2024年高考数学一轮复习：函数的概念及其表示专项讲义（原卷版+解析）

第6讲函数的概念及其表示

|■^知识梳理

知识点1函数的有关概念

1.函数的概念

函数

两集合A,BA,B是两个非空数集

对应关系如果按照某种确定的对应关系力使对于集合A中的任意一个数x,

/：4一5在集合B中都有唯一确定的数外词与之对应

名称称力为从集合A到集合B的一个函数

记法y=f(x),x^A

注：①函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.

②直线x=a与函数y=_/(x)的图象至多有1个交点.

③在函数的定义中，非空数集4,B,A即为函数的定义域，集合B不一定是函数的值域，它包含了函

数的值域，即值域是集合8的子集；

知识点2函数的定义域、值域

(1)函数y=f(x)直变量取值的范围A叫做函数的定义域；函数值的集合=x)lxG4｝叫做函数的值域:

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致,则这两个函数为相等函数.

注：①函数三要素：定义域、值域、对应法则.

②同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.

③若两函数的值域与对应关系相同，则两函数不一定相同，如：y=x2(xK))与？=好.

知识点3函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

解析法(最常用)图象法(解题助手)列表法

就是把变量X,y之间的关系就是把％,y之间的关系绘制就是将变量x,y的取值列成

用一个关系式y=/(x)来表成图象，图象上每个点的坐标表格，由表格直接反映出两者

示，通过关系式可以由X的值就是相应的变量％,y的值.的关系.

求出y的值.

知识点4分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分

段函数.

注：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个

函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围;其次，一个函数只有一个定义域，分段函数的定义

域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏;

最后，求分段函数的值域，是分别求出各段上的值域后取并集.另外，作分段函数的图象时，分别作出各段

的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图

时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏。

喜,高频考点

观察法r

配方法-•

分离常数法

换元法一一求函数的值域—

函数的概念

判别式法-考点一函数的概念｛

同一函数的判断

单调性法-考点四求函数的值域

基本不萼式法J

r求具体函数的定义域

已知函数®」

考点二求函数的定义域--求抽象函数的定义域

函数的概念及其表示J逆用函数的定义域

已知自变量的值求函数值-

已知函数值求自变量的值-

（-待定系数法

-分段函数求值—

分段函数与不等式的综合—

_配凑法

分段函数图象及其应用J考点五分段函数

一换元法

考点三求函数的解析式

求分段函数的值值」

-利用函数的奇偶性求解析式

J构造方程组法

J赋值法

第三冬

真题热身

1、（2023•浙江）已知aeR,函数=F一4x,'若f（f函））=3,则。=

1|X-3|+6Z,X„2•

2、（2023•北京）函数/（©=」一+版的定义域是_______.

X+1

3、（2023•全国）已知，（x）=[2：x<°,若/%）+y（_2）=o,贝!Ja=____

[%,x.O

4.（2023•江苏）函数y=47+6x-x,的定义域是.

5.（2023•新课标II）设/（x）为奇函数，且当尤..0时，f{x}=ex-1,贝!J当x<0时，/（%）=（）

A.ex-lB.ex+lC.-e-x-1D.+1

6、（2023•上海）下列函数中，值域为[0,+oo）的是（）

A.y=2xB.y=x2C.y=tanxD.y=cosx

7、（2023•天津）已知aeR.设函数/⑺=一+2a,%,1,若关于》的不等式/⑴0在氏上恒成立，则

[x-alnx,x>1•

。的取值范围为（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]

考点精析

考点一函数的概念

解题方略：

函数的概念

⑴函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对

应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而5中有可能存在与A中元素不对应的元素.

⑵构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.同一函数需满足定义域和对应关系均

相同

【例1-1］（2023•全国•高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（）

A.(1)(2)B.(1)(2)(3)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)

【例1-2］（2023•全国•高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（）

①〃尤）=与g（x）=xQ7.②尤）=了与8（尤）=斤.③/（x）=x°与g（x）=5・@/（X）=X2-2X-1

与g⑺=『-2T.

