2024-2025学年高一年级上册期末复习：集合与常用逻辑用语 十大题型归纳（基础篇）（含答案）

2024学年高一上学期期末复习第一章十大题型归纳（基础篇）

【人教A版（2019）］

判断元素能否构成集合

1.（2023上•天津南开•高一统考期中）下列给出的对象能构成集合的有（）

①某校2023年入学的全体高一年级新生；②鱼的所有近似值；

③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式3*-10<0的所有正整数解

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2023・高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（）

（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学

生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段A8两端点距离相等的点的全体.

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.（2023•江苏•高一专题练习）考察下列每组对象能否构成一个集合.

（1）不超过20的非负数；

（2）方程/-9=0在实数范围内的解；

（3）某班的所有高个子同学；

（4）8的近似值的全体.

4.（2023•高一课时练习）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它.

（1）小于5的自然数；

（2）某班所有个子高的同学；

（3）不等式2x+l>7的整数解.

题型2卜判断元素与集合的关系

1.(2023上•湖北•高一校联考期中)下列关系中不正确的是()

1

A.0GNB.ngRC.jeQD.-3gN

2.(2023上•上海杨浦・高一校考开学考试)若用={%|%=。鱼+瓦。€2为€2},则下列结论中正确结论

的个数为()

②ZcM；

③若%1，%2WM,则％1+%2GM；

④若％i，%2eM且％2。。，则生eM；

X2

⑤存在Xe"且XeZ,满足X-2022eM

A.2B.3C.4D.5

3.(2023上•北京顺义•高一校考阶段练习)已知4={x|x=3k,keZ},B=[x\x=3k+l.keZ].

(1)判断3,5是否在集合A中，并说明理由；

(2)判断6m-2(zneZ)是否在集合2中，并说明理由；

(3)若ae4beB,判断a+6是否属于集合8,并说明理由.

4.(2023上•高一课时练习)设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件:

①1任S；②若a6S,则一一eS.

1-a

(1)求证：若aWS,贝!J1—6S；

a

(2)若2ES,则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素.

相等问题oI

1.(2023上•河北•高一校联考阶段练习)已知集合”={(1,0)},则下列与M相等的集合个数为()

①{(”)北芯2}

②{(%,y)Iy=Vx-1+Vi-x]

③卜Ix=(T；T,nGN}

®{x|—1<x<2,x6N}

A.0B.1C.2D.3

2.(2023上•上海浦东新•高一校考期末)设Q是有理数，集合X={x|x=a+b&,a,beQ,x40},在下列

集合中；

(1){y\y=2x,xEX]；(2){y\y=-^=,xEX}；(3){y\y=^,xEX}；(4){y\y=x2,xEX}；与X相同

的集合有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.(2023上•高一课时练习)判断下列集合4、B是否表示同一集合，若不是，请说明理由.

(1)4={2,4,6},B={4,2,6}；

(2)4={(2,3)},B={(3,2)}；

(3)4={x\x>3},B={t\t>3}；

(4)4={y\y=2x,xER},B={(居y)|y=2x,xeR).

4.(2023上•高一课时练习)已知集合/={a,,1},B={a2,a+b,0},若Z=求彦。21+52022的值.

题型44集合间关系的判断

1.(2023上•福建三明•高一校考阶段练习)若集合A={x\x=2fc+l,fc£Z},B={x\x=2k-l,kEZ},

C={x|x=4k-l,k6Z},则的关系是()

A.CA^BB.AQCQB

C.A=BCD.BQAQC

2.(2023•江苏•高一专题练习)已知集合4=口,a},8={1,2,3},那么()

A.若a——3,则4£BB.若4UB,则a=3

C.若a=3,则4cBD.若则a=2

3.(2022.高一课时练习)判断下列每对集合之间的关系：

(1)X={x\x=2k,keN},B={y\y=4m,m£N}；

(2)C={1,2,3,4},D={x|x是12的约数};

(3)E={x\x-3<2,x6N+},F={1,2,3,4,5}.

4.(2023•江苏•高一假期作业)指出下列各对集合之间的关系.

