2020-2022年北京市初三一模数学试题汇编：平行四边形

第1页/共1页2020-2022北京初三一模数学汇编平行四边形一、解答题1．（2022·北京海淀·统考一模）在中，，．D为边BC上一动点，点E在边AC上，．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．2．（2022·北京大兴·统考一模）如图，在平面四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD上的点，．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)若，，，求BD的长．3．（2021·北京海淀·统考一模）如图，在中，，作射线，．D在射线上，连接，E是的中点，C关于点E的对称点为F，连接．（1）依题意补全图形；（2）判断与的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得，求的值．4．（2020·北京海淀·统考一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接DF．（1）求证：△ABF是等边三角形；（2）若∠CDF=45°，CF=2，求AB的长度．5．（2020·北京西城·统考一模）先阅读下列材料，再解答问题．尺规作图已知:△ABC，D是边AB上一点，如图1，求作:四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．小明的做法如下：请你参考小明的做法，再设计一一种尺规作图的方法(与小明的方法不同)，使得画出的四边形DBCF是平行四边形，并证明．二、填空题6．（2022·北京大兴·统考一模）在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若DE=2，则BC=___．7．（2020·北京门头沟·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，B（3，0），△AOB是等边三角形，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BO匀速运动，动点Q同时从点A出发以同样的速度沿OA延长线方向匀速运动，当点P到达点O时，点P，Q同时停止运动．过点P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒，得出下面三个结论，①当t=1时，△OPQ为直角三角形；②当t=2时，以AQ，AE为边的平行四边形的第四个顶点在∠AOB的平分线上；③当t为任意值时，．所有正确结论的序号是________．8．（2020·北京丰台·统考一模）如图，▱ABCD中，E为AD上一点，F为BC上一点，EF与对角线BD交于点O，以下三个条件：①BO＝DO；②EO＝FO；③AE＝CF，以其中一个作为题设，余下的两个作为结论组成命题，其中真命题的个数为_____．9．（2020·北京大兴·统考一模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，若DE=2，则BC边的长为____．10．（2020·北京燕山地区·一模）如图，已知四边形平行四边形，通过测量、计算得四边形的面积约为__________（结果保留一位小数）

参考答案1．(1)，(2)成立，证明见解析【分析】（1）由题意知三点重合，则，，含30°的直角三角形中，由，可知，是的中位线，有，，，然后求出比值即可；（2）如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设，，则，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，求出可得的值，进而可得的值，根据与的数量关系判断与的位置关系即可．【详解】（1）解：，．理由如下：由题意知三点重合∴，∵∴，∵∴∴为线段的中点∵是中点∴是的中位线∴，∴∴．（2）解：，的关系仍成立．证明：如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设，∴，，，，，，，，，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴∴∵∴∴．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形，中位线，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边三角形、矩形的判定与性质等知识．解题的关键在于表示出与的长度．2．(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形AEFD是平行四边形；（2）过点D作DG⊥AB于点G，利用已知条件和锐角三角函数以及勾股定理即可求出BD的长．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB‖CD且AB=CD，∵CF=BE，∴AB-BE=CD-CF，即AE=DF∴四边形AEFD是平行四边形；（2）解：如图，过点D作DG⊥AB于点G．∴∠AGD=90°，∵∠A=60°，∴∠ADG=30°，∵AD=2，∴AG=1，∴DG=，BG=AB−AG=3，∴在Rt△DGB中，BD==．【点睛】本题考查平行四边形与直角三角形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质和判定、直角三角形的性质及勾股定理的应用是解题关键．