A.①②B.①③C.③④D.①④

【题组练透】

1、（2023•全国•高三专题练习）函数的图象与直线x=l的交点个数（）

A.至少1个B.至多1个C.仅有1个D.有0个、1个或多个

2、（2023•湖南•高三课时练习）设集合M={x|0Wx<2},N={y|0M”2},那么下列四个图形中，能表示

3、（2023•全国•高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A./(x)=elm,g(x)=x

2-4

B.f(x)=——X—,g(x)=x-2

x+2

C./(x)=x°,g(x)=l

D./(x)=|x|,XG{-1,0,1},g(x)=x2,XG{-1,0,1)

考点二求函数的定义域

解题方略：

函数的定义域:就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域必须

用集合或区间表示.若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“U”连接.研究函数问题都应该注

意“定义域优先”，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以

被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。

(一)求具体函数的定义域

求具体函数(用解析式给出)定义域的基本原则有以下几条：(注不要对解析式进行化简变形,以免定义域

发生变化)

(1)分式：分母不能为零；

(2)根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0,(如只要求A20)对奇次根式中的被开方数的正

负没有要求;(若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如公，只要求4>0)

(3)零次塞：中底数xwO；

(4)对数函数：对数函数中真数大于零,底数为大于0且不等于1；

；(5)三角函数：正弦函数丁=5山1的定义域为R,余弦函数y=cosx的定义域为R,正切函数y=tan无

7T7T

的定义域为<XXW版_+万,左£Z>,若丁=1211/(%),则/(%)W左万+耳,左£Z

；(6)若/(X)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的

定义域的交集.

(7)在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题

有意义

注：剥洋葱原理♦一层一层“交集（同时成立）一最后把求定义域转化成解不等式。

【例2-1]（2023•全国•高三专题练习）函数V=岳三+工的定义域为（）

x-3

A.|,+oojB.（-00,3）U（3,+oo）

C.-3jL（3,+◎D.（3,+co）

【例2-2]（2023•全国•高三专题练习）函数>=普『+（2尤+1）°的定义域为（

)

Vl-2x

A.

C.2，+°°

【例2-3】(2023・江西・南昌十中模拟预测(理))设全集。=11,集合“=回丁=111(;—1)｝,"=｛划,=47二^｝，

则Mc(qN)=()

A.(1,2)B.(1,2]C.(2,+oo)D.[2,+oo)

【例2-4]（2023•湖北武汉•模拟预测）函数〃外=等?的定义域为______.

X—1

【题组练透】

1、（2023•全国•高三专题练习）函数"X）=J*+3x+4+lg（x-2）的定义域是（）

A.[-1,4]B.（-1,4]C.[2,4]D.（2,4]

2、（2023•全国•高三专题练习）函数”无）="=1+1三的定义域为（）

A.[0,2）B.（2,+s）

C.(f2)l(2,+oo)D.[0,2）（2,4W）

3、(2023•全国•高三专题练习)函数〃x)=［*+lgfjj-1的定义域为.

(二)求抽象函数的定义域

谨记两句话：定义域(永远)指的是x的取值范围

同一个/下括号内的范围是一样的

①已知/(x)的定义域，求〃gQ)］的定义域,其解法是：若/(x)的定义域为&S'二匕，则/Tg(x)］中

从中解得的取值范围即为〃g(x)］的定义域。

②已知/TgQ)］的定义域，求/(x)的定义域。其解法是:若f［g(x)］的定义域为用&题，则由用4x4附

确定的范围即为了(组的定义域。

③已知］［gQ)］的定义域，求/T〃(x)］的定义域。其解法是:可先由f［g(x)］定义域求得/(%)的定义域，

再由/(%)的定义域求得了［/i(x)］的定义域。

④运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

【例2-5］(2023•全国•高三专题练习)已知函数的定义域［-2,2］,则函数/(x-1)的定义域为()