(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}；

(2)A={x[—l<x<4},B={x|x—5<0}；

(3)A={x|尤是等边三角形},8={x|x是等腰三角形};

(4)Af={x|x=2«-bwGN*},N={x\x=2n+\,〃dN*}；

(5)A={x|尤=2a+36,aGZ,bGZ},B—{x\x—4m—3n,mRZ,wdZ}.

一\集合的基本运算

1.(2023上•江西•高三校联考期中)集合4={neZ|看CZ},B=N,则4CB=()

A.{-1,0,2,3}B.{0,2,3}C.{1,2,3}D.{2,3}

2.(2023上•江苏南通•高三统考期中)设全集U={x\xH2k,kGZ},集合M={x\x=4k,kGZ},则QM=

A.{x\x=4fc—1,fceZ}B.{x\x=4fc—2,fcGZ}

C.{x|x=4/c—3,/cGZ}D.{x|x=4/c,fc£Z)

3.(2023上•新疆伊犁•高一校联考期中)已知集合4={x|x2—3x—4<0},B={x|a+l<;c<3a+l}.

(1)当a=2时，求4UB；

(2)若4C8=B,求a的取值范围.

4.（2023上•江苏南京・高一金陵中学校考期中）已知集合4={久|5WxW7},B={x\m+1<x<2m-1}.

（1）当爪=3时，求AUB和AnB；

（2）若4C8=0,求实数机的取值范围.

图表达集合的关系和运算。

1.（2023上•江苏苏州•高一统考期中）已知集合3=R,集合4={0,1,2,3},8={X|X>1},则图中阴影部

分所表示的集合为（）

A.{0}B.{0,1}C.{2,3}D.{0,1,2}

3.（2023上•云南昆明•高一校考阶段练习）已知全集U为实数集，集合力={幻-1<久<6},B=

{x\a+l<x<3a—1].

(1)若。=4,求图中阴影部分的集合M；

(2)若BU4,求实数a的取值范围.

4.(2023上•四川南充•高一校考阶段练习)设全集U=R,集合4={x|-2<x<6},B={x\xW—5或x23}.

(1)求图中阴影部分表示的集合；

(2)已知集合。={幻10-。〈光<2a+l},若(CuB)cC=0,求a的取值范围.

判断命题的真假O|

1.(2023上•上海•高一校考期中)已知命题：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列命

题，其中真命题的个数是()

①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；

③M中有P的元素；④M中的元素不都是P的元素.

A.1B.2C.3D.4

2.(2023上•上海闵行•高一校联考期中)下列命题中：

①关于x的方程—2x+3=。是一元二次方程；

②空集是任意非空集合的真子集；

③如果x>3,那么久>0；

④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（）

A.①②③B.②③C.②③④D.①②④

3.（2023・全国•高一课堂例题）判断下列语句哪些是命题，是真命题还是假命题.

（l）x>0；

（2）等腰三角形两底角相等；

（3）若a,b是任意实数且a?>则口>》.

4.（2023上•高一课前预习）把下列命题改写成“若p,则/的形式，并判断命题的真假.

（1）偶数不能被2整除；

（2）当|a—1|2+\b-1|2=。时，a=b=1；

（3）两个相似三角形是全等三角形.

充分条件、必要条件及充要条件的判定

1.（2023上•江苏淮安・高一统考期末）己知XCR,若集合M={l,x},1={1,2,3},则“x=2”是“MUN”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023上•河南南阳•高一校联考期中）已知a,beR,则下列选项中，使a+6<0成立的一个充分不必要

条件是（）

A.a>。且b>0B.a<0且b<0C.a>0且b<0D.a<0且b>0

3.（2023・江苏•高一专题练习）判断下列各题中p是q的什么条件.

（l）p:ab>0,q:a,b中至少有一个不为零；

(2)p:x>1,q\x>0；

(3)p:4C\B=A,q:CuB£QuA.

4.(2023・江苏•高一专题练习)指出下列各题中，p是q的什么条件:

⑴P：数a能被6整除，q:数a能被3整除；

(2)p:|x|>1,q-.x2>1；

(3)p:△ABC有两个角相等，q:△ABC是正二角形；

(4)p:\ab\=ab,q:ab>0.

