2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语课时作业21.1.2四种命题含解析新人教A版选修2-1

PAGEPAGE1课时作业2四种命题时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是增函数，则loga2019>0”的逆否命题是(A)A．若loga2019≤0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是增函数B．若loga2019>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是增函数C．若loga2019≤0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若loga2019>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数解析：原命题的逆否命题的条件和结论分别是原命题的结论的否定和条件的否定．2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的(A)A．逆命题 B．否命题C．逆否命题 D．无关命题解析：将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若p，则q”的形式为“若一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”．而将命题“矩形的对角线相等”写成“若p，则q”的形式为“若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线相等”．故前一个命题为后一个命题的逆命题．3．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(D)A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b解析：命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.4．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(B)A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(B)A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：原命题的条件是“f(x)是奇函数”，结论是“f(－x)是奇函数”，同时否定条件与结论，即得否命题：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数．6．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的逆否命题是(D)A．若a<b，则a＋c<b＋cB．若a≤b，则a＋c≤b＋cC．若a＋c≤b＋c，则a<bD．若a＋c≤b＋c，则a≤b解析：“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，其中“>”的否定为“≤”．7．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是m，则m是p的(D)A．原命题 B．逆命题C．否命题 D．逆否命题解析：设命题p为“若k，则l”，则命题q为“若l，则k”，从而命题m为“若非l，则非k”，即命题m是命题p的逆否命题．8．已知原命题：若α＝eq\f(π,6)，则sinα＝eq\f(1,2)，那么原命题与其逆命题的真假分别是(A)A．真，假 B．真，真C．假，真 D．假，假解析：若α＝eq\f(π,6)，则sinα＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，∴原命题为真．若sinα＝eq\f(1,2)，则α＝eq\f(π,6)＋2kπ或eq\f(5,6)π＋2kπ，k∈Z，∴逆命题为假．二、填空题9．命题“若a>b，则a＋1>b”的逆否命题是若a＋1≤b，则a≤b.10．“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题是真命题(填真、假)．解析：其逆否命题为“常数列是等差数列”是真命题．11．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有②和④，③和⑥；互为否命题的有①和⑥，②和⑤；互为逆否命题的有①和③，④和⑤.解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难推断．三、解答题12．若a，b，c∈R，写出命题“若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根”的逆命题、否命题、逆否命题，并推断它们的真假．解：逆命题：若ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个相异实根，则ac<0，是假命题；否命题：若ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个相异实数根，是假命题；逆否命题：若ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个相异实根，则ac≥0，是真命题．13．推断下列命题的真假，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并推断这些命题的真假，说明理由．(1)在△ABC中，若A<B，则cosA>cosB；(2)若{an}是等比数列，则{aeq\o\al(2,n)}是等比数列．解：(1)原命题是真命题．逆命题：在△ABC中，若cosA>cosB，则A<B，真命题．否命题：在△ABC中，若A≥B，则cosA≤cosB，真命题．逆否命题：在△ABC中，若cosA≤cosB，则A≥B，真命题．理由如下：∵y＝cosx在(0，π)内是减函数，∴由A<B可得cosA>cosB，由A≥B可得cosA≤cosB，∴原命题和其逆否命题为真命题，其否命题和其逆命题也为真命题．(2)原命题是真命题．逆命题：若{aeq\o\al(2,n)}是等比数列，则{an}是等比数列，假命题．否命题：若{an}不是等比数列，则{aeq\o\al(2,n)}不是等比数列，假命题．逆否命题：若{aeq\o\al(2,n)}不是等比数列，则{an}不是等比数列，真命题．理由如下：∵{an}是等比数列，∴eq\f(an＋1,an)＝q(q为常数)，∴eq\f(a\o\al(2,n＋1),a\o\al(2,n))＝q2，故{aeq\o\al(2,n)}是等比数列，则原命题及其逆否命题为真命题．∵{aeq\o\al(2,n)}是等比数列，∴可令数列{an}为1,1，－1，－1,1,1，－1，－1，……，此时aeq\o\al(2,n)＝1是等比数列，而{an}不是等比数列，故其逆命题和否命题是假命题．——实力提升类——14．下列命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③命题“梯形不是平行四边形”；④“若f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限”的逆命题．其中是真命题的是①②③.(填序号)解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题；④“若f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限”的逆命题是假命题．所以真命题是①②③.15．(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并推断其真假(不须要证明)．解：(1)证明：如图，设c∩b＝A