2024-2025学年沪科版九年级数学上册期末冲刺复习：抛物线的平移、对称变换（原卷版）

专题01抛物线的平移、对称变换

目录

解题知识必备.....................................................................1

压轴题型讲练....................................................................4

类型一、抛物线上下平移..........................................................4

类型二、抛物线左右平移..........................................................5

类型三、抛物线沿倾斜方向平移...................................................6

类型四、沿x轴翻折..............................................................7

类型五、沿y轴翻折..............................................................8

类型六、旋转....................................................................9

压轴题能力测评.................................................................10

“解题知识必备X

1.y=a/的图像和性质

。的符号开口方向顶点坐标对称轴，蜩

久>0时，y随%的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减

a>0向上（°，°）y轴

小；久=。时，y有最小值0.

久>0时，y随%的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增

a<0向下（°，°）y轴

大；X=。时，y有最大值。.

2.y=ax2+c的图像和性质

a的符号开口方向顶点坐标对称轴

%>0时，y随%的增大而增大；%<0时，y随工的增大而减

a>0向上（°，c）y轴

小；%=。时,y有最小值c.

%>0时，y随%的增大而减小；％<0时，y随%的增大而增

a<0向下（°，c）y轴

大；％=0时，y有最大值c.

3y=a(x—/i)2的图像和性质

开口方

a的符号顶点坐标对称轴性质

向

%＞力时,y随%的增大而增大；》＜力时，y随%的增大而减小；

a>0向上G，°)X=h

%=N时，y有最小值。.

%＞力时,y随%的增大而减小；》＜力时，y随%的增大而增大；

a<0向下R，°)X=h

%=1时，y有最大值。.

开口方

a的符号顶点坐标对称轴性质

向

%〉力时，y随%的增大而增大;%＜力时，y随%的增大而减小；

a>0向上(力，°)X=h

x=为时，y有最小值0.

%/时，y随%的增大而减小；％V%时，y随%的增大而增大；

a<0向下a，°)X=h

%=为时，y有最大值0.

4y=。(霓一①2+々的图像和性质

开口方对称

a的符号顶点坐标性质

向轴

%>/时，y随%的增大而增大；》<力时，y随X的增大而

a>0向上,k)X=h

减小；x=/时，y有最小值々.

X>力时,y随X的增大而减小；X<力时,y随X的增大而

a<0向下(//fc)X=h

增大；比=N时，y有最大值k.

5二次函数丫=ax2+bx+c的图像和性质

2

用配方法可化成：y=a(%-%)+k的形式，其中』,k=爷土.

\/2a4a

二次函数卜=研+6*+《(awO):

2

顶点坐标是(-2，4a7b),

2a4a

对称轴直线x=-2，

2a

二次函数〃=am+bx+c(a/0)的图象具有如下性质：

①当a>0时，抛物线y=a/+6x+c(a/0)的开口向上,

x<-"时，_/随x的增大而减小；

x>-标时，随X的增大而增大；

2

x=-_L时，JZ取得最小值4ac-b,即顶点是抛物线的最低点.

2a4a

②当a<0时，抛物线片a层+6x+c(a/0)的开口向下，

x<-或-时，p随x的增大而增大；

X>-与时，•7随X的增大而减小；

2

%=-2时，J取得最大值“a”b,即顶点是抛物线的最高点.

2a4a

③抛物线y=a/+bx+c(a/0)的图象可由抛物线y=a*的图象向右或向左平移|一旦|个单位，再向上或

向下平移1*1个单位得到的.

X压轴题型讲练♦♦

类型一、抛物线上下平移

（0,4）,（5,4）.

（1）抛物线的对称轴为直线》=；

（2）当。=1时，将抛物线向上平移左化＞0）个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是.