全称量词命题与存在量词命题的真假

1.(2023上•辽宁鞍山•高一期中)下列命题中为真命题的是()

A.pi：3x6/?,x2+1<0

B.P2：V%ER，%4-|x|>0

C.p3:VxEZ,\x\GN

2

D.p4:3%6/?,%—7%+15=0

2.(2023・江苏•高一专题练习)下列命题中的假命题是()

A.Vx6R,4-1>0B.Xfx6R,>—%

C.3x£R,|x|<1D.3%£R,A+1=2

kl

3.(2023•江苏•高一专题练习)判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题:

(1)凸多边形的外角和等于360。；

(2)有的速度方向不定；

(3)对任意直角三角形的两锐角N4NB,都有乙力+NB=90°.

4.（2023上•江西宜春•高一校考开学考试）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真

假.

（1）至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除；

（2）Vx£R,%2—4%+6>0；

（3）3%6N*,使x为29的约数；

（4）VxeN,x2>0.

命题的否定。I

1.（2023上•四川南充•高二校考期末）命题叼曲>0,-诏+2通-1>。”的否定为（）

A.3%>0,—X2+2%—1<0B.3%<0,—%2+2%—1<0

C.Vx>0,—x2+2x—1<0D.Vx>0,—x2+2x-1>0

2.（2023上•安徽合肥•高一校联考期末）命题“VxeN,久32/，，的否定形式是（）

A.\fxEN,%3<x2B.BxEN,x3>x2

C.BxGN,x3<x2D.BxEN,x3<x2

3.（2023上•北京大兴•高一统考期末）已知命题p:VxeR,久2+2乂+1>0.

⑴写出命题〃的否定；

（2）判断命题p的真假，并说明理由，

4.（2023上•陕西西安•高二校考期末）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并

说出这些否定的真假，不必证明.

(1)末尾数是偶数的数能被4整除；

(2)对任意实数无，都有一-2%-3<0；

(3)方程/-5乂-6=。有一个根是奇数.

高一上学期期末复习第一章十大题型归纳（基础篇）

【人教A版（2019）］

判断元素能否构成集合

1.（2023上•天津南开•高一统考期中）下列给出的对象能构成集合的有（）

①某校2023年入学的全体高一年级新生；②鱼的所有近似值；

③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式3*-10<0的所有正整数解

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】根据集合的定义判断即可.

【解答过程】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确；

对于②：鱼的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②

错误；

对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误；

对于④：不等式吩-10<0的所有正整数解有1、2、3,能构成集合，故④正确；

故选：B.

2.（2023・高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（）

（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学

生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段两端点距离相等的点的全体.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解题思路】根据集合中元素的确定性判断可得答案.

【解答过程】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能

组成集合.

故选：C.

3.（2023•江苏•高一专题练习）考察下列每组对象能否构成一个集合.

（1）不超过20的非负数；

⑵方程比2—9=0在实数范围内的解；

（3）某班的所有高个子同学；

（4）次的近似值的全体.

【解题思路】根据集合的定义和特征依次判断即可.

【解答过程】（1）对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合.

（2）方程/-9=0在实数范围内的解是久=3或％=-3,所以方程能构成集合.

（3）“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合.

（4）“旧的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成

集合.

4.（2023•高一课时练习）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它.

（1）小于5的自然数；

（2）某班所有个子高的同学；

（3）不等式次+1>7的整数解.

【解题思路】（1）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合；

（2）根据集合元素的确定性进行判断即可；

（3）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合.

【解答过程】（1）小于5的自然数为0、1、2、3、4,元素确定，所以能构成集合，且集合为{0,1,2,3,4}；

（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合；

（3）由2%+1>7得x>3,因为x为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，

所以用描述法表示为{幻%>3,%GZ}.

题型2一判断元素与集合的关系。|

1.（2023上•湖北•高一校联考期中）下列关系中不正确的是（）

1

A.0GNB.TtgRC.j6QD.-3gN

【解题思路】根据常见的数集及元素与集合的关系判断即可.

【解答过程】因为N为自然数集，所以06N,-3CN,故A、D正确；

R为实数集，所以ireR,故B错误；

Q为有理数集，所以26Q,故C正确；

故选：B.