A.[-2,2]B.[-1,3]C.[-3,1]D.[0,2]

【例2-6］(2023•北京•高三专题练习)已知函数y=的定义域为(0,1),则函数*同=*2'-1|)的定义

域为()

A.B.(-cc,o)u(o,l)c.(0,+ao)D.[0,1)

【例2-7](2023•全国•高三专题练习)已知函数/(X+1)的定义域为(-2,0),则的定义域为()

A.(-1,0)B.(-2,0)C.(0,1)D.

【例2-8】（2023•全国•高三专题练习）若函数y=/（尤）的定义域是[0,8],则函数g（x）=；^的定义域是（）

A.(L32)B.(1,2)C.(1,32]D.(1,2]

【题组练透】

1、（2023•全国•高三专题练习）已知函数>=/（彳-1）的定义域为[1,3],则函数y=〃log3X）的定义域为（）

A.[0,1]B.[1,9]C.[0,2]D.[0,9]

2、（2023•全国•高三专题练习）函数/（2）的定义域为则y=〃log2X）的定义域为（）

A.[-1,1]B.[V2,4]C.；,2D.[1,4]

3、（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃x）的定义域为[-2』，则函数y=霭[j）的定义域为（）

A.[0,1]B.[0,1）C.（0,1]D.（0,1）

（三）逆用函数的定义域

①已知函数的定义域，求参数范围问题，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法，常转化为恒成立问

题来解决.

>0

②不等式办2+法+00的解是全体实数（或恒成立）的条件是：当。=0时，b=O,c>0；当awO时，/n；

[A<0

、[a<0

不等式依2+法+0〈0的解是全体实数（或恒成立）的条件是当〃=0时，ZF=O,C<0；当awO时，1.

[A<0

【例2-9]（2023•全国•高三专题练习）若函数/（x）=Jd+依+i的定义域为R,则实数4取值范围是

A.[-2,2]B.（2,内）C.（一-2）D.（-2,2）

【例2-10】（2023・全国・高三专题练习）若函数/5）=/,的定义域为R,则实数”取值范围是（）

7mx—mx+2

A.[0,8）B.（8,+8）

C.(0,8)D.(一0°,0)o(8,+oo)

【例2-11】（2023•全国•高三专题练习）已知函数=的定义域是R,则实数"的取值范围是（）

ax+ax-3

A.（-12,0）B.（-12,0］C.（1,+oo）D.（-℃,，

【例2-12］（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=J（1-片）£一（1一如+2.

（1）若了⑴的定义域为11,1］,求实数"的值；

（2）若Ax）的定义域为R,求实数”的取值范围.

【题组练透】

1、（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=Ja+2ax*（其中。＞0）,其定义域的区间长度不超过2加,

则实数。的取值范围为.

1

2、（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃尤）=近川力…川的定义域为R'则0的范围是

3、（2023•全国•高三专题练习）函数〃x）=j2_i°g（.1）的定义域（1，1°），则实数"的值为

考点三求函数的解析式

解题方略：

求函数的解析式的常用方法

①待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）

若已知/（%）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数,

求得了（X）的表达式。

②配凑法：已知复合函数〃g（x）］的表达式，求"X）的解析式，〃g（x）］的表达式容易配成g（x）的运算

形式时，常用配凑法。但要注意所求函数/(X)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。

③换元法：已知/'(g(x))的表达式，欲求/(X),我们常设/=g(x),从而求得％=8-1⑺，然后代入

/(g(x))的表达式，从而得到了⑺的表达式，即为/'(%)的表达式。与配凑法一样，要注意所换元的定义

域的变化。

注：在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域.如已知穴G)=x+1,求函数式制的解析式,

通过换元的方法可得_/(丫)=炉+1,函数式X)的定义域是[0,+co),而不是(一8,+co).

