快乐天天练19-函数的基本性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册寒假作业

快乐天天练十九函数的基本性质一．选择题（共7小题）1．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2﹣x B．y＝lnx C．y＝ D．y＝sinx2．下列函数是奇函数的是（）A．f（x）＝2x B．f（x）＝log2x C．f（x）＝x2 D．f（x）＝x33．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意两个不相等的实数a，b都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＞0，则不等式f（3x﹣1）＞f（x+5）的解集为（）A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，2） C．（3，+∞） D．（2，+∞）4．设函数f（x）＝e|x|，则使得f（2x﹣1）＜f（x）成立的x的取值范围是（）A． B． C． D．5．若函数在区间（1，2）上单调递增，则a的取值范围（）A．[0，2] B． C． D．6．已知，则f（4）的值为（）A．12 B．8 C．23 D．177．已知函数是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．二．多选题（共5小题）8．若函数f（x）对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则称f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（）A．f（x）＝﹣2x+1 B．f（x）＝x2+2x+1 C．f（x）＝x2﹣log2x D．f（x）＝x2﹣x+9．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．下列函数中，在（0，+∞）上单调递增且图象关于y轴对称的是（）A．f（x）＝x3 B．f（x）＝x2 C．y＝x﹣2 D．f（x）＝|x|10．已知函数f（x）的定义域是[﹣1，5]，且f（x）在区间[﹣1，2）上是增函数，在区间[2，5]上是减函数，则以下说法一定正确的是（）A．f（2）＞f（5） B．f（﹣1）＝f（5） C．f（x）在定义域上有最大值，最大值是f（2） D．f（0）与f（3）的大小不确定11．如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是（）A．f（x）＝2x B． C．f（x）＝log2x（x＞0） D．12．已知函数f（x2+1）＝+|x|，则下列选项中正确的是（）A．函数f（x）的最大值M与最小N的比值为 B．函数f（x）的最大值M与最小N的比值为2 C．函数f（x）的定义域为[﹣，] D．函数f（x）的定义域为[1，3]三．填空题（共5小题）13．函数f（x）＝x3+（m2﹣1）x2+x为奇函数，则m＝．14．若函数f（x）是偶函数，定义域为[﹣2，2]，且在[0，2]是增函数，则满足f（1﹣x）＞f（1）的实数x的取值范围是．15．函数y＝log（﹣x2+2x+3）的单调递增区间是．16．定义在R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（3）＝0，则不等式（m+1）f（m﹣2）≤0的解集是．四．解答题（共6小题）17．已知函数．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性并证明；（2）若x∈[2，6]，求函数f（x）的最值．18．已知函数y＝f（x），其中．（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若g（x）＝f（x）•x+ax，且y＝g（x）在区间（0，2]上是严格减函数，求实数a的取值范围．19．已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．20．已知函数．（1）求h（x）在上的最大值；（2）设函数f（x）的定义域为I，若存在区间A⊆I，满足：对任何x1∈A，都存在（其中表示A在I上的补集）使得f（x1）＝f（x2），则称区间A为f（x）的“Γ区间”．已知，若函数h（x）的“Γ区间”，求a的最大值．21．（1）求函数的定义域；（2）用定义法证明是（﹣∞，﹣3）上的减函数．22．已知是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）求使不等式f（t﹣1）+f（t）＜0成立的实数t的取值范围．