2.（2023上・上海杨浦・高一校考开学考试）若用={%|久=。或+匕,£1€2/62},则下列结论中正确结论

的个数为（）

②Z£M；

③若%1，%2EM，则久1+%2eM；

④若%L%26M且第2。0，则包EM；

X2

⑤存在XeM且％eZ,满足X-2022eM

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】利用集合的特征性质对选项进行判断.

(解答过程]若M-[x\x-ay/2+b,aeZ,beZ],

对于①，-4T==3+2V2£M,①正确；

3-2V2

对于②，当第=。/+€Z,bEZ中a=0时，xEZ,所以ZUM,②正确；

对于③，若不妨设%i=+仇冷=+d,

则％1+切=(a+c)+b+d,a+cEZ,b+dcZ,所以汽1+%2CM,③正确；

对于④，若%i，%2EM且％200，七'EM不正确，例如％1=2,第2=3，—=-gM,④不正确；

%2%23

对于⑤，存在XCM且X《Z,满足X-2O22CM,

例如久=3-2V2GM,刀-1=3+2V26M,j=匕+12&GM,

若％-71=aV2+bEM(,nEN*),贝卜-何+1)=(aV2+b)(3+2&)=(3a+2b)/+3b+4aEM,

故X-2022eM,⑤正确.

①②③⑤正确.

故选：C.

3.(2023上•北京顺义•高一校考阶段练习)已知4={%|x=3k,keZ},B={x\x=3k+l,keZ).

(1)判断3,5是否在集合A中，并说明理由；

(2)判断6zn-2QneZ)是否在集合8中，并说明理由；

(3)若ae4bGB,判断a+6是否属于集合8,并说明理由.

【解题思路】(1)根据集合A中元素的特征判断求解；

(2)根据集合8中元素的特征判断求解；

(3)设a=3p,peZ,b=3q+l,qEZ,进而根据集合B中元素的特征判断求解.

【解答过程】(1)：3=3xl,；.3在集合A中，

令3k=5,则k=|《Z,故5不在集合A中.

(2)6m-2=3(2m-1)+1,且2nl-1GZ,故6爪-2(meZ)在集合B中.

(3)设a=3p,peZ,b—3q+1,qGZ,

则a+b=3(p+q)+l,p+qEZ,

所以a+b属于集合8.

4.(2023上•高一课时练习)设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件:

①1£S；②若aES,则ES.

l-a

(1)求证：若aES,贝—6S；

CL

(2)若26S,则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素.

【解题思路】(1)根据集合S中元素的性质，循环迭代即可得出证明；

(2)由2eS可得一les,由一les可得ges,由|es可得2es,由此可知会循环出现2,-1祗三个数，所

以集合S中必含有-两个元素.

【解答过程】(1)证明：因为1《S,所以1—a力。，由aeS,则^—eS,

l-a

可得3es,即-i-=二=1一三es,

1---1-------aa

l-al-a

故若aES,贝！J1—工€S.

a

(2)由2€S,得—=-1€S；

1—2

由—1es,得；=jEs；

而当工es时，--y=26s,...j

21——

2

因此当2GS时，集合S中必含有-1J两个元素.

集合相等问题。I

1.(2023上•河北•高一校联考阶段练习)已知集合”={(1,0)},则下列与M相等的集合个数为()

①{(“)1储箕力

②{(%,y)Iy=V%-1+Vi-%}

③{%|X=T,九GN}

@{x|—1<x<2,%6N)

A.0B.1C.2D.3

【解题思路】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究〃为奇数、〃为偶数可计算③，由

N定义可得④，依次判断即可求得结果.

【解答过程】对于①，|(x,y)।；二：［={(1，。)}=M；

对于②，{(x,y)Iy=V%-1+71-x}中{;_；］解得％=1>故{(x,y)Iy=Vx-1+V1-x}=

{(1,0))=M；

对于③，当“为奇数时，”=—1；当〃为偶数时，％=0,

所以{xI%=eN}={-1,0}丰M；

对于④，{%I—1<x<2中eN}={0,1}丰M.

所以与M相等的集合个数有2个.

故选：C.

