2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题作业含解析新人教A版选修1-1

PAGE第一章1.11.1.1A级基础巩固一、选择题1．下列语句是命题的是(B)A．2020是一个大数B．若两条直线平行，则这两条直线没有公共点C．对数函数是增函数吗？D．a≤2020[解析]A、D错，它们不能推断真假，所以不是命题；C错，C不是陈述句；B正确，B是陈述句，且能推断真假．2．语句“若a>1，则函数f(x)＝ax是增函数”(B)A．不是命题B．是真命题C．是假命题D．是命题，但真假与x的取值有关[解析]当a>1时，指数函数f(x)＝ax是增函数，故“若a>1，则函数f(x)＝ax是增函数”是真命题．3．下列语句中，不能成为命题的是(B)A．5>12B．x>0C．已知a、b是平面对量，若a⊥b，则a·b＝0D．三角形的三条中线交于一点[解析]A是假命题；C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法推断真假，故不是命题．4．命题“6的倍数既能被2整除，又能被3整除”的结论是(C)A．这个数能被2整除B．这个数能被3整除C．这个数既能被2整除，也能被3整除D．这个数是6的倍数[解析]将命题改为“若p，则q”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．5．(2024·山东潍坊高二期末)已知a，b，m∈R，则下列说法正确的是(D)A．若a>b，则eq\r(a)>eq\r(b)B．若a<b，则am2<bm2C．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，则a>bD．若a3>b3，则a>b[解析]选项A中，a>b得不出eq\r(a)>eq\r(b)，比如，a＝4，b＝－2时；选项B中，m＝0时，a<b得不出am2<bm2；选项C中，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)得不出a>b，比如，a＝－2，b＝4；选项D中，∵y＝x3是增函数，∴a3>b3得出a>b.故选D．6．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是(B)A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④[解析]①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B．二、填空题7．给出下列命题①若ac＝bc，则a＝b；②方程x2－x＋1＝0有两个实数根；③对于实数x，若x－2＝0，则(x－2)(x＋1)＝0；④若p>0，则p2>p；⑤正方形不是菱形．其中真命题是__③__，假命题是__①②④⑤__.[解析]c＝0时，①错；方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，∴方程x2－x＋1＝0无实根；p＝0.5>0，但p2>p不成立；正方形的四条边相等，是菱形．因此①②④⑤都是假命题．对于③，若x－2＝0，则x＝2，∴(x－2)(x＋1)＝0，故正确．8．(2024·北京文，11)能说明“若a＞b，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)”为假命题的一组a，b的值依次为__1，－1(答案不惟一)__.[解析]只要保证a为正b为负即可满意要求．当a＞0＞b时，eq\f(1,a)＞0＞eq\f(1,b).三、解答题9．推断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)指数函数是增函数吗？(2)x>eq\r(2)；(3)x＝2和x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；(4)请把窗户关上；(5)8>7；(6)这是一棵大树．[解析](1)是疑问句，所以不是命题．(2)(6)不能推断真假，不是命题．(3)(5)是陈述句且能推断真假，是命题．(4)是祈使句，不是陈述句，所以不是命题．B级素养提升一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是(A)A．红豆生南国 B．春来发几枝C．愿君多采撷 D．此物最相思[解析]A为可推断真假的陈述句，所以是命题；而B为疑问句，C为祈使句，D为感叹句，所以均不是命题．2．有下列命题：①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，c≠0，则ac>bc；③矩形的对角线相互垂直．其中真命题共有(A)A．0个 B．1个C．2个 D．3个[解析]①中，当x＝1，y＝0时，xy＝0，|x|＋|y|＝1，故①错误；②中，若a＝2，b＝1，c＝－1，则ac＝－2，bc＝－1，ac<bc，故②错误；③中，矩形对角线相等但不垂直，故③错误．3．在下列给出的命题中，全部正确命题的个数为(C)①函数y＝x2－3x＋1的图象关于x＝eq\f(3,2)对称；②若实数x，y满意x2＋y2＝1，则eq\f(y,x＋2)的最大值为eq\f(\r(3),3)；③若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB．A．1个 B．2个C．3个 D．0个[解析]①由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq\f(5,4)知①正确，②eq\f(y,x＋2)表示平面直角坐标系中(x，y)与(－2,0)两点所在直线的斜率，由数形结合知②正确，③由三角形中的性质知③正确，故应选C．4．(多选题)下列命题中的真命题是(ACD)A．若log2x<2，则0<x<4B．若a与b共线，则a与b的夹角为0°C．已知非零数列{an}满意an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列D．点(π，0)是函数y＝sinx图象上一点[解析]B中当a与b共线，但方向相反时，a与b的夹角为180°，所以B是假命题．∴选ACD．5．(多选题)已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么下列命题不正确的是(ABC)A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α且n⊂α，则l⊥αB．若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m⊥αC．若m∥β，n∥β，m⊂α且n⊂α，则α∥βD．若α∥β，l⊥α，m∥l且n⊂β，则m⊥n[解析]对于A需直线m与n相交，对于B需直线m⊂β，对于C需直线m，n相交，所以A，B，C都不正确，故选ABC．二、填空题6．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是__0__.[解析]∵垂直于同始终线的两条直线不肯定平行，∴命题①不正确；∵与同始终线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；∵与同始终线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c不肯定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0.7．下列语句：①mx2－x＋1＝0是一元二次方程；②你是中学生吗？③相互包含的两个集合相等；④全等三角形的面积相等；⑤抛物线x2－mx－1＝0与x轴至少有一个交点；⑥又大又圆的红苹果真招人喜爱！其中是真命题的序号为__③④⑤__.[解析]由命题的定义可知①③④⑤是命题．①中当m＝0时，方程mx2－x＋1＝0不是一元二次方程，故为假命题；③④是真命题；⑤中Δ＝m2＋4>0，所以抛物线x2－mx－1＝0与x轴有两个交点，故为真命题．三、解答题8．在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，则△ABC是什么三角形．[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<0，∴∠