④利用函数的奇偶性求解析式：一般为已知x>0时，f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。首先求出f(-x)

的解析式，根据f(X)=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x)

⑤构造方程组法：若出现/(X)与/(-)的关系式、/(X)与/(-X)的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关

i系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出/(X)。

(1)互为倒数：f(x)+/(—)=g(x)；

X

(2)互为相反数：/0)+/(7：)=80)或口(彳)=/0)+80)(70)为奇函数，g(x)为偶函数)。

⑥赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使

问题具体化、简单化，从而求得解析式。

(一)待定系数法

【例3-1】(2023•全国•高三专题练习)已知“X)是一次函数，且满足3〃尤+1)-〃尤)=2尤+9

【例3-2](2023•全国•高三专题练习)已知二次函数满足〃2x+l)=4d-6x+5,求〃尤)的解析式；

【题组练透】

1、(2023•全国•高三专题练习)已知一次函数f(x)=«x+万满足/(-1)=-2,/(x+2)-/(%)=2.

⑴求实数生力的值;

(2)令g(x)=f(/(x-l)),求函数g(尤)的解析式.

2、(2023•全国•高三专题练习)已知了⑴是一次函数，且/"(尤))=以-1,则/(x)的解析式为

A./(x)=2x-g或/(x)=-2x+lB.f(x)=2x+l或f(x)=-2x-l

C./(x)=2x-1/(x)=-2x+1D./'(x)=2x+l或/'(x)=2x-l

3、(2023•全国•高三专题练习)已知函数/'(X)是二次函数，ja/(x+l)-/W=4x+3,/(l)=l,求〃x).

（-）配凑法

【例3-3］（2023•全国•高三专题练习）已知/（尤+求/（X）的解析式;

【例3-4］（河北省保定市2022届高三下学期二模数学试题）若函数3-2+1,则函数

kx7xx

g（x）=/（x）-4x的最小值为（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

【题组练透】

1、(2023•全国•高三专题练习)已知函数/"+1)=9+23-3,贝!!f(x)=()

A.x2+4xB.%2—4

C.x2+4x—6D.x2-4x-1

2、(2023,全国•高三专题练习)已知函数了(%)满足,f(sinx)=cos2%+cos2x,贝!!/(sinx-cosx)=()

A.3sin2x-lB.l-3sin2x

C.3cos2x-lD.l-3cos2x

4、已知函数/仕+1]=±-1,求/(x)的解析式.

1X)X

(三)换元法

【例3-5](2023•全国•高三专题练习)已知/(«-l)=x,求/(*)的解析式.

【例3-6](2023•全国•高三专题练习)已知函数〃尤)满足/(COSX—l)=cos2x—1,则/(九)的解析式为

()

A.f(x)=2x2+4x(-2<x<0)B./(x)=2x2+4x(xe7?)

C./(x)=2x-l(-2<x<0)D./(x)=2x-l(xe7?)

【例3-7】(2023•全国•高三专题练习))已知函数Ax)在定义域R上单调，且xe(0,内)时均有/(/(x)+2x)=1,

则/(-2)的值为()

A.3B.1C.0D.-1

【题组练透】

1、(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x+l)=d-x+3,那么/(x-1)的表达式是.

2、(2023•全国•高三专题练习)已知函数=则〃x)的解析式为()

A./(X)=77^GWT)B・

C./(x)=7^r(xwT)D・=

3、(2023•陕西西安•一模(理))已知〃%+l)=ln%2,则〃力=()

A.ln(x+l)2B.21n(x-l)C.21n|j;-l|D.ln(x2-l)

4、(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)在H上是单调函数，且满足对任意无£R,都有打3x]=4,

则"2)的值是()

A.2B.4C.7D.10

5、（2023•全国•高三专题练习）已知11=2］+3,若了（。=5,贝〃=（

)

£

A.C.