2.(2023上•上海浦东新•高一校考期末)设Q是有理数，集合X={久氏=a+b&,a,6eQ,K力0},在下列

集合中；

(1){y\y=2x,xeX}；(2){y\y=eX}；(3){y\y=1,xeX］；(4){y\y=x2,xGX}；与X相同

的集合有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解题思路】将x=a+6企分别代入(1)、(2)、(3)中，化简并判断p,q与a,b是否一一对应，再举反

例判断⑷.

【解答过程】对于(1),由2(a+b&)=p+勺鱼，得p=2a,q=2b,一—对应，贝l|{y|y=2x,xeX}=X

对于⑵,由'萨=b+(e=p+qdL得p=d,q=$---对应，贝U{y|y=/,xeX}=X

对于(3)，由高=—+(一占)•&=P+q/，得「==急7,一一对应，则{y|y=e

X}=X

对于(4),-1-V2eX,但方程-1一&=%2无解，贝lj{y|y=/,%€X}与X不相同

故选：B.

3.(2023上•高一课时练习)判断下列集合/、8是否表示同一集合，若不是，请说明理由.

(1M=亿4,6},B={4,2,6}；

(2)4={(2,3)},B={(3,2)}；

(3)4={x\x>3},B={t\t>3}；

(4)2={y\y=2x,xER},B={(%,y)|y=2x,xER).

【解题思路】根据集合相等的概念，逐项判断即可.

【解答过程】(1)4={2,4,6},8={4,2,6}元素一样，是同一集合；

(2)(2,3),(3,2)表示不同的点，故4={(2,3)},B={(3,2)}集合不同

(3)A=(x\x>3},B={t|t>3}表示的范围相同,是同一集合

(4)不是同一集合，力是数集，B是点集.

4.(2023上•高一课时练习)已知集合4=卜,\1},B={a2,a+b,0},若4=B,求。2。21+炉。22的值.

【解题思路】结合4=B,寻找元素的对应关系，a=0显然不成立，故只能b=0,化简集合4B,解得参

数a即可求解。2。21+炉。22的值.

【解答过程】因为4=B,集合B中有一元素为0,a=0显然不成立，故只能b=0,此时4={a,0,1},B=

{a2,a,0},故满足卜解得a=—l,

(.a丰a

经检验力=B=[-1,0,1),

故a?。？】+b2022=(—1)2021+02022=—1

题型4-集合间关系的判断

1.(2023上•福建三明•高一校考阶段练习)若集合4={x|x=2k+l,keZ},B={x\x=2k-l,ke7.},

C={%|x=4fc-l,/c£Z},则4B,C的关系是()

A.CA=BB.AQCQB

C.A^BCD.BQAQC

【解题思路】根据集合的表示含义即可得到答案.

【解答过程】已知力=[x]x=2(fc+1)-l,fceZ},B={x\x=2fc-1,/ceZ},C={x\x=2-2fc-1,fc6Z},

显然k,k+l可表示整数，而2k只能表示偶数；所以C4=8.

故选：A.

2.(2023•江苏•高一专题练习)已知集合2={1,a},B={1,2,3},那么()

A.若a——3,则4£BB.若力£B,贝！|a=3

C.若a=3,则4CBD.若则a=2

【解题思路】求出集合A判断AC；利用集合包含关系求出a判断BD.

【解答过程】当a=3时，A={1,3},显然2UB,A正确，C错误；

由AUB,得aeB,而aHl,因此a=2或a=3,BD错误.

故选：A.

3.(2022•高一课时练习)判断下列每对集合之间的关系：

(1)X={x\x=2k,keN},B={y\y=4m,m£N}；

(2)C={1,2,3,4},D={久|久是12的约数};

(3)E={x\x-3<2,xGN+},F={1,2,3,4,5}.

【解题思路】(1)分析42集合中元素的关系，即得解；

(2)列举法表示集合。，即得解；

(3)列举法表示集合E,即得解

【解答过程】(1)由题意，任取y=有y=2x(2m),2meN,故ye4,

且6e46SB,故BuA；

(2)由于。={x|x是十的约数}=[1,2,3,4,6,12},

故CuD；

(3)由于E={x\x—3<2,xeN+}={x\x<5,%£N+}—{1,2,3,4},

故EuF.

*

4.(2023•江苏•高一假期作业)指出下列各对集合之间的关系.

