b⊕a.②设∀c∈R+，则③对∀a∈R+，由a⊕x=ax=a,则x=1.故1是④对∀a∈R+，由a⊕y=ay=1,则y=1a⑤设x,y∈R,a,b∈R+xy⊙⑥证明：1⊙1⊙a=a⑦证明：xx⊙⑧证明:x+y⊙（2）解：由（1）中知，全体正实数R+的零元素为1，再任取r∈设s=l⊙r=rl,则l=log3.在维线性空间中，下列维向量的集合，是否构成的子空间；解：分析：运用定理1.1（见课本P3）MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h4.在维线性空间中，下列子集是否构成的子空间：（1）；（2）。解：（1）任取,,有,,即,对加法运算不封闭由此可得子集不能构成的子空间。（2）任取,,有,,,,由此可得,则对加法及数乘运算封闭，因此构成的子空间。 7.试求ε1ε2ε3ε4到η1η2η3η4的过度矩阵。试求η1η2η3η4到ε1ε2ε3ε4的过度矩阵。求A=在两组基下的坐标。解：设（η1η2η3η4）=（ε1ε2ε3ε4）A1由于：η1==-ε1+0ε2+0ε3+2ε4η2==0ε1+3ε2-1ε3+4ε4η3==2ε1+1ε2+0ε3+1ε4η4==1ε1-3ε2+0ε3+2ε4A1=A1即为所求过度矩阵使得（η1η2η3η4）=（ε1ε2ε3ε4）A1（2）由（1）知（η1η2η3η4）=（ε1ε2ε3ε4）A1则有（η1η2η3η4）A1-1=（ε1ε2ε3ε4）设A2=A1-1使用构造法（A1|E）(E|A2)得到A2=A1-1=使得（η1η2η3η4）A2=（ε1ε2ε3ε4）（3）A==-ε1+3ε2+0ε3+2ε4故得到A在ε1ε2ε3ε4下的坐标为（2）知（η1η2η3η4）A2=（ε1ε2ε3ε4）有=A2解得=故得到A在η1η2η3η4下的坐标为8.试证：在中，由（1，1，0，0），（1，0，1，1）生成的子空间与由（2，-1，3，3），（0，1，-1-，-1）生成的子空间相同。证明：由题意可得，即。试求的子空间的交的一组基。解：则有，化简得，得到此时便是的一组基。试求的基和维数。解：已知，且又下面求，令对进行初等行变换得可知又由维数公式11证明：对于，由解得：则为的基dim=n-1对于，由解得的基为dim=1+=又即是+的基dim(+)=n由维数公式dim()=dim+dim-dim()所以dim()=n-1+1-n=0所以12.证明T1（x1,x2）=(x2,-x1);T2（x1,x2）=(x1,-x2)∀（x1,x2）∈R2,是R2上的两个线性变换，并求T1+T2证明:解：由可知，所以，到的过渡矩阵