2024年中考数学复习讲义：破解相似三角形中的共边共角模型

破解相似三角形中的共边共角模型

解题秘籍

运用共边共角型相似三角形解决问题的关键是掌握其特征：⑴具有公共角；⑵具有公共边；⑶有两边共线;

⑷公共边是两共线边的比例中项，并能从图中分解或构造出共边共角型相似三角形.

典型例题

在4ABC中,P为边AB上一点.

⑴如图2-1所示，若/ACP=/B,求证:AC2=AP-AB-,

(2)如图2-2所示，若M为CP的中点,/PBM=NACP,AC=2,AB=3,求BP的长.

图2-1图2-2

思路分析

(1)由相似三角形的判定定理即可证明；

(2)如图2~3所示，综合已知条件和要解决的问题中涉及的线段和角，从图中抽象出了图2-4,注意到线段A

B、BP共线，满足共边共角型相似三角形的特征，我们发现只需平移AC或BM,即可构造出共边共角型相似三角

形，由此我们得到两种解题思路.

思路一：取AP的中点G,连接MG,可构造共边共角型相似三角形⑦PGMs/XMGB),从而通过设AG=x，借

助比例线段，构造方程来求解.

思路二：过点C作(CQIIBM交AB的延长线于点Q,可构造共边共角型相似三角形((△AQCO△4CP),从而通

过设BP=x,,借助比例线段，构造方程来求解.

尝试解答

解后反思

本题考查了相似三角形的判定定理和性质定理，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的性质等知识.解

答本题的关键是作辅助线，构造出共边共角型相似三角形，之所以想到这样构造辅助线，主要是考虑到题设条件

和要解决的问题中涉及的线段符合共边共角型相似三角形的特征.

实战演练

1.如图所示，四边形ABCD内接于圆，延长AD,BC相交于点E,点F是BD的延长线上的点，且DE平分

ZCDF.

(1)求证:AB=AC-

(2)若4c=3cm,AD=2cm”求DE的长.

（第1题）

2.如图所示,AD是△A8C的外接圆。0的直径，点P在BC延长线上，目满足.NP4C=Z.B.

⑴求证:PA是。O的切线；

（2）弦CE1AD交AB于点F,若,AF-AB=12,,求AC的长.

（第2题）

3.已知:如图所示,AB,AC是。O的两条弦，且.AB=AC,D是AO延长线上的一点，连接BD并延长交。O于点

E,连接CD并延长交。O于点F.

(1)求证:BD=CD-,

(2)如果AB2=A0•AD,,求证：四边形ABDC是菱形.

(第3题)

4.如图所示,AABC为等边三角形，以BC为边在△2BC外作正方形BCDE,延长AB分别交CE,DE的延长线于

点F,N,^(CH1垂足为H,EM14凡垂足为M,连接AE.

(1)判断△和△8ME是否全等，并说明理由；

(2)求证:AE2=AC-AF.

(第4题)

5.如图所示,AB为。O的直径CD与。O相切于点C,H(0D1BC,垂足为F,OD交。O于点E.

(1)证明:4D=AAEC;

⑵若。O的半径为5,BC=8,求△CDE的面积

(第5题)

6如图所示,AABC内接于OO,AB为直径，弦(CE128,,垂足为F,C是2D的中点，连接BD并延长交EC的

延长线于点G,连接AD,分别交CE.BC于点P,Q.

⑴求证:P是△4CQ的外心；

(2)若tan乙4BC=|,CF=8,求CQ的长.

(第6题)

7.在矩形ABCD中,M为边AD上一点,MB平分^AMC.

⑴如图1所示，求证:.BC=MC.

⑵如图2所示,G为BM的中点，连接AG,DG,过点M作MN||AB交DG于点E,交BC于点N.

①求证:AG1DG;

②当DG•GE=13时，求BM的长.

图1图2

（第7题）

★典型例题

⑴证明:：ZACP=ZB,ZA=ZA,.\AACP^AABC..*.AP=AC.

AC2=AP-AB.

⑵方法一：如答图2-1所示，取AP的中点G,连接MG.

设AG=PG=x,贝!]BG=3-x.

因为M是PC的中点，AC=2,.-.MG//AC.GM=^AC=1.

答图2-1

.\ZPMG=ZACP.

•?ZACP=ZPBM,.\ZPMG=ZMBG.

ZPGM=ZMGB,.\APGM^>AMGB.

那第嚷w•解得户竽

AB=3>AP=2x,：.x=AP=2x=3-回

：.PB=AB-APV5.

方法二：如答图2-2所示，过点C作CQ//BM交AB的延长线于点Q.

•.^CQ〃BM,M为CP的中点，

PAzfpR

MCBQ=1，,^AQyC=^ABM

设BP=BQ=X^UAQ=3+x,AP=3-x.

ZAQC=ZPBM,ZPBM=ZACP,.\ZAQC=ZACP.