(1)A=[-1,1),2={(T,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1))；

(2)A={x|-l<x<4},8={用尤一5<0}；

(3)A=3尤是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};

(4)M={x|x=2w—1,wGN*},N={x\x=2n+1,〃GN*}；

(5)A={x|尤=2a+36,aGZ,beZ},B={x\x=4m—3n,mGZ,〃GZ}.

【解题思路】(1)由集合A和集合B的代表元素判断；

(2)利用数轴求解判断；

(3)由等边三角形和等腰三角形的关系判断；

(4)由“GN*判断；

(5)由任意GdZ是否符合集合元素的公共属性判断.

【解答过程】(1)集合A的代表元素是数，集合2的代表元素是有序实数对，故A与3之间无包含关系.

(2)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,8如图所示，由图可知A0A

B

..A.

-2-1012345%

(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故

(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于“GN*,因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”,

故

(5)A=[x\x=2a+3b,«ez,b^Z],因为任意％GZ,k=2x(-k)+3k^A,所以A={x|x=2a+36,«ez,

Z?EZ}=Z,

因为任意左ez,k=4k—3kEB,所以B={x|x=4〃z—3%sGZ,wGZ}=Z,所以A=8=Z.

集合的基本运算R|

1.(2023上•江西•高三校联考期中)集合a={nezi看ez},B=N,则ACB=()

A.{-1,0,2,3}B.{0,2,3}C.{1,2,3}D.{2,3}

【解题思路】写出集合a中的元素，然后由交集定义计算.

【解答过程】由题意知，n-1=-2,-1,1,2,所以n=-1,023,

故4={-1,0,2,3},所以an8={0,2,3}.

故选：B.

2.(2023上•江苏南通・高三统考期中)设全集U={x\x=2k,kEZ},集合M={x\x=4k,kEZ},则QM=

()

A.{x\x=4/c—1,fc£Z}B.{x\x=4fc—2,fceZ}

C.{x\x=4/c—3,fc6Z}D.{x\x—4k,fcGZ}

【解题思路】根据补集的定义和运算即可求解.

【解答过程】由题意知，M=(x\x=4k,keZ)=(x\x=2(2k),keZ},

又U={x\x=2k,keZ},

所以QM={x\x=2(2/c-l),fcGZ}={x\x=4fc-2,fc6Z}.

故选：B.

3.(2023上•新疆伊犁•高一校联考期中)已知集合4={组/一3%—4<0},B={x|a+l<K<3a+l}.

(1)当a=2时，求4UB；

(2)若4CB=B,求a的取值范围.

【解题思路】(l)a=2时，直接求2UB即可；

(2)由力CB=B得BQA,分8=。与B中0两类讨论求解即可.

【解答过程】(1)由题意可得4={幻一1<x<4}.

当a=2时B={x|3<x<7],

则4UB={x|—1<x<7}.

(2)因为2nB=B,所以BU4

则当B=0时，a+123a+l,解得aWO；

a>0

当BK0时，若BU4需]a+12-l,

,3a+1<4

解得。<a<1.

综上，a的取值范围是(一8,1].

4.(2023上•江苏南京•高一金陵中学校考期中)已知集合4={久|5W久W7},B=[x\m+1<x<2m-1}.

(1)当加=3时，求AUB和4ClB；

(2)若4CB=0,求实数机的取值范围.

【解题思路】(1)代入m=3,得出B,然后即可根据交集以及并集的运算，计算得出答案；

(2)分B=0以及BK0两种情况讨论求解，即可得出答案.

【解答过程】(1)当m=3时，B-{x|4<x<5}.

所以，A\JB—{x|5<x<7}U{x|4<x<5}={x|4<x<7},

AC\B={x|5<%<7}Cl{x|4<%<5}={5}.

(2)当B=0时，有m+l>2ni—1,则<2；

当B牛。时，

-T-ZBr2m-1>m+1HBJ2nl-1>m+1

可侍t2m-1<5，或tm+1>7'

解得2<m<3或m>6.

综上可得，实数机的取值范围是(-8,3)U(6,+8).

图表达集合的关系和运算。|

1.(2023上•江苏苏州•高一统考期中)已知集合(/=凡集合4={0,1,2,3},8={幻尤>1},则图中阴影部

分所表示的集合为()

A.{0}B.{0,1}C.{2,3}D.{0,1,2}

【解题思路】根据集合的定义及集合间的关系求解即可.

