广西壮族自治区河池市十校协作体2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题

2024年秋季学期高二年级校联体第二次联考数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点到焦点F的距离为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的性质即可求解.【详解】．故选：C2.已知直线，，则与的距离为（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平行线间的距离公式求解即可.【详解】由题意得，与的距离．故选：C．3.若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点0,2，，则该椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.【详解】由题意得椭圆焦点在x轴上且经过点0,2，所以，，，椭圆的标准方程为．故选：B．4.已知两个向量，，且，则的值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】由向量共线的坐标表示，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，，，，，，．故选：A．5.已知直线平分圆C：的周长，则a＝（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】求出圆心坐标，利用点在直线上求出值.【详解】圆C：的圆心，由直线平分圆C：的周长，得直线过圆C的圆心，即，所以．故选：A6.已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线方程写出准线方程，求得双曲线一个焦点坐标，求得值，即得其方程，继而得到渐近线方程.【详解】因的准线为，由题意，双曲线的一个焦点为，则有，解得，故双曲线方程为，其渐近线方程为，即．故选：D．7.在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，，，E为棱的中点，则与平面的夹角余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得与平面的夹角的正弦值，再转化为余弦值.【详解】底面ABCD为等腰梯形，，，，如图，在底面ABCD中，过点作，垂足为，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．则，，，，，，，设平面的法向量为，则，所以，两式相减可得，令，解得，，则平面的一个法向量为，，则到平面的夹角正弦值，.故选：B8.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，A，B是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】连接，，，，由条件证明四边形为矩形，利用勾股定理和双曲线定义式联立求出的值，代入三角形面积公式即得.【详解】由双曲线对称性可知，A，B，O三点共线，连接，，，，由可得,因，故四边形为矩形，则，，由双曲线C：可得，，则，于是，则①，又②，由，解得，故．故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，，则下列说法正确的是（）A.当时，直线倾斜角为B.当时，C.若，则D.直线始终过定点【答案】ABD【解析】【分析】由直线方程得斜率，从而求得倾斜角判断A，根据直线垂直或平行的条件求得参数值判断BC，把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标判断D．【详解】对于A，当时，直线，故斜率，则倾斜角为，A正确.对于B，等价于，解得，故B正确.对于C，若，且，故，故C错误.对于D，，令，得，解得，，故恒过，D正确.故选：ABD．10.如图，正方体的棱长为1，是上的中点，以下说法正确的是（）A.的面积是定值B.与同向的单位向量是C.与夹角的余弦值为D.平面的一个法向量是【答案】BC【解析】【分析】由可判断A选项，建立空间直角坐标系，求得与同向的单位向量可判断B选项，求得，利用空间向量夹角公式可求得与夹角的余弦值判断C；可利用向量的数量积的坐标运算可判断D.【详解】对于A选项：在上且，到AC的距离等于到AC的距离，则为定值1，，故A选项错误；以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，，对于B选项：，与同向的单位向量为，故B选项正确；对于C选项：，，则，故C选项正确；对于D选项：由，，设，则，，即不垂直，不垂直，不是平面的一个法向量，故D选项错误.故选：BC．11.已知椭圆，，分别为它左右焦点，点分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A.存在4个点，使得B.直线与直线斜率乘积为定值C.有最小值D.的取值范围为【答案】AD【解析】【分析】设为椭圆上顶点，利用椭圆的性质可求得，可判断A；设Mx,y，计算可得的值可判断B；由题意可得，利用基本不等式中1的代换可求得的最小值判断C；利用数形结合可求得的最值，进而可求得的取值范围判断D.