45

（四）利用函数的奇偶性求解析式

【例3-8】（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃x）是R上的偶函数，当时，/（x）=x2-2x+3,当x＜0

时，求解析式；

【例3-9］（2023•山东日照•模拟预测）设〃元）是定义在R上的奇函数，且当尤＞0时，/（x）=x3-8,贝！）

〃彳-2）＜0的解集为（）

A.（-4,0）（2,+oo）B.（0,2）u（4,+co）

C.S，0）（2,4）D.（44）

【例3-10］（2023•青海•大通回族土族自治县教学研究室二模（理））若/（X）是定义在R上的奇函数，且

〃x+l）是偶函数，当0＜止1时，/（力=-，贝!J当2＜x43时，的解析式为（）

A./（x）=-eiB./（x）=-尸

C./W=-erfD./（x）=-e3T

【题组练透】

1、（2023•河北衡水•高三阶段练习）已知“X）是定义在R上的奇函数，且无40时，/（x）=3x2-2x+m,则

〃x）在［1,2］上的最大值为（）

A.1B.8C.-5D.-16

2、(2023•全国•高三专题练习)定义在R上的函数满足〃x+l)=2/(x).若当0W元41时，=x(l-尤),

贝！I当一14尤W1时，/(%)=

3、(2023•全国•高三专题练习)设函数/(*)的定义域为R,满足/(x+1)=2f(x),且当xG(0,1]时,

Q

f(x)=2/-2x.若对任意(-oo,mA，都有/(x)N-],则m的取值范围是

(五)构造方程组法

【例3-11】(2023•全国•高三专题练习)已知/(x)+2/(—x)=3%2一兀，则〃%)=()

A.x2+xB.x2C.3无？+%D.x2+3%

【例3-12](2023•全国•高三专题练习)已知函数满足2/(x)+/=x,则〃2)=()

A・—2B.1iD.2

【例3-13](2023•全国•高三专题练习)已知函数｛x)满足兀r)+次3—x)=*2,则1/U)的解析式为()

1,

A.1/(x)=x2—12x+18B.f(x)=-x'—4x+6C./(x)=6x+9D.f(x)=2x+3

【例3-14](2023•全国•高三专题练习)已知函数〃力，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

/(x)+g(x)=3用.求函数〃x),g(x)的解析式;

【题组练透】

1、(2023•全国•高三专题练习汨知函数/(x)满足J〃-尤)-2/

4x(xw0),且3%《1,2],5/(x)>31og2a,

则a的取值范围为()

A.(—0,16]B.(0,4]C.(-8,4]D.(0,16]

2、(2023•全国•高三专题练习)已知27(x-l)--(I-x)=2d-1,求二次函数〃x)的解析式；

3、(2023•全国•高三专题练习)【多选】已知函数〃尤)，g(尤)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

/(x)-g(^)=x3+x2+l,则下列选项中正确的是()

A.和g(x)在(0,+8)上的单调性相同B.和g(x)在(0,+“)上的单调性相反

C.和g(x)在(-j0)上的单调性相同D.“X)和g(x)在(e,0)上的单调性相反

(六)赋值法

【例3-15](2023•全国•高三专题练习)已知是R上的函数，/(0)=1,并且对任意的实数x,y都有

/(x-v)=/(x)-y(2%-y+l),求函数的解析式.

【例3-16](2023•全国•高三专题练习)函数/(x)对一切实数都有〃x+y)-/(y)=(x+2y+l)x成立,

且"1)=0.求的解析式；

【题组练透】

1、(2023•全国•高三专题练习)已知函数Ax)对一切的实数尤，儿都满足

2于(x+y)-f(x-y)=x2+y2+6xy+x+3y-2,JE.f(0)=-2.

(1)求/⑵的值；

(2)求f(x)的解析式;

(3)求/(x)在上的值域.

2、(重庆市西南大学附属中学2022届高三上学期第四次月考数学试题)已知函数/(x)满足对任意非零实

数和均有〃x)=/⑴尤+空彳，则在(0,+e)上的最小值为.