【解答过程】阴影部分表示在全集范围内属于集合力不属于B的集合，故图中阴影部分所表示的集合为{0,1}.

故选：B.

2.(2023上•湖南衡阳•高一校考期中)如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是()

A.XUBB.(CRX)UBC.(CRX)UBD.CR(4UB)

【解题思路】由图发现阴影部分在集合48的外部，在R的内部，用集合语言表达即可得到正确选项.

【解答过程】由韦恩图可得，图中阴影部分所表示的集合是CR(AUB).

故选:D.

3.(2023上•云南昆明•高一校考阶段练习)己知全集U为实数集，集合4={x[—l<x<6},B=

(1)若。=4,求图中阴影部分的集合M；

(2)若BU4求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)由图可知阴影部分表示的是Bn(CuA),从而可求得结果,

(2)分B=。和B力0两种情况求解即可

【解答过程】(1)当a=4时，B={5<x<11},

因为全集U为实数集，集合4={幻—1<%<6},

所以QA=(x\x<-1或无>6},

由图可知阴影部分表示的是Bn(CiM)，

所以M=BC(CM)={x|6<x<11},

(2)当B=0时，BU4成立，此时a+l>3a-L解得a<1,

当B牛。时，因为BU4

a+1W3a—1

所以,a+l>—l,解得lWa<(,

3a—1<6

综上，a<1,即实数a的取值范围为(—8,J.

4.(2023上•四川南充•高一校考阶段练习)设全集U=R,集合4={幻―2<x<6},B={x\xW—5或x23}.

(1)求图中阴影部分表示的集合；

(2)已知集合。={久|10-£1<%<2£1+1},若(CuB)CC=0,求a的取值范围.

【解题思路】由韦恩图图及含参数的集合交并补的混合运算即可求解.

【解答过程】(1)因为4={划一2WxW6},3={用工4-5或刀23},

所以4CB={x|3<x<6},

则图中阴影部分表示QQ4nB)={x|-2<x<3].

(2)因为C={x|10-a<x<2a+l],B={x\xW-5或x23},且(QB)CC=0,

所以QB={x[—5<x<3},C£

所以当C=0时，10-a>2a+1,解得aS3,符合题意；

当C丰0时，{10~2七1或者，

此时不等式组；]二1无解，

不等式组1的解集为3<aW7,

综上，a的取值范围为{a|aW7}.

判断命题的真假。|

1.(2023上•上海•高一校考期中)已知命题：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列命

题，其中真命题的个数是()

①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；

③M中有P的元素；④M中的元素不都是P的元素.

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】由题意可得集合M不是P的子集.由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可.

【解答过程】根据命题"非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，可得M不是P的子集

对于①，集合M虽然不是所有元素都在P中，但有可能有属于P的元素，因此①是假命题；

对于②，因为M不是P的子集，所以必定有不属于P的元素，故②是真命题；同理不能确定M有没有P的元素,

故③是假命题；

对于④，由子集的定义可得，既然M不是P的子集，那么必定有一些不属于P的元素，因此M的元素不都是P

的元素，可得④是真命题.

故选：B.

2.（2023上•上海闵行•高一校联考期中）下列命题中：

①关于x的方程7n--2%+3=。是一元二次方程；

②空集是任意非空集合的真子集；

③如果x>3,那么x>0；

④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（）

A.①②③B.②③C.②③④D.①②④

【解题思路】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可.

【解答过程】①：当爪=0时，方程变为-2x+3=0,显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命

题；

②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题；

③：由％>3显然能推出x20,所以本序号命题是真命题；

@：因为2+百与2-百的和是有理数4,但是2+旧和2-8都不是有理数，所以本序号命题不是真命题,

故选:B.

3.（2023・全国•高一课堂例题）判断下列语句哪些是命题，是真命题还是假命题.

（l）x>0；

（2）等腰三角形两底角相等；

（3）若a,b是任意实数且a?>炉,则a>b.

【解题思路】（1）根据命题的定义进行判断即可；

（2）根据命题的定义，结合等腰三角形的性质进行判断即可；

（3）根据命题的定义，结合不等式的性质进行判断即可.