【变式训练11对某一个函数给出如下定义：若存在实数相＞0,对于任意的函数值都满足f/VyVm,

则称这个函数是专务明藜，在所有满足条件的机中，其最小值称为这个函数的边界值.例如，如图中的函

数是有界函数，其边界值是L将函数y=-x2+l（-2＜x〈rjZ0）的图象向上平移/个单位，得到的函数的边

95

界值〃满足是时，则，的取值范围是____.

42

【变式训练2］.如图，抛物线〉=尤2-1与y轴交于点P,与X轴正半轴交于点A,将抛物线向上平移2个

单位长度,点P的对应点为P,点A的对应点为A，则抛物线上段扫过的区域（阴影部分）的面积为—

【变式训练3】.设抛物线>=/+（。+1）》+。，其中“为实数.

（1）不论。为何值，该抛物线必经过一定点—；

（2）将抛物线>=/+（。+1）龙+。向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是

类型二、抛物线左右平移

向上（无>0）［或向下GKO）］平移个单位

向右（〃>0）或向右（〃>0）或

向左（〃<0）平向左（尿0）平

移防I个单位移％I个单位

W上（4>0）［或向下（M0）］平移出个单位

y=a(x-h)y=a(x-h)2+k

例.如图，抛物线>=-/+12%-35与x轴交于42两点，把抛物线在无轴及其上方的部分记作C］,将G

向左平移得到Q,G与x轴交于2,D两点，若直线>=-彳+7%与G，。2共有3个不同的交点，则相的取

【变式训练2】.若把抛物线y=a(尤-4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y=-3(尤-切2,且知抛物线

y=a(x-4)2的顶点为A,且与丫轴交于点B,抛物线y=-3(x-〃)2的顶点为“，则<“<«=.

【变式训练3】.已知二次函数、=加+区+c("0)的图象与％轴的交点为(-3,0),(6,0),点M在函数y=3x

的图象上.若点M向左平移机⑺>。)个单位得加1，点/向右平移(切+6)(m>0)个单位得/2,当点加”〃2

都落在二次函数的图象上时，则点M的坐标为.

类型三、抛物线沿倾斜方向平移

向上(％>0)［或向下(％<0)］平移个单位

y=ax~^-k

向右(人>0)或向右(a>0)或

向左(M0)平向左("0)平

移|〃|个单位移I力I个单位

位

向1:(在>0)［或向下(M0)］平移1后/单位

y=a(x-h)2y=a(x-A)2+k

例.将二次函数y=/+2x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的二次函数的

图象的顶点坐标是.

【变式训练1】.把抛物线y=/+6x+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析

式为，=*2-2了+3,贝!]Z?+c=

【变式训练2】.将二次函数y=-Cr-左)2+4+1的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点

恰好在直线y=2x+l上，则左的值为.

【变式训练3】.已知将二次函数y=/+法+。的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象

的解析式为y=*-4x-5,则力=,C=.

类型四、沿x轴翻折

二次函数的翻转问题的解题思路：

①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；

②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；

③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可

能性;

④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。

例.函数y=|以2+bx+c|(a>0,6?-4ac>0)的图象是由函数y=at?+bx+c(a>0,b2-4ac>0)的图象X轴上

方部分不变，尤轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是

①2a+A=0；②c=3；③必c>0；④3a+c=0；⑤将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交

点.

【变式训练将抛物线y=2(尤+2)2-5向左平移3个单位长度后，再沿x轴翻折，则变换后所得抛物

线的顶点坐标为.

【变式训练2].如图，将二次函数广-(x-2)2+4(A-<4)的图象沿直线x=4翻折，翻折前后的图象组成一个

新图象若直线y=6和图象M有四个交点，结合图象可知，b的取值范围是.

【变式训练3】.已知抛物线C°:y=--+2x+l.

(1)将C。向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数G的解析式为

(2)将C。沿x轴翻折得到函数G的解析式为.

(3)将C。沿>轴翻折得到函数C3的解析式为.