3、(2023•全国•高三专题练习)已知函数/⑺对于一切实数均有/(x+y)-/(y)=x(x+2y+l)成立，且

/(1)=0,则当时，不等式“X)+2<log,x恒成立，则实数”的取值范围是().

考点四求函数的值域

解题方略：

(-)求函数的值域

(1)观察法(有界函数)——“拼图”

解题步骤：

第一步，观察函数中的特殊函数；

xe7?,x2>0,|x|>0,Vx>Q,ax>0(〃>0且〃w1)

-1<sinx<1,-1<cosx<1

第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.

【例4-1](2023•全国•高三专题练习)求函数/(x)=,8-2,的值域.

【题组练透】

1、(2023•全国•高三专题练习)若函数〃尤)=七1的定义域是则/(x)的值域是.

2、(2。23•全国•高三专题练习)函数.台的值域为()

A.(0,+oo)B.(—co,1)C.(1,+co)D.(0,1)

3、（2023•全国•高三专题练习）若函数〃尤）=卷F，则"X）的值域为（）

A.（-oo,3]B.（2,3）C.（2,3]D.[3,+<»）

（2）配方法

以二次函数的相关性质、图像为依托，利用数形结合思想求解某函数在给定区间的最值和值域问题。

这种方法一般适用于形如v=a[f（x）]2+bf（x）+c（aH0）的函数的值域和最值问题

解题步骤：

第一步，将二次函数配方一成y=a（x-by+c；

第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.（特别注意自变量的范围）

（注：配方法配的常数是一次项系数的一半的平方，对二次函数型值域问题，我们通常可以采用配方并结合

图像的方法求解。）

【例4-2]（2023•全国•高三专题练习）函数>=犬-4工+1,xe[0,4]的值域是（）

A.[1,6]B.[-3,1]C.[-3,6]D.[-3,+oo)

【题组练透】

1、（2023•全国•高三专题练习）函数>=二-2%+2（尤e[0,3]）的值域是（）

A.[1,5]B.[L2]C.[2,5]D.[1,+8）

2、（2023•全国•高三专题练习）函数股&一21的值域是.

3、（2023•全国•高三专题练习）函数/（x）=j3+2x-f的值域为（）

A.[0,4]B.（-8,2]C.[2,+oo）D.[0,2]

（3）分离常数法（即是求值域的方法也是化简解析式的方法）

分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：

ax+bax2+bx+cmax+nmsmx+n

主要的分式函数有：y=------,y=-；---------,y=---,y=—；-------等

cx+amx+nx+ppa+qpsinx+q

解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。

解题步骤：

:第一步，观察函数/■（%）类型，型如y（x）=竺土§；

cx+a

第二步，对函数/（X）变形成/（x）=?+—J形式；

ccx+a

第三步，求出函数丁="：在/'（X）定义域范围内的值域，进而求函数/（无）的值域.

cx+a

【例4-3]（2023•全国•江西科技学院附属中学模拟预测（文））函数〃》）=手|的值域（）

3x+l

A.,词唱，+《b-HlKrd

c.【一°0'」—收]

D-

【题组练透】

=2■的值域是（）

1、（2023•全国•高三专题练习）函数Ax）

x+1

A.（ro,T）（1,+<»）B.（-oo,2）

C.（-co,2）（2,+co）D.[-l,+oo）

2、（2023•全国•高三专题练习）函数y二（尤＞3）的值域是（）

¥—3

A.（1,+co）B.（0,+oo）C.（3,+oo）D.（4,+co）

COSX+1辽+2日/、

3、（2023•全国•高三专题练习）函数y,------7的值域是（）

Zcosx-l

A.（一8,0]U[4,+8）B.（—8,0]D[2,+8）

C.[0,4]D.[0,2]

（4）换元法

解题步骤：

第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；

第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.