【解答过程】（1）因为久>0不能判断真假，所以不是命题；

（2）因为等腰三角形两底角相等，

所以本语句是命题，而且是真命题；

（3）当a=—2,6=0时，显然a?＞匕2成立，但是a＞b不成立，

因为本语句能判断真假，

所以本语句是命题，而且是假命题.

4.（2023上•高一课前预习）把下列命题改写成“若0,则q”的形式，并判断命题的真假.

（1）偶数不能被2整除；

（2）当|a—=0时，a=b=1；

（3）两个相似三角形是全等三角形.

【解题思路】根据命题的定义，逐一进行判断即可.

【解答过程】（1）若一个数是偶数，则它不能被2整除，

根据偶数的定义可知，偶数能被2整除，为假命题；

（2）若|a-1|2+\b-1|2=0,贝=b=1,

要想满足（a-I）2+（6-1尸=0,贝IJ卷［：］，解得a=b=l,是真命题；

（3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，

两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题.

充分条件、必要条件及充要条件的判定。|

1.（2023上•江苏淮安•高一统考期末）己知xeR,若集合M={l,x},N={1,2,3］,则“x=2”是“MUN”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.

【解答过程】若x=2,则”={1,2},所以MUN,故充分性满足；

若MUN,贝卜=2或3,显然必要性不满足；

所以“％=2”是“McN”的充分不必要条件.

故选：A.

2.（2023上•河南南阳•高一校联考期中）已知a/CR,则下列选项中，使a+力＜0成立的一个充分不必要

条件是（）

A.a>0且b>0B.a<0且b<0C.a>0且b<0D.a<0且b>0

【解题思路】利用充分条件与必要条件的定义，结合特例法与不等式的性质求解即可

【解答过程】因为a>0且6>0不能推出a+b<0,所以a>0且b>0不是a+b<0的充分条件，A错；

因为a>0且b<0不能推出a+b<0,所以a>0且b<0不是a+b<0的充分条件，C错；

因为a<0且b>。不能推出a+b<0,所以a<0且b>0不是a+b<0的充分条件，D错；

对于B,由a<0且6<。可得a+b<0,充分性成立，若a+b<0不能推出a<0且b<0,例如a=—2,b=1

时，满足a+b<0,而a<0且b>0,必要性不成立，所以a<0且b<0是a+b<。成立的一个充分不必要

条件，B符合题意.

故选：B.

3.(2023•江苏•高一专题练习)判断下列各题中p是q的什么条件.

(l)p:ab>0,q:a,b中至少有一个不为零；

(2)p:x>1,q:x>0；

(3)p:AC\B=A,q:QUBQQUA.

【解题思路】(1)(2)根据充分、必要条件分析判断；

(3)根据集合的包含关系和运算结合充要条件分析判断.

【解答过程】(1)若ab〉0可得a,b中至少有一个不为零，即充分性成立，

但a,b中至少有一个不为零不能得出ab>0,例如a=l,b=—l,即必要性不成立，

所以p是q的充分不必要条件.

(2)若%>1可得x>0,即充分性成立，

但％N0不能得出x>l,例如x=0,即必要性不成立，

所以p是q的充分不必要条件.

(3)由题意可知：AnB=4等价于4=8,CuB=的4等价于4=8,

所以ACB=4等价于CuBcQUA,

所以p是q的充要条件.

4.(2023•江苏•高一专题练习)指出下列各题中，p是q的什么条件：

⑴P：数a能被6整除，q:数cz能被3整除；

(2)p:|x|>1,q-.x2>1；

(3)p:△ABC有两个角相等，q-△ABC是正三角形；

(4)p:\ab\=ab,q:ab>0.

【解题思路】分别判断p能否推出q,q能否推出p即可.

【解答过程】（1）因为能被6整除的数一定能被3整除，但能被3整除的数不一定能被6整除,

所以p=>q,但qmp,

所以p是q的充分不必要条件.

（2）由p:|%|>1得，x<—1或%>1,

由q:/>1得，x<—1或%>1,

所以p=q,q=p,

所以p是q的充要条件.

（3）因为有两个角相等不一定是正三角形，