类型五、沿y轴翻折

二次函数的翻转问题的解题思路：

①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；

②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；

③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可

能性；

④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。

例.将抛物线y=x2-6X+7沿y轴翻折，所得抛物线的函数表达式是(~)-

A.y=-x2+6x-l1B.y=x2+6x+7

C.y=-x2+6x+7D.y=x2-6x+ll

【变式训练11关于下列二次函数图象之间的变换，叙述错误的是()

A.将v=-2x2+1的图象向下平移3个单位得到y=-2x2-2的图象

B.将y=-2(x-1)2的图象向左平移3个单位得到y=-2(x+2)2的图象

C.将y=-2x2的图象沿x轴翻折得到y=2x2的图象

D.将y=-2(x-1)2+1的图象沿y轴翻折得到y=-2(x+1)2-1的图象

【变式训练2】.已知抛物线的解析式为y=6Z?+法则下列说法中错误的是()

A.若将该抛物线沿，轴平移，则々人的值不变B.若将该抛物线沿x轴平移，贝U。的值不变

C.若将该抛物线沿，轴翻折，则。的值不变D.若将该抛物线沿x轴翻折，则。的值不变

【变式训练3】.已知抛物线的解析式为旷=办2+云+跳。*0）,则下列说法中正确的是（）

A.将图象沿y轴平移，则a,b的值不变B.将图象沿x轴平移，则。的值不变

C.将图象沿y轴翻折，则a,c的值不变D.将图象沿x轴翻折，则6的值不变

类型六、旋转

变换前变换方式变换后口诀

绕顶点旋转180°y=-a(x-h)2+ka变号，h、k均不变

y=a(x-h)2+k

绕原点旋转180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均变号

例.将抛物线y=Y-2尤+3绕顶点旋转180。后的图象的解析式为.

【变式训练抛物线产2尤2-4厂5的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点

旋转180。，得到的新图象的解析式为.

【变式训练2].如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线＞=\（犬-4）一+2可以看作是抛物线y尤2+2经

过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y=3/+2得到抛物线

10

7=-—(^-4)+2的过程:

【变式训练3].如图，一段抛物线：y=-x(x—3)(0<x<3),记为Ci,它与x轴交于点O,A/；将Ci绕点

A旋转180。得C2,交x轴于点4;将C2绕点4旋转180。得C3,交无轴于点A3；……如此进行下去,直至

得C2019.若尸(m,2)在第2019段抛物线C2019上，则"”.

”压轴能力测评“

1.将抛物线y=Y向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为()

A.y=(x+2)2+3B.y=(x+2)~-3

C.y=(x-2)2+3D.y=(x-2)2-3

2.将抛物线y=2(x+l)2-3向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的抛物线解析式为()

A.y=2(x+4)2-4B.y=2(x+4)2-2

C.y=2(x-l)2-2D.y=2(x-l)2-4

3.函数y=+>0,62-4ac>。)的图象是由函数y=G?+bx+c(^a>O,t>2-4ac>0)的图象x轴上

方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是()

①2a+8=0；②c=3；③Hc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点

A.①②B.①③C.①③④D.②③

2

4.函数y=+6x+c|(。>0,62-4tzc>。)的图象是由函数y=依?+hx+c^a>Q^-4«c>0)的图象x轴上

方部分不变，下方部分沿X轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是()

①2a+6=0；②c=3；③a6c>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点.

A.①②B.①③C.②③④D.①③④

5.将函数>=2/的图像先绕原点旋转180。，再向上平移2个单位，向右平移2个单位，则所得函数表达

式是()

A.y=-2(x+2)2+2B.y=-2(x+2)2+2C.y=-2(x-2)2+2

D.y——2(%+2)2—2

6.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先绕它的顶点旋转180。，再向上平移3个单位长度，得到抛物线

y=炉+5冗+6,则原抛物线的解析式是()

,5、213/5、211

A.y——(%—)-----B.y——(x—)-----

2424

/5”13/5.11

C.y=一(1+—)-----