XZQAC=ZCAP,.*.AAQC^AACP.

除=隼，即AC2=AP-AQ.

22=(3--x)(3+x),解得.x=+V5.x>0,x=V5.

PB=V5.

★实战演练

1.⑴证明:因为四边形ABCD是圆的内接四边形/ABC=N2.

,.,Z3=Z1,Z4=Z3,.*.Z1=Z3=Z4.

因为DE平分/CDF,；./2=/L；./ABC=/4.

/.AB=AC.

(2)M：VZ3=Z4=ZABC,ZDAB=ZBAE,.*.AABD^AAEB.

tAB_AD

••AE-AB'

AB=AC=3cm,AD=2cm,：•AE==-cm

AD2

：.DE=AE-AD=^-2=^(cm).

2.⑴证明:VAD是。O的直径,，ZACD=90°.AZCAD+ZD=90°.

,?ZPAC=ZPBA,ZD=ZPBA,.*.ZPAC=ZD..\ZCAD+ZPAC=90°.

ZPAD=90°.APAJ_AD.所以PA是。O的切线.

(2)解:：CF_LAD,AD是直径,.•.死=屈:.乙B=ZXCF.

,?ZBAC=ZCAF,A△ACF^△ABC.

AFACaAT-.AC

—=——:★AC2—AF•AB.

ACAB

・・・AFAB=12,・・・AC2=12.

AC=2V3.

3.⑴证明:如图所示，分别连接BC,OB,OC.：AB=AC,OB=OC,所以点A,0

均在线段BC的垂直平分线上.所以AD垂直平分弦BC.

〈笫3题答图）

，BD=CD.

⑵证明:•••=A0-AD,案=笫

*.•ZBAO=ZDAB,.\AABO^AADB.AZOBA=ZBDA.

VOA=OB,.\ZOBA=ZOAB,.\ZOAB=ZBDA.AAB=BD.

：AB=AC,BD=CD,，AB=AC=BD=CD.所以四边形ABDC是

菱形.

4.(1)结论:△CHBgZXBME,理由如下：

在正方形BCDE中,BC=BE,/CBE=90°,.\ZEBM+ZCBH=90°.

VCH±AF,EM±AF,/.NCHB=NBME=90°.ZBCH+ZCBH=90°..\ZHCB=ZMBE.

2CHB=Z.BME,

在小CHB和4BME中.卜/fCB=乙MBE,

,BC=EB,

：.ACHB经ABME(AAS).

(2)证明:在等边三角形ABC中,(CHI3AB,ABCH==30

在正方形BCDE中,/BCD=9(T,CE平分.2BCD,NBCE=j乙BCD=45°.

.,.ZHCF=75°..,.ZF=15°.

VAB=BC=BE,.*.ZEAB=ZAEB.

^ABE=/.ABC+ZC5F=150°,：-^AEB=j(1800-150°)=15°,^BEA=zF

又NEAB=NFAE,MABEs/\AEF.

—=竺，即AE2=AB-AF.

ABAE

又48=AC,•••AE2=AC-AF.

5.(1)证明:如图所示，连接OC.

因为CD与。0相切于点C,；.NOCD=90。,即ZOCB+ZDCF=90°.

•.•OD_LBC,.\ZD+ZDCF=90°..\ZOCB=ZD.

VOB=OC,.\ZOCB=ZOBC.

,?ZOBC=ZAEC,.\ZD=ZAEC.

（第5题答图）

(2)解:在RtAOCF中,OC=5,CF=2BC=4.

所以由勾股定理，得。F=VOC2-CF2=3.

VZCOF=ZDOC,ZOFC=ZOCD,.\RtAOCF^RtAODC.

ODOCppi八p.0c225n厂cncr125广1。

—=—,BPOD=——=—,DE=OD-OE=5=—,

OCOFOF333

6.⑴证明:因为C是AD的中点,：.AC=CDZCXD=Z_A8C.因为AB是。O的

直径,，ZACB=90°..\ZCAD+ZAQC=90°.

又CE±AB,.\ZABC+ZPCQ=90°.AZAQC=ZPCQ./.PC=PQ.

,/CE_L直径AB,；.AC=AE.；.AE=CD.；.ZCAD=ZACE..\PA=PC.；.PA=PC=PQ.

所以P是4ACQ外接圆圆心，即P是4ACQ的外心.

(2)解:因为CEL直径AB,垂足为F,所以在RtABCF中，由tanzXBC=^=f,CF=8得BF=手

所以在RtABCF中,由勾股定理得BC=VCF2+BF2=y.

因为AB是。。的直径，所以在RtAACB中油tan^ABC=^=^-=1,BC=；，得AC=10.

BCBF43

由⑴问知NCBA=NCAQ,

ZACB=ZQCA=90°,/.RtAACB^RtAQCA.

AC_QC

“BC-AC'

・•.AC2=CQ-BC.

「八AC215

•••CQ=——=—.

yBC2

7.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,；.