3．（1）作图见解析；（2）；证明见解析；（3）或．【分析】（1）连接CE，并延长CE到点F，使得CE=EF即可；（2）证明，后利用AB=AC代换传递即可得证；（3）分点G，C位于直线DF的同侧和异侧两种情形求解．【详解】（1）下图即为所求（2）与的数量关系是．证明：∵点F与点C关于点E对称，∴．∵E是的中点，∴．∵，∴∴．∵，∴．（3）如图所示，点G的位置有两种情况．①点G与点C在直线同侧时，记为，连接，∵，∴四边形是平行四边形．∴．∵，∴，∵，∴．∴．∵中，，∴．∴．②点G与点C在直线异侧时，记为，∵，∴．∴．∵中，，∴．∵由①，，∴．∴．∴．综上，的度数为或．【点睛】本题考查了对称点作法，三角形的全等，等腰三角形的性质，平行四边形的判定，分类思想，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．4．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据在▱ABCD中，∠ABC=60°，可以得到∠DAB的度数，然后根据AF平分∠DAB，可以得到∠FAB的度数，然后等边三角形的判定方法即可得到△ABF是等边三角形；（2）作FG⊥DC于点G，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以得到CG、FG的长，然后即可得到DG的长，从而可以得到DC的长，然后即可得到AB的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠DAB=120°，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB=60°，∴∠FAB=∠ABF=60°，∴∠FAB=∠ABF=∠AFB=60°，∴△ABF是等边三角形；（2）作FG⊥DC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，∴DC∥AB，DC=AB，∴∠FCG=∠ABC=60°，∴∠GFC=30°，∵CF=2，∠FGC=90°，∴CG=1，FG=，∵∠FDG=45°，∠FGD=90°，∴∠FDG=∠DFG=45°，∴DG=FG=，∴DC=DG+CG=，∴AB=，即AB的长度是．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．见解析【分析】利用平行四边形的判定方法作图证明即可．【详解】解：（1）设计方案先画一个符合题意的草图，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（2）设计作图步骤完成作图作法：如图：①以点C为圆心，BC长为半径画弧；②以点D为圆心，BC长为半径画弧，；③两弧交于点F，四边形DBCF即为所求.（3）推理论证证明：∵CF=BD，DF=BC∴四边形DBCF是平行四边形．【点睛】本题考查了尺规作图、平行四边形的判定等知识点，灵活应用平行四边形的判定方法是解答本题的关键．6．4【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．7．①③【分析】由题意根据等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质进行综合分析判断即可.【详解】解：①如图1中，取OQ的中点H，连接PH．∵t=1，∴AQ=PB=1，∵B（3，0），∴OB=3，∵△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=3，∴OQ=4，∵，∴OH=OP=2，∵∠HOP=60°，∴△HOP是等边三角形，∴PH=OH=HQ，∴，∴△OPQ是直角三角形．故①正确，②当t=2时，如图2中，由题意PB=AQ=2，∵PE⊥AB，∴∠PEB=90°，∵∠PBE=60°，∴，∴AE=AB-BE=3-1=2，∴AE=AQ=2，∵四边形AEMQ是平行四边形，AQ=AE，∴四边形AEMQ是菱形，∵∠QAE=120°，∴∠MAE=∠MAQ=60°，∴△MAE是等边三角形，∴MA=ME＜BM，∴点M不在AB的垂直平分线上，∴点M不在∠AOB的角平分线上，故②错误，③如图3中，作PM∥OA交AB于M．∵PM∥OA，∴∠BMP=∠BAO=60°，∠BPM=∠AOB=60°，∴△PMB是等边三角形，∴PB=PM=AQ，∵PE⊥BM，∴EM=BM，∵∠AQD=∠MPD，∠ADQ=∠MQP，AQ=PM，∴△ADQ≌△MDP（AAS），∴AD=DM，∴，故③正确.故答案为：①③．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.8．3【分析】利用已知结合全等三角形的判定与性质得出答案．【详解】解：已知②EO＝OF；①BO＝DO，结论：③AE＝CF．理由：在△DOE和△BOF中，∴△DOE≌△BOF（SAS），∴DE＝BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴AE＝FC，同理可得：已知②EO＝FO，③AE＝CF，结论：①BO＝DO，是真命题；已知：①BO＝DO，③AE＝CF，结论：②EO＝FO，是真命题，故答案为：3．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．9．4【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=4．故答案为：4．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理