2024-2025学年高中数学同步备课试题 选择性必修二（人教A版2019）第四章测评 含解析

第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若x+1与y-1的等差中项为5,则x+y等于()A.5 B.10C.20 D.不确定解析:∵x+1与y-1的等差中项为5,∴x+1+y-1=2×5,则x+y=10.答案:B2.若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N*),则a4等于()A.11 B.15C.17 D.20解析:a4=S4-S3=20-9=11.答案:A3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a8=15-a5,则S9等于()A.18 B.36C.45 D.60解析:∵a2+a8=15-a5,∴a5=5,∴S9=92×2a5=45答案:C4.在等差数列{an}中,Sn为它的前n项和,若a1>0,S20>0,S21<0,则当n=()时,Sn最大.A.8 B.9C.10 D.11解析:等差数列{an}中,前n项和为Sn,且S20>0,S21<0,即a10+a11>0,并且a11<0,故a10>0,数列{an}的前10项和最大.答案:C5.用数学归纳法证明1n+1+1n+2+…+12n>1324(n≥2,n∈N*)的过程中,设f(k)=1k+1+1k+2+…+12k(A.f(k)+1B.f(k)+1C.f(k)+12k+1+D.f(k)+1解析:当n=k(k≥2,k∈N*)时,左边=1k+1+1k当n=k+1时,左边=1k+2+1k+3+…+故由n=k到n=k+1时不等式左边的变化是增加了12k+1+…答案:C6.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,且2a3+2a7=1,则A.3 B.4 C.5 D.6解析:根据题意,数列{an}是各项均为正数的等比数列,设其公比为q,则q>0,则2a当且仅当q=1时,等号成立,又由2a3+2a7=1,则有1≥4分析选项可知A不符合.故选A.答案:A7.已知等差数列{an}的首项为1,公差d≠0,若a2,a3,a6成等比数列,则数列{an}的前10项和为()A.-80 B.80C.-24 D.24解析:∵等差数列{an}的首项为1,公差不为0,a2,a3,a6成等比数列,∴a32=a2a∴(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,∴数列{an}的前10项的和S10=10×1+10×92×(-2)=-80.答案:A8.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a685=a684+2a683,若存在两项am,an,使得aman=2a1,则1mA.9 B.73C.94 D.解析:设等比数列{an}的公比为q.因为a685=a684+2a683,所以a1q684=a1q683+2a1q682,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1.因为数列{an}的各项均为正数,所以q=2,所以an=a1·2n-1.因为aman=a1qm-1·a所以1m+4n当且仅当n=2m=83时等号成立,故等号不成立当m=1,n=3时,1m当m=n=2时,1m当m=3,n=1时,1m+4n答案:B二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知数列{an}的前n项、前2n项、前3n项的和分别为a,b,c,则下列说法正确的是()A.若{an}是等差数列,则3b-3a=cB.若{an}是等差数列,则a,b-a,c-b也为等差数列C.若{an}是等比数列,且公比q≠-1,则a2+b2=ab+bcD.若{an}是等比数列,且公比q≠-1,则a,b-a,c-b也为等比数列解析:根据题意,数列{an}的前n项、前2n项、前3n项的和分别为a,b,c,由等差数列的前n项和的性质,可得a,b-a,c-b也成等差数列,则有2(b-a)=a+c-b,即3b-3a=c,故A,B正确;当公比q≠-1时,由等比数列的前n项和的性质,可得a,b-a,c-b也成等比数列,则(b-a)2=a(c-b),即a2+b2=ab+ac,故C错误,D正确.故选ABD.答案:ABD10.在数列{an}中,若an+2-an+1an+1-an=k(k为常数),则称{an}为A.k不可能为0B.等差数列一定是“等差比数列”C.等比数列一定是“等差比数列”D.“等差比数列”中可以有无数项为0解析:对于A,k不可能为0,正确;对于B,an=1时,{an}为等差数列,但不是“等差比数列”,错误;对于C,an=2时,{an}为等比数列,但不是“等差比数列”,错误;对于D,数列0,1,0,1,0,1,…,0,1是“等差比数列”,且有无数项为0,正确.故选AD.答案:AD11.已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和,且S8>S9>S7,有下列说法,其中正确的是()A.公差d<0B.在所有Sn<0中,S17最大C.a8>a9D.满足Sn>0的n的个数为15解析:∵S8>S9,且S9=S8+a9,∴S8>S8+a9,即a9<0.又S8>S7,S8=S7+a8,∴S7+a8>S7,即a8>0,∴d=a9-a8<0,故选项A,C正确.∵S9>S7,S9=S7+a8+a9,∴S7+a8+a9>S7,即a8+a9>0.∵a1+a15=2a8,∴S15=15(a1+a15)又a1+a16=a8+a9,∴S16=16(a1+a16)2=8(又a1+a17=2a9,∴S17=17(a1+a17)故选项B正确,选项D错误.答案:ABC三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案写在题中的横线上)12.已知中位数为1013的一组数构成等差数列,其最后一项为2025,则该数列的首项为.