【详解】对于A中，由椭圆，可得，，，设为椭圆的上顶点，且，可得，所以，故在第一象限有点，使得，根据对称性四个象限各有一个点符合题意，故存在4个点，使得，所以A正确；对于B中，设Mx,y，则，且，可得，则为定值，所以B错误．对于C中，由椭圆的定义，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，所以C错误．对于D中，由点在椭圆外，设直线，与椭圆相交于，，如图所示，则，因为，且，可得，即，所以，所以，所以D正确．故选：AD．【点睛】关键点点睛：对于C，关键利用椭圆的定义得，进而利用基本不等式1的代换求得最小值，对于D，求圆锥曲线中两线段和的最值，常常利用数形结合求得最值，其中常用到圆锥曲线的定义.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线过点，倾斜角为，则直线的纵截距为________________．【答案】1【解析】【分析】求得直线的斜率，进而可求得直线的方程，令，可求得纵截距.【详解】由题意知，斜率为，则直线方程为，令即，，所以直线的纵截距为1．故答案为：1．13.已知圆与直线相切，则_________．【答案】【解析】【分析】先将圆的一般方程变为标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】由已知圆的标准方程为，所以圆心为，半径为，依题意，.故答案为：.14.双曲线C：的离心率为________________．【答案】2或【解析】【分析】分或两种情况计算即可.【详解】当，所以；当，，故答案为：2或．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的顶点分别为．（1）求边的中线所在直线的方程；（2）求边的垂直平分线所在直线的方程．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由点斜式可得直线方程；（2）求出的中点D的坐标，再求出的斜率，进而由垂直可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程；【小问1详解】设中点的坐标为，则，，所以，边的中线过点两点，所以，所以所在直线方程为，即；【小问2详解】因为的斜率，所以的垂直平分线的斜率，所以的垂直平分线所在直线的方程为，即．16.已知椭圆C：，M为椭圆上一点，，分别为它的左右焦点，M到，距离之和为4，离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：与椭圆交于A，B两点，求|AB|的长以及三角形AOB面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出即可.（2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式及点到直线距离公式求解即得.【小问1详解】依题意，，则，由离心率，得，得，所以椭圆C的方程为.【小问2详解】由消去得，解得，则弦长；原点O到直线l：距离为：，所以三角形AOB面积：17.如图，在四棱锥中，侧棱底面，，且，，，为中点．（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先证平面，建立空间直角坐标系，由点到面的距离公式求解即可；（2）由面面角的向量求法求解角的余弦值，即可求解正弦值.【小问1详解】设与交点为，连接，则，所以平面，所以，，三条直线两两互相垂直，以，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，，则，，，，，E0,0,1，，，设平面EAD的法向量为，，可取，又，则点C到平面EAD的距离：；【小问2详解】，，，，设平面PBC的法向量为，则，可取，所以，所以平面PBC与平面EAD夹角的余弦值为，所以平面PBC与平面EAD夹角的正弦值为.18.已知圆，圆．（1）证明两圆相交，并求两圆公共弦长；（2）已知过点0,1的直线l与圆交于A，B两点，且，求直线l的斜率．【答案】（1）证明见解析，（2）或．【解析】【分析】（1）确定两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和差的关系确定两圆的位置关系；两圆方程相减，可得公共弦所在的直线方程，根据“几何法”可求两圆的公共弦长.（2）先讨论直线斜率不存在的情况，再研究直线斜率存在时，可设直线，代入圆的方程，根据韦达定理得到，，进而表示出，由就是可求的值.【小问1详解】如图：圆化成标准方程，圆心，半径，圆化成标准方程为，圆心，半径，由，所以两圆相交，两圆方程作差得．即公共弦所在直线的方程为．圆的圆心到公共弦所在直线的距离为：，所以公共弦长为：.【小问2详解】由题可知，设Ax1,①当直线斜率不存在时，直线与交点在y轴上，显然不满足题意.②当直线斜率存在时，设直线l方程为：，将代入，得，整理得，，，由一元二次方程根与系数的关系得，，．由可得，化简得，即，解得或．19.设抛物线C：的焦点为F，已知点F到圆E：上一点的距离的最大值为2．（1）求抛物线C的方程；（2）已知，是双曲线左