快乐天天练十九函数的基本性质参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．解：对于A，y＝2﹣x为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，y＝lnx为非奇非偶函数，不符合题意；对于C，y＝为奇函数，但在区间（0，1）上单调递减，不符合题意；对于D，y＝sinx为奇函数，由正弦函数的图象可知，y＝sinx在区间（0，1）上单调递增，符合题意．故选：D．2．解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝2x，是指数函数，不是奇函数，不符合题意，对于B，f（x）＝log2x，是对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于C，f（x）＝x2，是二次函数，是偶函数，不是奇函数，不符合题意，对于D，f（x）＝x3，是奇函数，符合题意，故选：D．3．解：不妨设a＞b，∵（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＞0，∴f（a）＞f（b），∴f（x）是R上的增函数，原不等式等价于3x﹣1＞x+5，解得x＞3，∴原不等式的解集为（3，+∞）．故选：C．4．解：f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，∴由f（2x﹣1）＜f（x）得，f（|2x﹣1|）＜f（|x|），∴|2x﹣1|＜|x|，∴（2x﹣1）2＜x2，解得＜x＜1，∴x的取值范围是（，1）．故选：A．5．解：令u（x）＝ax2﹣8x+15，函数y＝为减函数，要使函数在区间（1，2）上单调递增，则u（x）＝ax2﹣8x+15在区间（1，2）上单调递减且恒大于0，∵u′（x）＝2ax﹣8，∴，解得．∴a的取值范围是[，2]．故选：D．6．解：因为，则令，解得x＝10，所以f（4）＝2×10+3＝23．故选：C．7．解：因为函数是定义在R上的减函数，所以有，解得，所以实数a的取值范围为．故选：D．二．多选题（共5小题）8．解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣x2，若f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则有﹣1＝＝×＝＜0，则有＜0，则函数g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）为减函数，反之，若函数g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）为减函数，则有＝（x1+x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，分析选项：对于A，f（x）＝﹣2x﹣1，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x2﹣2x﹣1，为开口向下，对称轴为x＝﹣1的二次函数，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；对于B，f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝f（x）﹣x2＝2x+1，g（x）在区间[1，+∞）为增函数，则f（x）在（1，+∞）上不是“平方差减函数”；对于C，f（x）＝x2﹣log2x，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣log2x，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；对于D，f（x）＝x2﹣x+，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x+，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；故选：ACD．9．解：对于A，f（x）＝x3为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意；对于B，f（x）＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于C，y＝x﹣2＝为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；对于D，f（x）＝|x|为偶函数，图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意．故选：BD．10．解：因为在区间[2，5]上是减函数，故f（2）＞f（5）成立，A正确；因为f（x）在区间[﹣1，2）上是增函数，在区间[2，5]上是减函数，但在x＝2处不一定连续，故无法比较f（0）与f（3）的大小，B不正确，D正确，当函数在x＝2处连续时，x＝2处函数的最大值，当函数在x＝2处不连续时，x＝2时，函数不能取得最大值，C错误；故选：AD．11．解：函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足，如图示：显然f（x）是增函数且f′（x）也是增函数，可得f″（x）≥0，对于A：f（x）＝2x，则f′（x）＝2x•ln2，∴f″（x）＝2x•ln22＞0，∴函数是下凸函数；对于B：f（x）＝3sin（2x+），f′（x）＝6cosx（2x+），∴f″（x）＝﹣12sin（2x+）≥0不恒成立，∴函数不是下凸函数；对于C：f（x）＝log2x，则f′（x）＝，∴f″（x）＝﹣＜0，∴函数不是下凸函数；对于D：x＜0时，f′（x）＝1，∴f″（x）＝0；x≥0时，f′（x）＝2，∴f″（x）＝0，∴函数是下凸函数故选：AD．12．