____________*2_J

如:函数/（%）=+b+wO）,可以令t=&x+d«20）,得至1]%=------，函数/（x）=av

c

+4+&x+d（acw0）可以化为y="（厂—"）+j（20），接下来求解关于f的二次函数的值域问题，求

c

解过程中要注意t的取值范围的限制.

【例4-4]（2023•全国•高三专题练习）函数/⑺7+反三的值域是（）

A.[0,+co）B.[1,+co）C.2]D.

【例4-5]（2023•全国•高三专题练习）函数丁=平+21+3"6出的值域为（）

A.[2,+oo)B.(3,+8)D.[9,-HK)

【题组练透】

1、（2023•全国•高三专题练习）函数），=2X+4A/T7的值域为（）

A.（^»,-4]B.（^»,4]C.D.[2,-H»）

2、（2023•全国•高三专题练习）函数〃x）=log2（2x）-log2（4x）的最小值为（）

3、（2023•全国•高三专题练习）函数/（x）=V-1的定义域为[0,4],则函数y=/（/）+[/（x）『的值域为（）

A.-1,992B.」,24C.——>4D.--—2^2

2222

（5）判别式法

解题步骤:

第一步，观察函数解析式的形式，型如y=@y的函数；

ax~+bx+c

第二步，将函数式化成关于％的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值

域.

【例4-6]（2023•全国•高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（）

'X+X+1

【题组练透】

7Y2__J_1

1、（2023•全国•高三专题练习）函数y=午士r的值域为__________

X—X+1

2、（2023•全国•高三专题练习）若函数/（x）=J——^的最大值为a,最小值为b,则a+b=（）

x+1

A.4B.6

C.7D.8

3、（2023•全国•高三专题练习）函数丫='龙+s；n2尤的值域为

1+sinx

（6）单调性法

解题步骤：

第一步，求出函数的单调性；

第二步，利用函数的单调性求出函数的值域.

【例4-7]（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃尤）=，[八

的值域是（）

A.（e,2]B.（0,2]C.[2,-H»）D.

【题组练透】

1、(2023•全国•高三专题练习)已知2'2+r]£|,求函数y=2,-2f的值域

Y-I-1

2、(2023•全国•高三专题练习)函数/(》)=2：(OVxW8)的值域为

•X十，八十L\J

A.B.[6,8]C.奈,)D.[6,10]

4

3、(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(%)=%-―,若/(%)«相对任意工£[1,4]恒成立，则实数机的取值

x

范围为()

A.(-8,-3)B.(―℃),—3]C.(3,+oo)D.[3,+oo)

(7)基本不等式求值域

解题步骤：

fctx^+hx+C

第一步观察函数解析式的形式，型如y=27或4=-------L的函数；

ax+bx+cex+J

b

第二步对函数进行配凑成y=〃%+—形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.

x

注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”

【例4-8](2023•全国•高三专题练习)函数y=lnx+J的值域为()

inx

A.(-oo,-2]B.[2,+oo)

C.(-oo,-2]一[2,+oo)D.[-2,2]

【题组练透】

l^(2023•全国•高三专题练习)函数/。)=«+号的值域为

2、(2023•全国•高三专题练习)函数〃x)=e'+2e-，的值域是.

3、【多选】（2023•全国•高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”

的称号，用其名字命名的“高斯函数”如下：设xeR,用[尤]表示不超过x的最大整数，则＞=[可称为高斯

函数.例如卜2』=-3,[3』=3,已知函数”无）=后，若函数y=[”％）]的值域集合为Q,则下列集合

是。的子集的是（）.

A.[0,E）B.{0,2}C.{1,2}D.{1,2,3}

（-）已知函数值域求参数

【例4-9]（2023•全国•高三专题练习）已知函数"xhJm'm+l的值域为[0,茁）,则加的取值范围是

A.[0,4]B.（0,4]C.（0,4）D.[4,+oo）

【题组练透】