2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.1.2第1课时单调性的定义与证明1课时作业含解析新人教B版必修第一册

PAGEPAGE4课时作业22单调性的定义与证明(1)时间：45分钟分值：100分eq\a\vs4\al(一、选择题每小题6分，共计36分)1．若函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图像如右图所示，则函数f(x)的全部单调递减区间为(C)A．[－4，－2]B．[1,4]C．[－4，－2]和[1,4]D．[－4，－2]∪[1,4]解析：由题图可知，f(x)在[－4，－2]和[1,4]两个区间上单调递减，故选C.2．在区间(－∞，0)上为增函数的是(D)A．y＝－2x B．y＝eq\f(2,x)C．y＝|x| D．y＝－x2解析：A，B，C项中函数在区间(－∞，0)上为减函数，不符合要求；D项中函数在区间(－∞，0)上为增函数，在区间(0，＋∞)上为减函数，符合要求．3．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为(D)A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定解析：由函数单调性的定义，知所取两个自变量必需是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．故选D.4．函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内随意实数x1，x2均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则f(x)在(a，b)上是(B)A．增函数 B．减函数C．不增不减函数 D．既增又减函数解析：∵(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x2<0，,fx1－fx2>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x2>0，,fx1－fx2<0.))即当x1<x2时，f(x1)>f(x2)或当x1>x2时，f(x1)<f(x2)．不论哪种状况，都说明f(x)在(a，b)上为减函数．5．已知函数y＝ax和y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是(A)A．减函数且f(0)<0 B．增函数且f(0)<0C．减函数且f(0)>0 D．增函数且f(0)>0解析：因为y＝ax和y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)都是减函数，所以a<0，b<0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a<0，故选A.6．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是(C)A．(－∞，40) B．[40,64]C．(－∞，40]∪[64，＋∞) D．[64，＋∞)解析：对称轴为x＝eq\f(k,8)，则eq\f(k,8)≤5或eq\f(k,8)≥8，解得k≤40或k≥64.eq\a\vs4\al(二、填空题每小题8分，共计24分)7．函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．解析：由题图可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．8．函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)(a为常数)在(－2,2)内为增函数，则实数a的取值范围是a>eq\f(1,2).解析：函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)＝a＋eq\f(1－2a,x＋2)，由于f(x)在(－2,2)内为增函数，所以1－2a<0，即a>eq\f(1,2).9．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x<1，,－x＋1，x≥1))是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是[eq\f(1,7)，eq\f(1,3))．解析：如图，要使f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，必需同时满意3个条件：①g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上为减函数；②h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上为减函数；③g(1)≥h(1)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1<0，,3a－1×1＋4a≥－1＋1.))∴eq\f(1,7)≤a<eq\f(1,3).三、解答题共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)推断函数f(x)＝eq\f(x－2,x＋1)(x≥0)的单调性．解：f(x)＝eq\f(x－2,x＋1)＝eq\f(x＋1－3,x＋1)＝1－eq\f(3,x＋1)，任取x1，x2∈[0，＋∞)且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(1－eq\f(3,x1＋1))－(1－eq\f(3,x2＋1))＝eq\f(3,x2＋1)－eq\f(3,x1＋1)＝eq\f(3x1－x2,x1＋1x2＋1)，∵0≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)＝eq\f(x－2,x＋1)在[0，＋∞)上为增函数．11．(15分)画出下列函数的图像，并写出其单调区间．(1)f(x)＝－eq\f(1,x＋2)；(2)f(x)＝|x|·|x－2|；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,－2x＋2，x>0.))解：(1)画出f(x)＝－eq\f(1,x＋2)的图像，如图所示，可得其单调递增区间为(－∞，－2)和(－2，＋∞)，无单调递减区间．(2)由题意，得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥2或x<0,－x2＋2x，0≤x<2))，画出图像如图所示，由图像，知函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)和(1,2)，单调递增区间是[0,1]和[2，＋∞)．(3)画出f(x)的图像如图所示，由图像知，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0]和(0，＋∞)，无单调递增区间．12．(15分)设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，满意条件：(1)f(xy)＝f(x)＋f(y)；(2)f(2)＝1；(3)在(0，＋∞)上是增函数．假如f(2)＋f(x－3)≤2，求x的取值范围．解：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，∴令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)．又f(2)＝1，∴f(4)＝2.∵f(2)＋f(x－3)＝f[2(x－3)