解：因为函数f（x2+1）＝+|x|，所以2﹣x2≥0，解得，令t＝x2+1，则x2＝t+1，所以，所以，其定义域为[1，3]，故D正确，C错误；则，1≤x≤3，所以＝，则[f（x）]2∈[2，4]，所以，所以函数f（x）的最大值M与最小N的比值为，故A正确，B错误．故选：AD．三．填空题（共5小题）13．解：根据题意，f（x）＝x3+（m2﹣1）x2+x为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有（﹣x）3+（m2﹣1）（﹣x）2+（﹣x）＝﹣（x3+（m2﹣1）x2+x），则有（m2﹣1）x＝0，解可得m＝±1，故答案为：±1．14．解：因为函数f（x）是偶函数，定义域为[﹣2，2]，且在[0，2]是增函数，所以函数f（x）在[﹣2，0）上是减函数，因为f（1﹣x）＞f（1），所以f（|1﹣x|）＞f（1），所以，解得﹣1≤x＜0或2＜x≤3，即x的取值范围是[﹣1，0）∪（2，3]．故答案为：[﹣1，0）∪（2，3]．15．解：由﹣x2+2x+3＞0，得x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，∴函数y＝log（﹣x2+2x+3）的定义域为（﹣1，3），令t＝﹣x2+2x+3，该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝1，且在[1，3）上为减函数，而y＝logt为减函数，∴函数y＝log（﹣x2+2x+3）的单调递增区间是[1，3）．故答案为：[1，3）．16．解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（3）＝0，∴f（x）的图象如图：当m﹣2＝3时，即m＝5，则不等式等价为6f（3）≤0成立，当m﹣2＝﹣3时，即m＝﹣1，则不等式等价为0f（﹣3）≤0成立，当m≠﹣1且m≠5时，不等式等价为或，得或，即或，得m＞5或是空集，综上m≥5或m＝﹣1，即不等式的解集为{m|m＝﹣1或m≥5}，故答案为：{m|m＝﹣1或m≥5}．四．解答题（共6小题）17．解：（1）函数在（1，+∞）上单调递减．证明如下：设x1，x2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则，∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∵x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），∴（x1﹣1）＞0，（x2﹣1）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（1，+∞）上单调递减．（2）由（1）知函数在[2，6]上单调递减，当x＝2时f（x）取最大值，则f（x）max＝f（2）＝2；当x＝6时f（x）取最小值，则．18．解：（1），定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）＝﹣x+＝﹣（x+）＝﹣f（x），所以函数y＝f（x）为奇函数．（2）g（x）＝f（x）•x+ax＝x2+ax+1，因为y＝g（x）在区间（0，2]上是严格减函数，所以﹣≥2，解得a≤﹣4，即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4]．19．解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+k•2x＝﹣2x﹣k•2﹣x，可得k＝﹣1，所以f（x）＝2x﹣2﹣x，令y＝f（x）+f（2x）＝2x﹣2﹣x+22x﹣2﹣2x＝0，即（2x﹣2﹣x）（1+2x+2﹣x）＝0，所以2x﹣2﹣x＝0，解得x＝0，即函数y＝f（x）+f（2x）的零点为x＝0．（2）当k≤0时，函数f（x）＝2x+k•2﹣x在R上单调递增，不符合题意；当k＞0时，令t＝2x，当x∈（﹣∞，﹣1）时，t∈（0，），当x∈（2，+∞）时，t∈（4，+∞），因为f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增，所以g（t）＝t+在（0，）上单调递减且在（4，+∞）上单调递增，所以≤≤4，解得≤k≤16，故存在实数k∈[，16]使f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增．20．解：（1）由题意知，h（）＝h（2）＝1，①若＜a≤1，则h（x）在[，a]上单调递减，可得h（x）的最大值为h（）＝1；②若1＜a≤2，则h（x）在[，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，可得h（a）≤h（2）＝h（）＝1，所以h（x）的最大值为1；③若a＞2，则h（x）在[，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，可得h（a）≥h（2）＝h（），所以h（x）的最大值为h（a）＝|log2a|，综上，若＜a≤2，则h（x）的最大值为1；若a＞2，则h（x）的最大值为|log2a|；（2）由（1）知①当＜a≤1时，h（x）在（，a）上的值域为（|log2a|，1），f（x）在{}∪[a，2]上的值域为[0，1]，由任何x1∈A，都存在（其中表示A在I上的补集）使得f（x1）＝f（x2），可得（|log2a|，1）⊆[0，1]，即有|l