滁州学院离散数学试卷

滁州学院离散数学试卷一、选择题

1.在集合论中，下列哪个概念表示一个元素属于该集合？

A.子集

B.真子集

C.父集

D.元素

2.设集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则集合A与集合B的交集是什么？

A.{1,2,3}

B.{3}

C.{1,2,4,5}

D.空集

3.下列哪个命题是永真命题？

A.1=2

B.对于任意实数x，x^2≥0

C.所有的鸟都会飞

D.1+1=3

4.在图论中，一个无向图有8个顶点和12条边，则该图至少有多少个环？

A.0

B.1

C.2

D.3

5.设函数f(x)=x^2，则该函数的图像是？

A.抛物线

B.直线

C.双曲线

D.圆

6.在逻辑代数中，下列哪个表达式是恒等式？

A.A+AB=B

B.A+AB=A

C.A+AB=1

D.A+AB=A+B

7.在关系数据库中，下列哪个操作是用于删除记录的？

A.INSERT

B.UPDATE

C.DELETE

D.SELECT

8.在图论中，一个有向图有6个顶点和9条边，则该图至少有多少个有向环？

A.0

B.1

C.2

D.3

9.在数学归纳法中，假设对于某个自然数n，命题P(n)成立，那么要证明命题P(n+1)也成立，我们需要证明什么？

A.P(n)成立

B.P(n+1)成立

C.P(n)和P(n+1)同时成立

D.P(n)和P(n+1)同时不成立

10.在组合数学中，从5个不同的元素中取出3个元素的组合数是多少？

A.10

B.20

C.30

D.40

二、判断题

1.在集合论中，空集是任何集合的子集。（）

2.在图论中，连通图一定有欧拉回路。（）

3.在逻辑代数中，德摩根定律是成立的。（）

4.在数据库理论中，关系数据库中的关系必须是规范化的，以避免数据冗余。（）

5.在组合数学中，二项式定理可以用来计算任意两个多项式的乘积。（）

三、填空题

1.在集合论中，集合A的幂集包含______个元素。

2.一个图中有______个顶点和______条边时，它是一个无向完全图。

3.在逻辑代数中，表达式(A+B)(A+B)可以简化为______。

4.在数据库理论中，第一范式（1NF）要求关系中的每个属性______。

5.在组合数学中，二项式系数C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的______。

四、简答题

1.简述集合论中笛卡尔积的定义及其应用场景。

2.解释图论中图的连通性和路径的概念，并说明它们在图中的应用。

3.举例说明逻辑代数中的吸收律和分配律，并解释它们在简化逻辑表达式中的作用。

4.描述关系数据库中第三范式（3NF）的定义，并说明它与第一范式（1NF）和第二范式（2NF）的关系。

5.简要介绍组合数学中的排列和组合的区别，并给出计算排列和组合数的方法。

五、计算题

1.计算集合A={1,2,3,4}和集合B={2,4,5,6}的笛卡尔积。

2.已知无向图G有5个顶点，边数E=7，求G的最小度数和最大度数。

3.简化逻辑表达式：(A+B)(A+C)+(A+B)(B+C)。

4.设关系R是关系数据库中的一个关系，其属性集合为{A,B,C,D}，其中A是主键，B是外键，且满足第二范式（2NF）。请用关系规范化理论说明R是否满足第三范式（3NF）。

5.计算组合数C(10,3)和排列数P(10,3)。

六、案例分析题

1.案例背景：某电子商务公司在其网站上线了一款新商品，需要根据用户点击购买行为来优化网站推荐算法。公司收集了1000名用户在一个月内的点击购买数据，其中包含了用户ID、商品ID、用户点击时间、购买时间等信息。

案例分析：

（1）请根据上述数据，设计一个图模型来表示用户与商品之间的关系，并说明其类型（例如：有向图、无向图）。

（2）分析图中用户的点击购买行为，找出哪些商品与哪些用户有较高的相关性，并提出优化网站推荐算法的建议。

2.案例背景：某在线教育平台为了提高学生参与度，决定对课程学习进度进行跟踪，并设计了一个学生成绩管理系统。系统需要记录每个学生在每门课程中的学习情况，包括课程ID、学生ID、学习时长、作业提交情况等。

案例分析：

（1）请设计一个关系数据库模式来存储上述数据，包括所需表的结构和表之间的关系。

（2）分析该数据库模式可能存在的问题，并提出相应的优化方案，例如考虑数据冗余、完整性约束等。

七、应用题

1.应用题：假设有一个包含10个学生的班级，每个学生参加了3门不同的课程，课程分别为数学、英语和物理。请设计一个算法，计算每个学生的平均成绩，并输出每个学生的课程平均成绩和班级的平均成绩。

2.应用题：在一个无向图中，有5个顶点，分别是A、B、C、D、E，边的情况如下：AB、AC、AD、BC、BD、BE。请编写代码实现一个算法，判断该图是否为连通图，并输出结果。

3.应用题：在逻辑代数中，有一个表达式F=A(B+C)+D(A+B)。请使用分配律和吸收律简化这个表达式，并写出简化后的结果。

4.应用题：设计一个数据库查询，假设有一个学生表（Students）和一个成绩表（Grades），学生表包含学生ID和姓名，成绩表包含学生ID和成绩。查询所有学生的姓名和他们的最高成绩。假设成绩表中的成绩是按学生ID分组最高的。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.D

2.B

3.B

4.B

5.A

6.B

7.C

8.B

9.B

10.A

二、判断题答案：

1.√

2.×

3.√

4.√

5.×

三、填空题答案：

1.2^n

2.n,n*(n-1)/2

3.A

4.原子

5.排列

四、简答题答案：

1.笛卡尔积是两个集合A和B的所有可能的有序对(a,b)的集合，其中a属于A，b属于B。它广泛应用于关系数据库的连接操作、集合的笛卡尔积运算等。

2.图的连通性指的是图中任意两个顶点之间都存在路径。路径是指顶点序列，其中任意两个相邻顶点之间都有一条边。图中的路径可以是简单的（不重复经过顶点）或复杂的（重复经过顶点）。

3.吸收律：A+AB=A，表示在逻辑代数中，一个元素与其与另一个元素的或运算的结果相等。分配律：A(B+C)=AB+AC，表示逻辑代数中，一个元素与两个元素的或运算的结果等于该元素与每个元素的或运算的结果的和。

4.第三范式（3NF）要求关系中的属性必须直接依赖于主键，且不存在传递依赖。与1NF和2NF的关系是：1NF是关系数据库的基本要求，2NF要求关系中的非主属性完全依赖于主键，而3NF在此基础上要求非主属性不依赖于其他非主属性。

5.排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同顺序的排列。组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合，不考虑顺序。

五、计算题答案：

1.集合A×B={(1,2),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(2,5),(3,2),(3,4),(3,5),(4,2),(4,4),(4,5)}

2.最小度数=2，最大度数=3

3.简化后的表达式为：F=A+D

4.第三范式不满足，因为属性C依赖于属性B，而B依赖于主键A，存在传递依赖。

5.C(10,3)=120,P(10,3)=720

七、应用题答案：

1.算法设计：

-遍历学生表，对每个学生，遍历课程表，计算每门课程的平均成绩。

-将每个学生的平均成绩存储在一个列表中。

-计算班级的平均成绩，即所有学生平均成绩的平均值。

2.代码示例：

```python

defis_connected(graph):

visited=set()

stack=[graph[0]]

whilestack:

node=stack.pop()

ifnodenotinvisited:

visited.add(node)

stack.extend(graph[node])

returnlen(visited)==