解析:设该组数构成的等差数列的首项为a1.由题意知,1013为数列首项a1与2025的等差中项,故a1+20252=1013,解得答案:113.已知等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,若a2a4=1,S3=7,则S5=.

解析:设等比数列{an}的公比为q(q>0),∵a2a4=1,S3=7,∴a12q4=1,即a1q2=1,a1(1+q+q2)=7,解得a1=4,q=则S5=4×答案:3114.如图所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N)个点,每个图形总的点数记为an,则a6=;9a2a3+9a3a4+9a4a5+解析:每条边有n(n>1,n∈N)个点,把每条边的点数相加得3n,这样角上的点数被重复计算了一次,故an=3n-3,a6=15;9a2a3+9a3a4+9a4a5+答案:151四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知等差数列{an}满足a1=1,a5=a2+6.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若{an}的前n项和为Sn,求数列Snn与数列{an}的前100解:(1)设等差数列{an}的公差为d,∵a1=1,a5=a2+6,∴a1+4d=a1+d+6,解得d=2.∴an=1+2(n-1)=2n-1.(2)∵Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n(2n-1+1)2数列Snn与数列{an}的前100项中的所有相同的项为1,3,5,7,故所要求的和T=1+3+…+99=50×(99+1)216.(15分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=16,2a3+3a2=32.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=3log2an,求数列{bn}的前n项和Sn,并求Sn的最大值.解:(1)设{an}的公比为q,因为a1=16,2a3+3a2=32,所以2q2+3q-2=0.解得q=-2(舍去)或q=12因此{an}的通项公式为an=16×12n-1=(2)由(1)得bn=3(5-n)log22=15-3n.当n≥2时,bn-bn-1=-3,故{bn}是首项b1=12,公差为-3的单调递减的等差数列.则Sn=12n+12n(n-1)(-3)=-32(n2-9n因为b5=0,所以数列{bn}的前4项为正数,所以当n=4或5时,Sn取得最大值,且最大值为S4=S5=30.17.(15分)已知等比数列{an}满足an+1=λSn+1,其中λ≠-1,Sn为数列{an}的前n项和,n∈N*.(1)求a1;(2)设λ=4,∀n∈N*,1a1+1a2+…+1a解:(1)由an+1=λSn+1知an=λSn-1+1(n≥2),两式相减,得an+1=(λ+1)an,于是公比q=λ+1,故a2=λa1+1=(λ+1)a1,解得a1=1.(2)由(1)可得q=5,an+1=5an,所以an=5n-1.所以1an=15n-1,所以1a1+1a因为∀n∈N*,1a1+1a2+所以m的最小值为5418.(17分)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=12(1)当n∈N*时,求f(n)的表达式;(2)设an=n·f(n),n∈N*,求证:a1+a2+a3+…+an<2.(1)解:已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=12,令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)·f(1)=12f(∴数列{f(n)}是以f(1)=12为首项,12∴f(n)=12(2)证明:设Tn=a1+a2+…+an.∵an=n·f(n)=n·12n(n∈N∴Tn=12+2×122+3×123+…12Tn=122+2×123+3×124①②两式相减,得12Tn=12+122+=121-12n1-12-n·12∴Tn=2-2+n2n19.(17分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn-2an+2=0,函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)+f(1-x)=1,数列{bn}满足bn=f(0)+f1n+f2n+…+fn-1n(1)求数列{an},{bn}的通项公式.(2)若数列{cn}满足cn=an·bn,Tn是数列{cn}的前n项和,是否存在正实数k,对于任意n∈N*,不等式k(n2-9n+26)Tn>4ncn恒成立?若存在,请求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)∵Sn-2an+2=0,即Sn=2an-2,当n=1时,a1=S1=2a1-2,∴a1=2.当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,∴{an}是等比数列,首项为a1=2,公比为2,∴an=2n.∵f(x)+f(1-x)=1,bn=f(0)+f1n+f2n+…+fnbn=f(1)+fn-1n+fn-2n∴2bn=n+1,∴bn=n+1(2)∵cn=an·bn=(n+1)·2n-1,∴Tn=2·20+3·21+4·22+…+(n+1)·2n-1,①